课时跟踪检测47

课时跟踪检测(四十七)
[高考基础题型得分练]
1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是()
A．原点在圆上B．原点在圆外
C．原点在圆内D．不确定
答案：B
解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，
所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，
即(0＋a)2＋(0＋1)2＞2a，
所以原点在圆外．
2．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是()
A．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆
B．以(1,2)为圆心，11为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆
D．以(－1,2)为圆心，11为半径的圆
答案：D
解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为11.
3．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 答案：C
解析：∵圆心(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|
5＝3，
∴圆的半径为3，即圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.
4．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B ．22 C ．1 D ． 2
答案：D
解析：已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是
|1＋2－1|12＋12
＝2
2
＝ 2.
5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )
A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 答案：D
解析：由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|
2＝22，
所以r ＝ 2.
又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，
由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，
所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 6．[2017·广东深圳五校联考]已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
答案：D
解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.
7．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案：A
解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，
则有x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，
则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，
代入x 20＋y 20
＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 8．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C．[4,6) D．(4,6]
答案：A
解析：易求圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为5.
令r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；
令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，
所以半径r的取值范围在(4,6)之间符合题意．
9．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．答案：(x－2)2＋y2＝5
解析：(x，y)关于原点P(0,0)的对称点为(－x，－y)，则(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.
10．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y －2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
答案：(x－1)2＋y2＝2
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，
所以半径最大时的半径r＝2，
所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
11．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案：[2－1，＋∞)
解析：据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，
所以有 ⎩⎪⎨⎪
⎧
1＋m ≥0，|1＋m |
2≥1，
解得m ≥2－1.
故m 的取值范围是[2－1，＋∞)．
12．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________．
答案：4
解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，
又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
[冲刺名校能力提升练]
1．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )
A.9
5 B ．1 C.45 D ．135
答案：C
解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直
线的距离d ＝|－3－4－2|5
＝9
5， 故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝4
5.
2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
答案：B
解析：根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ， 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝1
2|AB |＝m .
要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝
32＋42＝5，
所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.
3．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A．52－4 B．17－1
C．6－2 2 D．17
答案：A
解析：圆C1，C2的图象如图所示．
设P是x轴上任意一点，
则|PM|的最小值为|PC1|－1，
同理|PN|的最小值为|PC2|－3，
则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，
与x轴交于点P，连接PC1，
可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|，
则|PM|＋|PN|的最小值为52－4.
4．已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两个动点B，C分别在l1和l2上，且|BC|＝42，则过A，B，C三点的动圆所形成的区域的面积为________．
答案：8π
解析：因为AB 2＋AC 2＝(42)2，
故过A ，B ，C 三点的动圆的轨迹是以BC 的中点为圆心，22为半径的圆，故其面积为8π.
5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →
＝(x ，y －4)， MP →
＝(2－x,2－y )， 由题设知CM →·MP →
＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13， 所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋8
3.
又|OM |＝|OP |＝22，点O 到l 的距离为410
5，
所以|PM |＝2
(22)2
－⎝
⎛⎭
⎪⎫41052
， 所以△POM 的面积为16
5.。