2017-2018学年高一数学苏教版必修三教学案：第2章 章末小结与测评

一、抽样方法
抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．简单随机抽样有抽签法、随机数表法．1．抽签法的步骤
(1)编号：给总体中所有的个体编号(号码可以从1到N)；
(2)制签：将1～N这N个号码写在形状、大小都相同的号签上；
(3)搅拌：将号签放在一个容器中，搅拌均匀；
(4)抽签：每次从容器中不放回地抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；
(5)取样：从总体中，将与抽到的号签编号一致的个体取出．
2．系统抽样的步骤
从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本的步骤如下：
(1)编号：先将总体的N个个体编号；
(2)分段：确定分段间隔k，对编号进行分段；
(3)确定初始编号：在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )； (4)抽取样本：按照一定的规则抽取样本． 3．分层抽样的步骤
(1)分层，求抽样比：确定抽样比k ＝n N
；
(2)求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数n i ＝N i ×k ； (3)各层抽样：各层分别用简单随机抽样或系统抽样法抽取个体； (4)组成样本：综合每层抽取的个体，组成样本． 二、总体分布的估计 1．作频率分布直方图的步骤 (1)求全距．
(2)决定组距与组数，注意样本容量越大，所分组数越多． (3)将数据分组．
(4)计算各小组的频率，作频率分布表，各小组的频率＝各小组频数
样本容量.
(5)画频率分布直方图． 2．茎叶图刻画数据的优缺点 (1)所有信息都可以从图中得到； (2)便于记录和表示； (3)数据较多时不方便．
3．用样本的频率分布估计总体的分布时的注意事项
(1)对于同一组样本数据，确定的组距不同，得到的组数及分组也不同，绘制的频率分布直方图就会有差异，但都是对总体的近似估计．
(2)应用频率分布直方图时，需明确纵轴表示的是频率/组距，进而进行相关计算． (3)绘制茎叶图时需注意同一组数据中的相同数据要一一列出． 4．样本的数字特征
(1)样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．我们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征．
(2)在用样本的数字特征估计总体的数字特征时应注意：
①任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．特殊情况下，平均数可能受某几个极端值的影响，而偏离一般情况．
②标准差的平方是方差，标准差的单位与样本数据的单位一致．
③用样本的平均数和标准差估计总体的平均数和标准差时，样本的平均数和标准差只是总体的平均数和标准差的近似值．
三、线性回归方程
(1)两个随机变量x 和y 之间相关关系的确定方法有：
①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． (2)用公式求线性回归方程的一般步骤是： ①列表x i ，y i ，x i y i .
②计算x ，y ，∑i ＝1
n
x 2
i ，∑i ＝1
n
x i y i .
③代入公式计算b 、a 的值. ④写出线性回归方程． (3)学习变量的相关性时：
①注意通过实例辨析确定性关系(函数关系)与相关关系．根据散点图分析两个变量间的相关关系是正相关还是负相关．
②学会用最小平方法求已知样本数据的线性回归方程．用回归方程对数据进行估计时，得到的结果不是准确值．
(时间90分钟，满分120分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是________．
解析：由散点图知(1)为函数关系，(4)不具有相关关系，故(2)(3)正确． 答案：(2)(3)
2．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．
解析：应抽取的亩数分别为210×17510＝7(亩)，120×17510＝4(亩)，180×17
510＝6(亩)．
答案：7,4,6
3．设有一个直线回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y ^
减少________个单位．
解析：由y ^＝2－1.5x 知当x 增加一个单位时，y ^
减少1.5个单位． 答案：1.5
4．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本．已知从女生中抽取80人，则n ＝________.
解析：因为80∶1 000＝8∶100，所以n ∶(200＋1 200＋1 000)＝8∶100，所以n ＝192. 答案：192
5．在样本频率分布直方图中共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于所有各小矩形面积和的1
4
，样本容量是160，则中间一组的频数是________．
解析：因为所有小矩形的面积和为1，所以中间这个小矩形的面积是1
4＝0.25，即这一组样本
数据的频率是0.25，所以这组的频数是160×0.25＝40.
答案：40
6．一组数据的方差是s 2
，将这组数据中的每一个数都乘3，所得的一组新数据的方差是________．
解析：设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则3x 1,3x 2，…，3x n 的平均数为x ′＝1
n
(3x 1＋
3x 2＋…＋3x n )＝3x ，∴s ′2＝1n [(3x 1－3x )2＋(3x 2－3x )2＋…＋(3x n －3x )2
]＝9×1n
[(x 1－
x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝9s 2.
答案：9s 2
7．已知x ，y 的取值如下表：
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^
＝0.95x ＋a ，则a ＝________. 解析：由数据得x ＝2，y ＝4.5，而回归直线必过(x ，y )，将(2,4.5)代入线性回归方程，
得4.5＝0.95×2＋a ，故a ＝2.6. 答案：2.6
8．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的株数大约是________．
解析：底部周长小于110 cm 的频率为：(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周长小于110 cm 的株数大约是10 000×0.7＝7 000.
答案：7 000
9．某校为了了解学生做家务情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自做家务所用时间的数据，结果如图所示，则可得到这50名学生在这一天平均每人做家务的时间为________h.
解析：由题图可知，在调查的50名学生中有5人做家务时间为0 h ，有5人做家务时间为2.0 h ，有10人做家务时间为1.0 h ，有10人做家务时间为1.5 h ，有20人做家务时间为0.5 h ，所以一天中平均每人做家务的时间为(5×0＋5×2＋10×1＋10×1.5＋20×0.5)÷50＝45÷50＝0.9(h)．
答案：0.9
10．把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的频率之和为0.79，而剩下三组的频数满足：第一组频数是第二组频数的1
4，而第三组频数则是第二组频数的4
倍．那么剩下三组中频数最高的一组的频数是________．
解析：由题意知后三组的频率之和为1－0.79＝0.21， 故后三组的频数之和为0.21×100＝21.
设后三组中第二组的频数为a ，则1
4a ＋a ＋4a ＝21，
∴a ＝4.
即后三组的频数依次为1,4,16. 故后三组中频数最高的一组的频数是16. 答案：16
11．在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小长方形的面积分别为S 、2S 、3S 、4S ，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．
解析：∵S ＋2S ＋3S ＋4S ＝1，∴S ＝0.1.
∴4S＝0.4.∴0.4×400＝160.
答案：160
12．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：
甲乙
9 8 8 1 7 7 9 9
6 1 0 2 2 5 6
7 9 9
5 3 2 0 3 0 2 3
7 1 04
根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，某同学得到下列四个结论：
①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差；
②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数；
③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值；
④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定．
则其中所有错误结论的序号是________．
解析：①甲得分的极差为47－18＝29，乙得分的极差为33－17＝16，故①正确；②甲得分的中位数为30，乙得分的中位数为26，②正确；③x甲>x乙正确，s2甲<s2乙；④错误．答案：④
13．某班50名学生期末考试数学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断：
(1)成绩在49.5～59.5分段的人数与89.5～99.5分段的人数相等；
(2)从左到右数，第四小组的频率是0.03；
(3)成绩在79.5分以上的学生有20人；
(4)本次考试，成绩的中位数在第三小组．
其中正确的判断有________．
解析：(1)49.5～59.5与89.5～99.5两段所在矩形的高相等，所以人数相等．
(2)从左到右数，第四小组的频率/组距的值为0.03，频率为0.03×10＝0.3.
(3)79.5分以上的学生共有：50×(0.03＋0.01)×10＝20人．
(4)49.5～59.5与89.5～99.5段的人数相等，69.5～79.5段的人数比79.5～89.5的人数多，
所以中位数在69.5～79.5段，即在第三小组．
答案：(1)(3)(4)
14．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ，b 的取值分别是________．
解析：因为总体中位数是10.5，所以a ＋b
2
＝10.5，即a ＋b ＝21，b ＝21－a ，
所以总体平均数是x ＝110(2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋20)＝79＋a ＋b
10
＝
79＋21
10
＝10； 总体方差是s 2
＝110[(2－10)2＋(3－10)2＋…＋(a －10)2＋(b －10)2＋…＋(20－10)2
]＝
a 2
＋b 2
10
＋13.758＝
a 2＋
－a
2
10
＋13.758
＝15a 2－21
5
a ＋57.858 ＝15(a －212)2
＋35.808.因为7≤a ≤b ≤12，所以当a ＝10.5时，s 2取得最小值35.808，b ＝10.5. 答案：10.5,10.5
二、解答题(本大题共4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)如图是甲、乙两人在射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．
(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；
(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．
解：(1)
(2)x 甲＝9环，x 乙＝9环，s 2
甲＝23
，s 2乙＝1，
因为x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2
乙，
所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．
16．(本小题满分12分)已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下
(1)画出上表的散点图；
(2)求出回归直线并且画出图形；(3)回归直线必经过的一点是哪一点？ 解：(1)散点图如图
(2)x ＝1
10
(45＋42＋46＋48＋42＋35＋58＋40
＋39＋50)＝44.50，
y ＝1
10(6.53＋6.30＋9.52＋7.50＋6.99＋5.90＋9.49＋6.20＋6.55＋7.72)＝7.27，∑i ＝1
n
x i y i
＝3 283.9，n x － y －＝3 235.15，∑i ＝1
n
x 2i ＝20 183，n x 2
＝19 802.5，设回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，
则a ＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
≈0.13，b ＝y －a x ≈1.49
所以所求回归直线的方程为y ^
＝0.13x ＋1.49，图形如下：
(3)回归直线必经过(x ，y )即(44.50,7.27)．
17．(本小题满分12分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学
生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)； (2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在[75,85)分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 解：(1)
(2)
(3)成绩在[75,80)分的学生占70～80分的学生的
5
10
，因为成绩在[70,80)分的学生频率为
0.2，
所以成绩在[75,80)分的学生频率为0.1； 成绩在[80,85)分的学生占80～90分的学生的5
10，
因为成绩在[80,90)分的学生频率为0.32， 所以成绩在[80,85)分的学生频率为0.16， 所以成绩在[75,85)分的学生频率为0.26， 由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900＝234(人)．
18．(本小题满分14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.
(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)如图．
(2)∑i ＝1
n
x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.
x ＝3＋4＋5＋6
4＝4.5. y ＝
2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3.5.
∑i ＝1
n
x 2
i ＝32＋42＋52＋62
＝86. b ＝
66.5－4×4.5×3.586－4×4.52
＝66.5－63
86－81
＝0.7.
2
2 a＝y－b x＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
故线性回归方程为y
^
＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝
70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)．。