《精编》贵州省顶效中学高三数学下学期4月月考试题 文 新人教A版.doc

贵州省顶效中学2021届高三下学期4月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1．幂函数()y f x =的图象经过点〔4，2〕，那么(2)f =〔 〕
A ．
1
4
B ．4
C ．
22
D ．2
【答案】D
2．a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝，那么a ，b ，c 三者的大小关系是( )
A ．b >c >a
B ．b >a >c
C ．a >b >c
D ．c >b >a 【答案】A
3．正三棱柱111ABC A B C -的棱长与底面边长相等，那么1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于〔 〕 A ．22
B ．64
C ．104
D ．
32
【答案】B
4．直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是 ( 〕
A ． 平行
B ． 相交但不垂直
C ． 相交垂直
D ． 视α的取值而定 【答案】C
5． ,x y 之间的一组数据如表所示，对于表中数据，现在给出如下拟合直线，那么根据最小二乘法思想判断拟合程度最好的直线是〔 〕
A ．1y x =+
B ．21y x =-
C ． 1.60.4y x =-
D ． 1.5y x =
【答案】C
6． 在频率分布直方图中，小矩形的高表示 ( 〕
A ．频率/样本容量
B ．组距×频率
C ．频率
D ．频率/组距
【答案】D
7．以下各选项中,与sin 2011︒最接近的数是( )
A ．12
-
B ．
12
C 2
D ．2-
【答案】A
8．A ，B ，C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3,22
ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，假设
1AC BC ⋅=-，那么
2
1tan 2sin sin 2α
αα
++的值为 ( 〕 A ．95-
B ．59
-
C ．2
D ．3
【答案】A
9．(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域为( )
答案：B
用原点检验，求下面的两个不等式组表示的区域的并集：
10． 点(,)M x y 满足1,10,220.x x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
假设ax y +的最小值为3，那么a 的值为( )
A ． 1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
11．设集合M ＝{(x ，y )|(x －3)2＋y 2＝9}，集合N ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2
＝4}，那么M 和N 的关系是
A ．N M
B ．M ∩N ＝
C ．N ⊆M
D ．M ∩N ＝{(0,0)} 答案：D 12． 设复数z=15
a ++(a 2
+2a-15)i 为实数，那么实数a 的值是 ( 〕 A ．3
B ．-5
C ．3或-5
D ．-3或5
【答案】A
II 卷
二、填空题
13． 某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一： (1)按照使用面积缴纳，每平方米4元； (2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元． 李明家的使用面积为60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过________平方米． 【答案】80
14．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有
________条． 【答案】6 15．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组〔1~5号，6~10号，…，196~200号〕.假设第5组抽出的号码为22，那么第8组抽出的号码应是 .假设用分层抽样方法，那么40岁以下年龄段应抽取 人.
【答案】37，20 16． 函数2π()cos 212x f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，()sin 2g x x =.设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，那么0()g x 的值等于 ．
【答案】2
3
三、解答题
17．f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
(6－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)
是R 上的增函数，求a 的取值范围．
【答案】f (x )是R 上的增函数，
那么当x ≥1时，y ＝log a x 是增函数， ∴a >1.
又当x <1时，函数y ＝(6－a )x －4a 是增函数． ∴6－a >0，∴a <6.
又(6－a )×1－4a ≤log a 1，得a ≥6
5
．
∴6
5
≤a <6. 综上所述，6
5
≤a ＜6.
18． 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是25cm ，宽是20cm ．设水箱里盛有深为cm 的水，假设往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，试求水深. 【答案】设放入正方体后水深为h cm .
当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由2520102520101010a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，解得8a =.
当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由2520302520101010a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，解得28a =.
所以， 当0＜≤8时，放入正方体后没有被水淹没，那么252025201010h a h ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，
得54
a h =.
当828a <≤时，放入正方体后被水淹没， 那么25202520101010h a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，解得2h a =+.
当2830a <≤时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时30h =.
综上可得，当5 (08)4 2 (828)30 (2830)a
a h a a a ⎧<≤⎪⎪
=+<≤⎨⎪<≤⎪⎩
.
19． 采用系统抽样法，从121人中抽取一个容量为12人的样本，求每人被抽取的机率. 【答案】系统抽样无论有无剔除都是等机率抽样，故机率为
121
12. 20．向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2
π
θ∈．
(1〕求θsin 和θcos 的值；
(2〕假设sin()102
π
θϕϕ-=
<<，求cos ϕ的值． 【答案】〔1〕∵a 与b 互相垂直，那么0cos 2sin =-=⋅θθb a ，即θθcos 2sin =，代入
1cos sin 22=+θθ得5
5
cos ,552sin ±
=±
=θθ，又(0,)2πθ∈，∴5
5
cos ,552sin =
=
θθ. (2〕∵2
0π
ϕ<
<，2
0π
θ<
<，∴2
2
π
ϕθπ
<
-<-
，那么
10
10
3)(sin 1)cos(2=
--=-ϕθϕθ，∴cos ϕ2
2)sin(sin )cos(cos )](cos[=
-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ. 21．数列{a n }中，a 3＝1，a 1＋a 2＋…＋a n ＝a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 1，a 2；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(3)设b n ＝log 2S n ，存在数列{c n }使得c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1，试求数列{c n }的前n 项和． 【答案】(1)∵a 1＝a 2，a 1＋a 2＝a 3，
∴2a 1＝a 3＝1，∴a 1＝12，a 2＝1
2
．
(2)∵S n ＝a n ＋1＝S n ＋1－S n ， ∴2S n ＝S n ＋1，
S n ＋1
S n
＝2， ∴{S n }是首项为S 1＝a 1＝1
2
，公比为2的等比数列．
∴S n ＝12
·2n －1＝2n －2
.
(3)∵b n ＝log 2S n ，S n ＝2n －2
，
∴b n ＝n －2，b n ＋3＝n ＋1，b n ＋4＝n ＋2， ∴c n ·(n ＋1)(n ＋2)＝1，
c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1
n ＋2．
∴c 1＋c 2＋…＋c n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2) ＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4
．
22．函数().ln x x x f = (1〕求函数()x f 的极值点；
(2〕假设直线l 过点〔0，—1〕，并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；
(3〕设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.〔其中e 为自然对数的底数〕
【答案】〔1〕()x x x f ,1ln +='＞0.
而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔
x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e
所以()x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1
e
上单调递增.
所以e
x 1
=
是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在. (2〕设切点坐标为()00,y x ，那么,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x 所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-
又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=-- 解得.0,100==y x
所以直线l 的方程为.1-=x y
(3〕()()1ln --=x a x x x g ，那么().1ln a x x g -+=' ()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1
＞0x ⇔＞,1-a e
所以()x g 在(
)1
,0-a e 上单调递减，在()
+∞-,1
a e
上单调递增.
①当,11
≤-a e
即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增，
所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ②当1＜1
-a e
＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[
)1
,1-a e
上单调递减，在(]
e e
a ,1
-上单调递增.
()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g
③当,1-≤a e e
即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减，
所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=
综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a e a ； 当2≥a 时，()x g 的最小值为.ae e a -+。