云南省曲靖市陆良县第二中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题 含答案

2016年1月高二上学期期末考试
文科数学试题卷
（考试时间：120分钟;全卷满分:150分）
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

下列每小题有且只有一个正确的答案，请把你的答案写在答题卡上） 1。

已知集合{}2
60
A x x
x =--<，{}2
280
B x x
x =+->，则A B ⋂等于（ ）
A. {}22,34x x x -<<<<或
B. {}42x x -<<-
C 。

{}23x x <<
D 。

{}34x x << 2。

在等差数列｛a n ｝中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则a 7为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．设a b ，c d
，则下列不等式成立的是（ ）
A ．a
c b
d B ．ac bd
C ．a d c b
D ．b
d a c
4． 已知锐角△ABC 的面积为3错误!，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为（ )
A ．75°
B ．30°
C ．45°
D ．60° 5．如图是计算111
135
2013
+++
的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是 ( )
A ．1006≤i
C ．1007≤i 6．若,a b 为实数,
且2a b +=， 则3
3
a
b
+
A ．18
B ．6
C ．23
D ．4
2
3
7．在△ABC 中,5,3,120a b C === ,则sin A 的值为（ ） A ．
53
14
B ．
53
14
C ．
33
14
D ．
33
14
8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 。

223π+ B.
423π+
C 。

23
23
π+
D.
23
43
π+
9。

已知b a ,是两个向量,1,2a b ==且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为( ） A.
30
B.
60
C.
120 D.
150
10．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ,若A ＝错误!，
b ＝2a cos B ，
c ＝1，则△ABC 的面积等于（ ）
A ．错误!
B ．错误!
C ．错误!
D ．错误! 11．一只蚂蚁在边长分别为3，4,5的三角形区域内随机爬行，其恰好在离三个顶点距离
都大于1的地方的概率为（ )
A ．12
π B ．112
π- C ．16
π- D ．13
π-
12．若函数()() y f x x R =∈满足(2)()f x f x -=,且[]1,1x ∈-时,()2
1f x x =-，函数()()
()lg 01
0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩
，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,6]-内的零点的个数为( ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．13
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13。

若变量x ，y
满足约束条件 2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =+的最大值
为 .
14．在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =_____________. 15．当x 〉1时，不等式x +1
1
-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围
是 .
16。

已知正三棱锥P ABC -的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，且AB =则正
三棱锥ABC P -的外接球的表面积是 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)
已知等差数列{}n
a 满足3
a =2，前3项和3
S =92
.
（Ⅰ）求{}n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列{}n
b 满足1
b =1
a ，4
b =15
a ，求{}n
b 前n 项和n
T 。

18.（本小题满分12分)
节日期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的顺序，随机抽取第一辆汽车后，每间隔
50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速（/km h)分成六段[80,85),[85,90)，[90,95)，[95,100),[100,105)，[105,110)后得到如下图的频率分布直方图．
（Ⅰ）请直接回答这种抽样方法是什么抽样方法？并估计出这40辆车速的中位数;
（Ⅱ）设车速在[80,85)的车辆为
A,2A，…,m A（m为车速在[80,85)上的
1
频数）,车速在[85,90)的车辆为
B，2B，…，n B（n为车速在[85,90)上
1
的频数），从车速在[80,90)的车辆中任意抽取2辆共有几种情况？
请列举出所有的情况，并求抽取的2辆车的车速都在[85,90)上的概率．
19。

(本小题满分12分)
设△ABC的内角A B C
、、，且sin3cos
、、的对边分别为a b c
=．
b A a B
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ)若3=b，sin2sin
C A，求a，c，的值．
=
20．(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 满足：95
=a
,1462=+a a 。

（Ⅰ）求{}n
a 的通项公式； （Ⅱ)若n a n n
a b
2+=,求数列{}n b 的前n 项和n S .
21.（本小题满分12分)
在ABC ∆中，A B C 、、是三角形的三内角,a b c 、、是三内角对应的三边,已知
222b c a bc
+-=．
（1）求角A 的大小; （2）若a ＝
7,且△ABC 的面积为2
33,求c b +的值
22. (本小题满分12分）
如图,正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点,AA 1=AB=2． （Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ； （Ⅱ）求点C 1到平面AB 1D 的距离．
2016年1月高二上学期期末考试
文科数学答案
(考试时间:120分钟;全卷满分：150分）
一、选择题（共12题,每题5分）
二、填空题（共4题，每题5分） 13。

5 14.
23
π 15。

(－∞,3］ 16.
3π
三、解答题（共6题，70分)
17、（本题满分10分）
解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得 221=+d a ，2
9
22331=⨯+
d a ， …………………………
（3分)
化简得221
=+d a ，
2
3
1=
+d a , 解
得
1
1=a ，
2
1
=
d ， …………………………（5分）
故通项公式2
11n －a n
+
=，即21
+=n a n
………………
（6分)
(Ⅱ）由（Ⅰ)得11=b ,821
15154=+=
=a b
设{}n b 的公比为q ,则81
4
3==
b b q ，从而2=q ， ………
（8分）
故{}n b 的前n 项和1221)21(11)1(1－－－－q －q b T n
n n n =⨯==
…（10分）
18．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ）此调查公司在抽样中,用到的抽样方法是系统抽样． …………………2分 ∵车速在区间[80,85)，[85,90)，[90,95),[95,100)上的频率分别为0.05,0.1，
0.2，0.3;
∴车速在区间[80,95)上的频率是0.35，车速在区间[80,100)上的频率是
0.65．
∴中位数在区间
[95,100)
内． ……………………………………2分 设中位数的估计值是x , ∴0.050.10.2(95)0.060.5x +++-⨯=． 解之得97.5x =． ∴
中位数的估计值为
97.5
……………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得0.05402m =⨯=,0.1404n =⨯=． ………………8分
∴所以车速在[80,90)的车辆中任意抽取2辆的所有情况是：
121112131421222324121314232434
,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B ,共有15种情
况． ………………10分 车速都在[85,90)上的2辆车的情况有6种．所以车速都在[85,90)上的2辆
车的概率是
62
=155
． ………………………………12分
19解:（1）b
cosB,
由正弦定理可得sin sin cos B A A B =,
………………（3分)
即得tan B =
3
B π
∴=。

……………………………………（6
分)
(2）sinC=2sinA ，由正弦定理得2c a =, ………………………（8分）
由余弦定理2
222cos b
a c ac B =+-,229422cos
3
a a a a π
=+-⋅,（10分）
解得a =
2c a ∴==. …………………………………………………
（12分)
20解：（Ⅰ）设{}n
a 的首项为1
a ，公差为d ，则由95
=a
,1462=+a a 得
1149,
2614,
a d a d +=⎧⎨
+=⎩ …………2分
解
得
11,
2,
a d =⎧⎨
=⎩………………………………………………………………………4分
所
以
{}
n a 的通项公式
2 1.n a n =- (6)
分
（Ⅱ）由21n
a n =-得12212-+-=n n n b ， (8)
分
)127531(-+++++=n S n )2222(1253-+++++n (10)
分
)22(3
1
122-+=+n n 。

………………………………………………………
…………12分
22。

解答：(Ⅰ）证明：取C 1B 1的中点E ，连接A 1E,ED,则四边形B 1DCE 为平行四边形，
于是有B 1D∥EC，又A 1E∥AD，B 1D∩AD=D，A 1E∩EC=E， ∴平面A 1EC∥平面AB 1D,A 1C ⊂平面A 1EC,
21
∴A1C∥平面AB1D．
（Ⅱ）解:由题意,△AB1D中，AD=,B1D=，AD⊥B1D，∴==，
设点C1到平面AB1D的距离为h，则
由=可得=,∴h=．
学必求其心得，业必贵于专精。