高一数学解三角形提升训练

高一数学解三角形提升训练
1、正弦定理 （1）亠泄；（2）a=2RsinA ； b sin B 例题：（2010 •重庆文科）设厶ABC 中, I 'A +Z .... _ I 4丿1 1 -cos 2 A
2sin 求 一 in B C -
匕的值.
解：（1 ）由余弦定理得: .2 2 b c -a cos A =- 2bc 又因为3b 2・3c 2 -3a 2 4 2. bc 3 所以cos A - 2bc a
(3) si nA 2R 二'-j '-L 匕.(1)求 mF 的值.(2) =4-.2bc ,所以 b 2 • c 2 - a 2 4.2bc
2.2 3 因为0 c A £兀，所以sin A= J 1—cos 2 A = / —(^2)2 =丄，即sin A 的值是-;(第2题答 V 3 3 3 案少了个负号） 2sin(A )sin( B C ) (2) 4 — 1 -cos2A n n
2si n( A —)s in( A _：
) — 2 2sin A (sin A cos A)(sin A - cos A) n n
2sin( A )sin(二-A ) 4 4 1 —cos2A 2 .2 .2 2 2( si nA cosA)( si nA cos A) 2 2 2 2 ___________________________ 2sin 2 A 2 2 sin A -cos A _ —一 3.5 — 2 2sin 2 A 2、三角形面积问题。

一 1 一 1 1 _ 掌握基本公式 S absinC bcsinA acsinB 2 2 2 2sin 2 A 例题：在锐角三角形中，边 a 、b 是方程X 2-3X ，
2=0的两 根，角A 、B 满足2sin A B — 3=0，求角C 的度数, 边c 的长度及厶ABC 的面积。

解：由 2sin A B — .3=0, sin A B 3 2 v3 兀 2兀 所以sin C —，故C 或C =— 2 3 3 n 由余弦定理得: c 2 = a 2 b 2 -2ab cosC =(a + b f -2ab —2abcosC
又厶ABC 为锐角三角形， 故C 3 又边a 、b 是方程x 2 - 3x • 2 =0的两根,
2 2 JT j—
从而c2 =3-2 2_2 2 cos— =3，即c =、. 3
3
,, . 聽
故S ab sin C
2 2
3、实际应用问题
例题：某观察站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°距C处31千米的公路上的B 处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，问人还需走多少千米才能到达A城？
解：设AD=x, AC=y,
花BAC =20。

+40。

= 60。

二在心ACD中有x2+y2—2xycos60® = 212, —-吗 .__
即x2+y2_xy=441 ①/
而在△ ABC中，
(x 20)2 y2 -2(x 20)ycos60 =312, '
即x2 y2 - xy 40x -20y = 561 ②
②—①得y=2x-6，代入①得x2-6x-135 = 0
得x =15(km)，即此人还需走15km才能到达A城.
4、判断三角形形状
例题：在ABC中，匸一⑴二」，试判断ABC的形状。

解：由正弦定理：— b c k
sin A sin B sin C
得a = k sin A,b = ksin B
由，得sin A =2sin BcosC
而在三角形中，由于A B C =：
故sin A = sin B C 所以sin B C =2sin B cosC 从而cosBsinC =sinBcosC
所以sinBcosC-cosBsinC 0 即sin B -C = 0
又B,C •0,二，所以B = C
所以ABC为等腰三角形。