广东省新人教版数学立体几何总复习

专题复习 立体几何总复习
【知识要点】
1. 空间几何体三视图与直观图
① 由空间几何体画三视图 ② 由三视图还原实物图 ③ 斜二测画法及面积计算 2. 空间几何体的表面积与体积
① 锥、柱、台、球体表面积、体积计算 ② 割补法、等体积法计算几何体的体积 ③ 画空间几何体的展开图及面积计算 3. 点、线、面之间的位置关系
① 四个公理
公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号表示：ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,。

公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示：l P l P P ∈=⋂⇒∈∈,,βαβα。

公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示：313221////,//l l l l l l ⇒ ② 直线之间的位置关系：
（1）平行：在同一平面内，且没有交点。

（2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。

（3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点
定理： 空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

③ 直线与平面之间的位置关系
（1）直线在平面内----有无数个公共点
（2）直线与平面相交--有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行----没有公共点
注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ④ 平面与平面之间的位置关系
（1）两个平面平行---没有公共点
（2）两个平面相交---有一条公共直线 4. 直线、平面平行的判定与性质
① 直线与平面平行
（1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

符号表示：ααα////,,a b a b a ⇒⊂⊄.
（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号表示：l a l a a //,,//⇒=⋂⊂βαβα.
② 平面与平面平行
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：βααααα////,//,,,⇒=⋂⊂⊂b a P b a b a . （2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示： b a b a //,,//⇒=⋂=⋂γβγαβα。

5. 直线、平面垂直的判定与性质
① 直线与平面垂直
（1）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表示：ααα⊥⇒=⋂⊂⊂⊥⊥a P n m n m n a m a ,,,,。

（2）性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。

符号表示：b a b a //,⇒⊥⊥αα。

② 平面与平面垂直
（1）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号表示：βαβα⊥⇒⊂⊥a a ,。

（2）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,,,。

【典例精析】
题型一、空间几何体三视图与直观图 (1)由实物图画三视图
例1. 如图甲所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1AA 、11D C 的中点，G 是正方形11B BCC 的
中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的。

(2)三视图还原实物图
例2. 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
为( ).
A.223π+
B. 423π+
C. 2323π+
D. 23
43
π+ (3)斜二测画法有关的计算问题（S S 4
2'=
）
例3. 等腰梯形ABCD ，上底1=CD ，腰2==BC AD ，下底,3=AB 以下底所在直线为x 轴，则由斜
二侧画法画出的直观图''''D C B A 的面积是 。

题型二、空间几何体的表面积与侧面积 (1)空间几何体的表面积与体积
例4. 已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三
角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6,高为4的等腰三角形。

（1）画出几何体的直观图 （2）求该几何体的侧面积S 。

（3）求该几何体的体积V ；
(2)空间几何体展开图及面积计算
例5. 已知圆锥的侧面展开图是右图所示的扇形，半径为1，圆心角为ο
120， 则圆锥的表面积和体积分别是多少？
(3)割补法和等体积法求体积
例6. 如图，正方体''''D C B A ABCD -的棱长为2，E 是AB 的中点， 求:(1)三棱锥EC A B '-的体积V . (2)求B 点到平面EC A '的距离。

题型三、点、线、面之间的位置关系
(1)两条异面直线所成的角（转化为相交直线所成的角）
例7. 已知正四棱锥ABCD S -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则SD 、AE 所成角的余弦
值为（ ） （A).
31 （B).32 （C).3
3
（D).32 (2)直线与平面所成的角（转化为直线与射影所成的角）
例8. 如图，在正方体''''D C B A ABCD -中，E ，F 分别是AB ，''C B 的中
点，则直线EF 与平面''A ADD 所成的角的正切值为 。

题型四、直线与平面平行的判定与性质
(1)直线与平面平行的判定（“线线平行”⇒“线面平行”，平行四边形⇒线线平行） 例9. 如图四棱锥ABCD P -,N M ,分别是PC AB ,的中点.
(1)求证:MN ∥平面PAD ;
(2)过直线PD 且平行于直线BN 的平面有几个，在图中作出该平面并加以证明。

(2)直线与平面平行的性质（线面平行⇒线线平行） 例10. 如右图所示直线EH AB //，直线HG CD //， 且直线AB 与CD 异面垂直，2==AB CD 。

（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形。

（2）求E 点在何处时可使四边形EFGH 面积最大。

M
N
A
B
C
D
P
(3)平面与平面平行的判定(“线面平行”⇒“面面平行”）
例11. 如图所示几何体，MA PD //,G F E ,,分别是PB PC MB ,,的中点 证明：（1）平面//EFG 平面ADPM （2）直线//EF 平面ADPM
(4)平面与平面平行的性质（“面面平行”⇒"线线垂直")
例12. 如图.线段PQ 与平行平面α,β交于B A ,两点, 线段PD 与平面α,β
交于D C ,两点, 线段QF 与平面α,β交于E F ,两点,若,12,12,9===BQ AB PA △ACF 的面积为72,求△BDE 的面积
β
α
P
A
B
Q
F E C
D
题型五、直线与平面垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直的判定（“线线垂直”⇒“线面垂直”）
例13. 如图PA ⊥矩形ABCD 所在平面,N M ,分别是PC AB ,的中点.
(1)求证:MN ⊥CD ;
(2)若ο
45=∠PDA ,求证:MN ⊥平面PCD
例14. 已知在若图所示的三棱锥中，BC AB =，CD AD =，
M
N
A
B
C
D
P
BD CE CE AH ⊥⊥,。

求证：⊥AH 平面BCD
（2）直线与平面垂直的性质
推论：两直线平行，如其中一条直线垂直于平面，则另一直线也垂直该平面
例15. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，22==EF AB ，,//AB EF FB EF ⊥，
︒=∠90BFC ，FC BF =,H 为BC 的中点。

（1）求证：//FH 平面EDB ； （2）求证：⊥AC 平面EDB ； （3）求四面体DEF B -的体积；
题型六、平面与平面垂直的判定与性质
(1)平面与平面垂直的判定（线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直）
例16. 如图.△ABC 是正三角形,⊥EC 平面ABC ,BD ∥CE ,BD CA CE 2==,M 为EA 的中点, 求证:(1)DA DE =;
(2)平面⊥BDM 平面ECA ;
(3)平面⊥DEA 平面ECA .
M C
B
A
E
D
例17. 在正方体''''D C B A ABCD -内，G F E ,,分别是线段AB CD DD ,,'的中点，O 是线段AC 和
FG 的交点。

求证：（1）G F C B ,,','四点共面； （2）AC O B ⊥'
（3）平面⊥AEC 平面FG B '；
(2)平面与平面垂直的性质（面面垂直⇒线面垂直）
例18. 已知平面βα⊥，l =⋂βα，B A ,两点分别在βα,内，直线AB 与α所成的角为︒
30，与β所
成的角为︒
45，则过B A ,两点分别作l 的垂线交于D,C 两点，若2=AB ，则求线段CD 长度。

南山区高一年级期末考试预测卷一（数学）
考试内容：必修一、必修二（立体几何和直线方程）
本试卷共有20道小题，其中选择题10道，填空题4道，解答题6道。

试卷难度：中等偏易 做题时长：120分钟 满分：150分 命题人：屈良旺 班级 姓名： 分数： 一、选择题（共10道，每小题5分）
1. 设集合{}{}
P Q ==3454567，，，，，，，则=⋂B A C R )(（ ） A 、{}5,4
B 、{}7,6,3
C 、{}7,6
D 、Φ
2. 设函数f(x+1)的定义域为[-1,2],则函数f(x-1)的定义域为( ) A 、[0,3] B 、[-2,1] C 、[-1,2] D 、[1,4]
3. 函数f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f(1)<f(3),则下列各式一定成立的
是（ ）
A 、f (0) > f (5)
B 、f (3) < f (2)
C 、f (-1) > f (3)
D 、f (-2) > f(1)
4. 已知log 3(log 2x)=0，那么x 2
等于（ ）
（A ）8 （B ）6 （C ） 4 （D ）2 5. 函数x
y -=12
的图象是 ( )
6. 函数 y = lg （2x 2 +ax+a ）在( 1, 4)上是递增的，则 a 的范围是（ ）。

A.[)+∞-,4
B.[)1,4--
C.),1(+∞-
D.)1,1(-
7. 已知方程3
10x x --=仅有一个正零点，则此零点所在的区间是 ( )
A ．(3,4)
B ．(2,3)
C ．(1,2)
D ．(0,1) 8. 圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π4 9. 对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是( ) （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n
(C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m ∥n ，则m 、n 与α所成的角相等 10. 已知点)1,3(),2,1(B A ,则线段AB 的垂直平分线的方程是( )
(A)0524=-+y x (B) 4x-2y-5=0 (C) 052=-+y x (D)x-2y-5=0
二、填空题（共4道，每小题5分）
11. 函数y=log 2(x 2
-2x-3)的递增区间是 。

12. 已知定义在（-1，1）上的奇函数g(x)，当x>0时有g(x)=x
2,则当x<0时，g(x)= 。

13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是11B A 、11C B 的中点，则MN 与C B 1所成的角的大小 。

14. 直线012)1(2=+---m y x m 经过第一、二、四象限,则实数m 的取值范围是 .
三、解答题（共6道，共80分）
15. （12分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧--∈==)1,3[,)2
1
(x y y B x 。

（1）当a ＝2时，求A ∩B ； （2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围。

16. （12分）已知函数f(x)=log 2
1[(
2
1)x
-1],(1)求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的单调性。

17. （14分）某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t 的函数关系是：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤+=),10040(522
1),400(224
1)(**
N t t t N t t t t f
销售量g(t)与时间t 的函数关系是： g(t) = －31t + 3
109 (0≤t ≤100 , t ∈N), 求这种商品的日销售额S(t)的最大值.
18. （14分）已知x 满足不等式03log 7)(log 222
2≤+-x x ,求函数f(x)=log 2
4
log 22x
x ⋅的最大值和最小值。

19. （14分）如图PA ⊥矩形ABCD 所在平面,N M ,分别是PC AB ,的中点. (1)求证:MN ∥平面PAD ;
(2)求证:MN ⊥CD ;
(3)若ο
45=∠PDA ,求证:MN ⊥平面PCD
20. （14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB BC ⊥，
D
P
M
N
A
B
C
D
P
1
2
AB BC PA ==
， 点Ｏ，Ｄ分别是,AC PC 的中点，OP ⊥底面ABC . （1）求证OD //平面PAB ； （2）求证PB AC ⊥
（3）若2=AB ，求三棱锥的体积
南山区高一年级期末考试预测卷二（数学）
考试内容：必修一、必修二（立体几何和直线方程）
本试卷共有20道小题，其中选择题10道，填空题4道，解答题6道。

试卷难度：中等 做题时长：120分钟 满分：150分 命题人：屈良旺 班级 姓名： 分数：
一、选择题（每小题5分，共10道）
1. {}
0452≤+-=x x x A ，{}
a y y B x +==2，B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A.1>a B.1≥a C.1<a D.1≤a
2. 已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤⋅>-=-)
1(2)
1(2
1
)(x m x x x f x 满足在]1,(-∞上递减，且)2()25(-⋅≥f m f 成立，则m 的范围是（ ） A.
1≤m B.10≤<m C.0<m D.1≥m
3. 函数12
log (32)y x =
-的定义域是（ ）
A ．[1,)+∞
B ．2(,)3+∞
C ．2[,1]3
D ．2(,1]3
4. 函数y=log 2
1(x 2
-6x+17)的值域是（ ）
（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 5. 函数f(x)=log a 1+x ,在（-1，0）上有f(x)>0，那么（ ）
（A ）f(x)(- ∞,0)上是增函数 （B ）f(x)在（-∞，0）上是减函数 （C ）f(x)在（-∞，-1）上是增函数 （D ）f(x)在（-∞，-1）上是减函数 6. 函数x x
y +-+=)112
lg(
的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称
7. 三个数3
.0222
,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）
（A ）b c a <<. （B ） c b a << （C ）c a b << （D ）a c b << 8. 方程12x x +=根的个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
9. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
10. 设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题 ①若γββα⊥⊥,，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ； ③若βαβα⊥⊥则,//,l l ④若.//,//,,//βαββαl l l 则且⊄
其中正确的命题是 （ ） A ．①② B ．②③
C ．②④
D ．③④
二、填空题（4个小题，每题5分）
11. 计算：
(log )log log 2222
54541
5
-++= . 12. 函数y=log 2
1(2x 2
-3x+1)的递减区间为 。

13. 已知球内接正方体的表面积为S ，则球体积等于 .
14. 已知直线l 与直线052=+-y x 平行，且经过点)3,2(，则直线l 的方程是 。

三、解答题（6个小题，共80分）
15. （12分）已知关于x 的二次函数t x t x x f 21)12()(2
-+-+=。

（1）若
4321<<t ，求证：方程0)(=x f 在区间)0,1(-及)2
1
,0(上各有一个实数根。

（2)求)(x f 在区间]4,2[上的最大值。

16. （14分）设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意的0,0x y >>，都有()()()x
f f x f y y
=-恒成立，
且当1x >时，()0f x >.
（1）求(1)f 的值；（2）探究()f x 在(0,)+∞上是具有单调性.
17. （14分）已知函数1)2
1()(1
-=-x x f 。

（1）画出函数)(x f 的图像
（2）若方程a x f =)(有唯一解，则实数a 的取值范围；
（3）若函数)(x f 在区间],[b a 上的值域是]1,0[，则a b -的最大值。

18. (14分)已知正方体1111
ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）//1O C 面11AB D ；(2）
1AC ⊥面
11
AB D ．
19. （14分）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是正方形，侧棱
底面ABCD ，，
E 是PC 的中点，作交PB 于点
F 。

(I)证明
平面
； (II)证明
平面EFD ；
20. （12分）已知直线1l 过点A )0,2(，且直线1l 上的动点与点B )1,0(的最短距离是2；直线2l 与直线1l 垂直，且过AB 的中点。

（1）求直线l 方程； （2）求直线2l 的方程；
D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C。