高三数学上学期第六次月考试卷 理 试题

宁大附中2021—2021学年第一学期第六月考
高三数学〔理〕试卷
一、 选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个
选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，答案填在试卷答题卡上〕
〔1〕集合M {1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，那么复数z ＝ ( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 〔2〕以下四个命题：
①设φ∈R ，那么“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数〞的充要条件 ②命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2
≥0”的否认是: ∃x 0 ∈R ，|x 0|＋x 2
0<0 ③假设一个球的半径缩小到原来的12， 那么其体积缩小到原来的18；
④设a ∈R ，那么“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与
直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的充分不必要条件； 其中真命题的序号为 ( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．②③
〔3〕我国古代数学名著?九章算术?有“米谷粒分〞题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约为〔 〕 A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石
〔4〕等比数列{n a }中，2854,a a a ⋅= 等差数列{}n b 中，465b b a +=，那么数列{}n b 的前9项和9s 等于〔 〕 A. 9
B. 18
C. 36
D. 72
〔5〕实数,x y 满足x y a a <〔01a <<〕，那么以下关系式恒成立的是〔 〕
A 、
221111x y >++.
B 、22ln(1)ln(1)x y +>+.
C 、sin sin x y >.
D 、3
3y x >. 〔6〕如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，
那么sin ∠CED ＝( ) A.
31010 B.10
10 C.
510 D.515
〔7〕a 、b 是不重合的直线，、是不重合的平面，以下说法中： ⑴ a ∥，∥
⇒a ∥； ⑵a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α
⑶；a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α. ⑷a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.
其中正确说法的个数是〔 〕 A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
〔8〕以下命题正确的选项是 〔 〕 A ．假设→
a ·→
b =→a ·→
c ，那么→b =→c B ．假设→a 与→b 是单位向量，那么→
a ·=1
C ．假设→
a //→
b ，→
b //→
c ，那么→
a //→
c D ．假设||||b a b a -=+，那么→
a ·→
b =0
〔9〕a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，1C 与2C 的
离心率之积为
3
2
，那么2C 的渐近线方程为〔 〕 A 、20x ±= B 20x y ±= C 、20x y ±= D 、20x y ±= 〔10〕设F 为抛物线C: y 2
=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐
标原点,那么△OAB 的面积为 ( )
A.
33
4
B.
93
8
C.
6332
D. 94
〔11〕函数230
()sin(),()0,f x x f x dx π
ϕ=-=⎰
且
那么函数()f x 的图象的一条对称轴是
( ) A ．56x π=
B ．712x π=
C ．3x π=
D ．6
x π= 〔12〕对二次函数2()f x ax bx c =++〔a 为非零常数〕，四位同学分别给出以下结论，其
中有且仅有一个结论是错误的，那么错误的结论是〔 〕 A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分 〔13〕假设直线
1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，那么a b +的最小值等于 〔14〕三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9
4
，底面是边长为3的正三角形．假设
P 为底面A 1B 1C 1的中心，那么PA 与平面ABC 所成角的正切值为
〔15〕圆()()
22
:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪
Ω=-+≥⎨⎪≥⎩
，假设圆心C ∈Ω,
且圆C 与x 轴相切，那么22
a b +的最大值为
〔16〕古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，
第n 个三角形数为
n n ＋1
2＝12n 2＋1
2
n . 记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以以下出了局部k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋1
2n ，正方形数 N (n,4)
＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12
n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2
－n ，……可以推测N (n ，
k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.
三.解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.
〔17〕〔本小题满分是为12分〕设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.
〔Ⅰ〕假设|a |＝|b |，求x 的值；
〔Ⅱ〕设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值．
(18) 〔本小题满分是12分〕抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2
＝
2py 的焦点为M .
〔Ⅰ〕假设过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； 〔Ⅱ〕过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点，求 OB OA ⋅的值
〔19〕〔本小题满分是为12分〕
如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2
π
∠BA =
，C 1AB =B =，D 2A =，
E 是D A 的中点，
O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．
〔Ⅰ〕证明：CD ⊥平面A 1OC ；
〔Ⅱ〕假设平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．
〔20〕〔本小题满分是12分〕动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的间隔 之比为
2
2
，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：
y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．
〔Ⅰ〕求曲线E 的方程；
〔Ⅱ〕当直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？假设有，求出其
最大值及对应的直线l 的方程；假设没有，请说明理由．
〔21〕〔本小题满分是12分〕设函数()2
ln 2
x f x k x =-，0k >．
〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间和极值；
〔Ⅱ〕证明：假设()f x 存在零点，那么()f x 在区间(
上仅有一个零点．
〔22〕〔本小题满分是10分〕在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2
－22ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0；以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系。

〔Ⅰ〕求圆C 的直角坐标方程并写出圆心坐标和半径；
〔Ⅱ〕假设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α
(t 为参数)，点P 的直
角坐标为(2,2)，直线l 交圆C 于A ，B 两点，求
PA ·PB
PA ＋PB
的最小值．
宁大附中2021—2021学年高三年级月考数学〔理〕试卷答案
一、选择题〔5分×12分=60分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
C
B
B
D
B
C
D
A
D
A
A
二、填空题〔5分×4=20分〕
13、4 14、 3 15、37 16、1000 三、解答题〔17-21题每一小题12分，22题10分，一共计70分〕 17解：此题考察向量与三角函数的综合应用，侧重考察三角函数的性质．
(1)由|a |2
＝(3sin x )2
＋(sin x )2
＝4sin 2
x ，|b |2
＝(cos x )2
＋(sin x )2
＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2
x ＝1.
又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.
(2) f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2
x ＝
32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，
x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2
，
f (x )的最大值为
2
3
，f (x )的最小值为0 18解：(1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，
∠BAD ＝
，所以BE ⊥AC .即在题图②中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .
又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)
由，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 所以∠A 1OC 为二面角A 1BEC 的平面角，所以∠A 1OC ＝
.
设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，
19【解析】：(1)由题意得抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2
＝2py 的焦点为M ，
所以p ＝2，M (0，1)，
①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，
代入y 2＝4x ，得k 2x 2
＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14
，满足题意，直线l 的方程
为y ＝1；当k ≠0时，
Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0
或者y ＝1或者y ＝x ＋1.[来 (2) -4
20【解析】：(1)设点P (x ，y )，由题意可得，〔x －1〕2
＋y 2
|x －2|＝22，整理可得x 2
2
＋y 2
＝1.
∴曲线E 的方程是x 2
2
＋y 2
＝1.
21
2'
()k x k f x x x x
-=-=
.由'
()0f x =解得x k =. ()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：
所以，()f x 的单调递减区间是k ，单调递增区间是(,)k +∞；
()f x 在x k =(1ln )
(2
k k f k -=
. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )
2
k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以
(1ln )
02
k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间e 上单调递减，且(0f e =， 所以x e =
()f x 在区间e 上的唯一零点.
当k e >时，()f x 在区间e 上单调递减，且1(1)02f =>，(02
e k
f e -=<， 所以()f x 在区间e 上仅有一个零点. 22【解析】(1):()()1112
2
=-+-y x
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

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创作；朱本晓
2022年元月元日。