2012高考数学精英备考专题讲座 第九讲数学高考的创新试题解题指导 第一节需要抽象概括的创新试题 文

第一节 需要抽象概括的创新试题
高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.
题型一 定义新概念
【例1】设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b P ∈，都有a b +、a b -， ab 、a b
P ∈（除数0b ≠），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集
{}F a b Q =+∈，也是数域.有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号填填上）
点拨：本题定义了新的概念：数域，审题非常关键，解题时可采用排除法，代入特殊的数值对选项进行排除筛选. 此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点.定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.
解析：对于整数集Z ，当1a =，2b =时，
12b Z a =∉,故①错；对于满足Q M ⊆的集
合{}2M Q =，1M 不是数域，②错；若P 是数域，则存在a P ∈且0a ≠，依
定义，2a ，3a ，4a ，
,均是P 中元素，故P 中有无数元素，③正确；类似数集
{}F a b Q =+∈，也是数域，④正确，故选③④.
易错点：审题不清，未能理解数域的定义所应满足的条件.
变式与引申
1.定义若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合
{}
(,)|x y r A <⊆，称A 为一个开集．给出下列集合：
①{}
22(,)|1x y x y +=；② {}(,)|20x y x y ++>；
③{}(,)6x y x y +≤；④ {}
22(,)|0(1x y x y <+<．
其中是开集的是 ．（请写出所有符合条件的序号）
题型二 定义新数表
根据以上排列规律，数阵中第n （3≥n ）行的从左向右的第3个数是
点拨：由数阵找到1n -（3n ≥）行的最后一个数.数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜.
解析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第1n -（3n ≥）行的最后一个数为2(1)(11)222n n n n -+-=-，则第n 行的第3个数为23(3)22
n n n -+≥. 易错点：未能找到新的数阵的规律，解题无从入手.
变式与引申
2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
1a
2a 3a
4a 5a 6a
7a 8a 9a 10a
……
记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)n n n n
b n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491
a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 题型三 定义新数列
【例3】若数列{}n a 满足212n n
a p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 点拨： 本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换.等比数列，则公比应唯一确定.
数列是高考重点考查的内容，围绕数列问题创设情境，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点，如2010年上海卷的“对称数列”、2009年湖北卷的“等方比数列”、2008年江苏卷的“绝对差数列”、2007的北京卷的“等和数列”等，各种新数列精彩纷呈，此类试题形式新颖、内容深远、能力要求广泛、解法多样，能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力等.
解析：由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即
221121
n n n n a a q q a a +++=⇒=则甲命题成立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即221121n n n n
a a q q a a +++=⇒=±即公比不一定为q ， 则命题乙不成立，故选B. 易错点：
是由2112n n n n
a a p a a ++=⇒=，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C.
变式与引申
3.对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：
12111n n a a a ---，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ；
又定义2221212()2(2)m m
S B b b mb b b b =+++++++． 设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，．
（Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；
本节主要考查：
数学归纳抽象创新题的求解要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学如函数、数列问题，运用相应的数学知识求解．新定义问题的求解通常分三大步骤进行:(1)对新定义进行信息提取，确定化归方向;(2)对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法;(3)对定义中提取知识进行转换，有效地输出.其中对定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是一个难点.
点评：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论.
抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.
平时的数学学习中要切实加强自主探究能力和创新意识的培养，从而不断提高自身的数学素养，增强分析问题和解决问题的综合能力.如可以多订阅报刊杂志，从杂志中涉猎新题.有了新题还得用好新题，通过新题归纳解题的思维方法，激发学生的思维风暴；关注题型的纵横发展，注重多元性，拓展发散思维.另外，还要注意强化数学建模，提高实践能力，发展个性特长.重点抓好运用高中数学知识解决生活中的实际问题的能力的培养与训练，注重数学知识和技能应用的灵活性、综合性、发散性和迁移性.以提高数学阅读能力为起点，建立数学模型为核心，寻找或自行编制一些贴近生活的实际应用题，特别是概率与统计应用题.
习题9－1
1．(2011年高考江西卷·文)如图9-1-1，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底
端”落在源点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成
今使“凸轮”沿X 轴正向滚动有进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为
2．设函数)(x f 的定义域为R ,若存在常数0M >,使|()f x M x ≤对一切实数x 均成立,则称)(x f 为“倍约束函数”.现给出下列函数:
①x x f 2)(=; ②1)(2+=x x f ;
③x x x f cos sin )(+=; ④3
)(2+-=x x x x f ; ⑤)(x f 是定义在实数集R 上的奇函数,
且对一切21,x x ,均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-.其中是“倍约束函数”的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3.如图9-1-2，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：
1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*
()n a n N ∈的 前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则200920102011a a a ++=_______. 4．图9-1-3展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴
上的点M ，如图9-2中的图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.
图9-1-2
(Ⅰ)方程()0f x =的解是x = ;
(Ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭；
②()f x 是奇函数;
③()f x 在定义域上单调递增; ④()f x 的图像关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称．
【答案】
变式与引申
1. ②④
提示：本题将大学拓扑学的基本概念引入，下面画图进行判断：
对于①，如图9-1-1.
图9-1-2
显然存在面集⊆面集，该集合符合题目要求.
对于③，如图
9-1-3
2.解：（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221n
n n n
b b S S =-，
又12n n S b b b =+++，所以1212()1()n n n n n n S S S S S S ---=--，即112(
)1n n n n
S S S S ---=-，
所以11112n n S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知
1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩
， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为12131212782
⨯+++=
=，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第31行第三列，因此28113491a b q ==-．又1321314b =-⨯，所以2q =． 记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则
(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)
k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+≥ 3.解：（Ⅰ） 0532A ：，，，10()3421T A ：，，，，1210(())4321A T T A =：
，，，； 11()43210T A ：，，，，，2211(())4321A T T A =：，，，
． （Ⅱ）设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，，
则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，
从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-
222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-+
+-． 又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =++
+++++， 所以
1((S T -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++
2(1)0n n n n =-+++=，
故1(())()S T A S A =．
习题9-1
1．A
2. C
提示：①
显然存在M 符合题目要求,所以它是“倍约束函数”;
,所以1)(2+=x x f 不是“倍约x x cos sin +=不是“倍约束函数” 9-1-5:
又曲线上的任意两点连线的斜率小于2,故存在M 符合题目要求.
所以①④⑤均符合题目要求,选择C
3.1005
提示：依题得4321424124n k n k k n k a k
n k k
n k
=-⎧⎪-=-⎪=⎨-=-⎪⎪=⎩，则20092010201150310055031005.a a a ++=+-= 4. (Ⅰ)21； (Ⅱ) ③④。