mjt-专题16：不等式选讲

专题十六：不等式选讲
一、填空题
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．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________
【答案】(],8-∞
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．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.
【答案】2
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．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________
【答案】[]0,4
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．（2013年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z +
+=,则x y z ++=
_______. 【答案】
3147 二、解答题
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．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1
a b c ++=,证明: (Ⅰ)13
ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】
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．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲 已知函数()f x x a =-,其中1a >.
(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥
=-的解集; (II)已知关于x 的不等式()(){}
222f xa f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.
（Ⅰ）解：当2a =时，()2f x x =-。

()4|4|f x x ≥--，即()|4|4
f x x +-≥。

()|4|f x x +-|2||4|x x =-+-26,22,2426,4x x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩。

当2x ≤时，()|4|4
f x x +-≥，即264x -+≥，解得1x ≤； 当24x <<时，()|4|4
f x x +-≥，即24≥，不成立； 当4x ≥时，()|4|4
f x x +-≥，即264x -≥，解得5x ≥。

所以不等式()4|4|f x x ≥--的解集为{
|15}x x x ≤≥或。

…………………………4分 （Ⅱ）解：记()(2)2()h x f x a fx =+-，则()|2|2||h x x xa =--2,042,02,a x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩。

因为1a >，|2|2a >。

|(2)2()|2
f xa fx +-≤，所以2422x a -≤-≤。

解得1122
a a x -+≤≤。

不等式|(2)2()|2f xa fx +-≤的解集为{}|12x x ≤≤，所以 11
2122
a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得3a =。

………………………………………………………………10分
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．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）不等式选讲:设不等式*2()
x aa N -<∈的解集为A ,且
32A ∈,12
A ∉. (1)求a 的值; (2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122
a -≥ 解得1322
a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=
当且仅当(1)(2)0
x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3 错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满
分10分.
已知b a ≥>0,求证:b
a a
b b a 223322-≥- [必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或
【答案】D 证明:∵=
---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ()
)2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--= 又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,
∴0
)2)()((≥--+b a b a b a ∴0
222233≥---b a ab b a ∴b
a a
b b a 223322-≥- 错误！未指定书签。

．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲
已知函数()f x =|2
1||2|x x a -++,()g x =3x +. (Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;
(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2
a -,)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30
x x x -+---<, 设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =
15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
, 其图像如图所示
从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.
(Ⅱ)当x ∈[2a -,)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,)都成立,故2
a -≥2a -,即a ≤, ∴a 的取值范围为(-1,
].
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．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一
路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231
M M M M N M N N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地
有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)
A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.
(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.
【答案】解: .
0),,(≥y y x P 且设点 (Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,
|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥
(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.
点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v .且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时
显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24
≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45. 所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.。