2021年高考物理一轮复习 第5章 功 功率 机械能 第3讲 讲义(人教版浙江)

[考试标准]
学问内容必考要求加试要求
重力势能 c c
弹性势能 b b
机械能守恒定律 d d
考点一机械能守恒的推断
1.重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点
重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关.
(2)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就削减；重力对物体做负功，重力势能就增加.
②定量关系：物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的削减量，即W G＝－ΔE p.
③重力势能的变化量是确定的，与参考面的选取无关.
2.弹性势能
(1)定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能.
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系
①弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系.
②对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大.
3.机械能
动能、重力势能和弹性势能统称为机械能.
4.机械能守恒定律
内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.
5.机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力. (2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功.
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零.
(4)系统跟外界没有发生气械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化.
[思维深化]
推断下列说法是否正确.
(1)克服重力做功，物体的重力势能肯定增加.(√)
(2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能.(√)
(3)弹簧弹力做正功时，弹性势能增加.(×)
(4)物体速度增大时，其机械能可能在减小.(√)
(5)物体所受合外力为零时，机械能肯定守恒.(×)
(6)物体受到摩擦力作用时，机械能肯定要变化.(×)
(7)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能肯定守恒.(√)
1.[对守恒条件的理解]下列关于机械能守恒的说法中正确的是()
A.做匀速运动的物体，其机械能肯定守恒
B.物体只受重力，机械能才守恒
C.做匀速圆周运动的物体，其机械能肯定守恒
D.除重力做功外，其他力不做功，物体的机械能肯定守恒
答案 D
解析匀速运动所受合外力为零，但除重力外可能有其他力做功，如物体在阻力作用下匀速向下运动，其机械能削减了，A错.物体除受重力或弹力也可受其他力，只要其他力不做功或做功的代数和为零，机械能也守恒，B错.匀速圆周运动物体的动能不变，但势能可能变化，故C错.由机械能守恒条件知，选项D正确.
2.[机械能守恒的推断](多选)如图1所示，下列关于机械能是否守恒的推断正确的是()
图1
A.甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，物体A 机械能守恒
B.乙图中，物体A 固定，物体B 沿斜面匀速下滑，物体B 的机械能守恒
C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A 加速下落，B 加速上升过程中，A 、B 组成的系统机械能守恒
D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 答案 CD
解析 甲图中重力和弹力做功，物体A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A 机械能不守恒，A 错.乙图中物体B 除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B 的机械能不守恒，B 错.丙图中绳子张力对A 做负功，对B 做正功，代数和为零，A 、B 组成的系统机械能守恒，C 对.丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D 对.
3.[机械能守恒的推断]如图2所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m 的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A 点，橡皮绳竖直时处于原长h .让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零.则在圆环下滑过程中( )
图2
A.圆环机械能守恒
B.橡皮绳的弹性势能始终增大
C.橡皮绳的弹性势能增加了mgh
D.橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
答案 C
解析 圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的
机械能不守恒，假如把圆环和橡皮绳组成的系统作为争辩对象，则系统的机械能守恒，故A 错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由图知橡皮绳先缩短后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故B 错误；依据系统的机械能守恒，圆环的机械能削减了mgh ，那么圆环的机械能的削减量等于橡皮绳的弹性势能增大量，为mgh ，故C 正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中动能始终增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的动能最大，故D 错误
.
机械能守恒条件的理解及推断
1.机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重
力或弹力作用”.
2.对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等状况，除非题目特殊说明，否则机械能必定不守恒.
3.对于系统机械能是否守恒，可以依据机械能的定义推断.机械能等于动能和势能之和，假如动能不变(匀速上升或匀速下降)，势能变化，机械能肯定不守恒.
考点二 机械能守恒定律的应用
机械能守恒的三种表达式 1.守恒观点
(1)表达式：E k1＋E p1＝E k2＋E p2或E 1＝E 2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能.
(3)留意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必需选取同一个零势能参考平面. 2.转化观点
(1)表达式：ΔE k ＝－ΔE p .
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或削减)的动能等于系统削减(或增加)的势能. 3.转移观点
(1)表达式：ΔE A 增＝ΔE B 减.
(2)意义：若系统由A 、B 两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A 部分机械能的增加量等于B 部分机械能的削减量. [思维深化]
利用守恒观点和转化观点列方程有何不同？ 答案 守恒观点必需选取零势能面，转化观点不用选取零势能面.
4.[处理圆周运动]质量为30 kg 的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是2.5 m.小孩的父亲将秋千板从最低点拉起1.25 m 高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为( ) A.0 B.200 N C.600 N D.1 000 N 答案 C
解析 小球从释放至最低点的过程中， 由机械能守恒定律：mgh ＝1
2m v 2①
在最低点，有F T －mg ＝m v 2
L ②
由①②得：F T ＝600 N.
5.[处理抛体运动]取水平地面为重力势能零点.一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等.不计空气阻力.该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 答案 B
解析 设物块水平抛出的初速度为v 0，高度为h ，由题意知12m v 20＝mgh ，即v 0＝2gh .物块在竖直方向上的运
动是自由落体运动，落地时的竖直分速度v y ＝2gh ＝v x ＝v 0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝π
4
，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误. 6.[处理多过程问题]如图3所示，竖直平面内的一半径R ＝0.50 m 的光滑圆弧槽BCD ，B 点与圆心O 等高，一水平面与圆弧槽相接于D 点，质量m ＝0.10 kg 的小球从B 点正上方H ＝0.95 m 高处的A 点自由下落，由B 点进入圆弧轨道，从D 点飞出后落在水平面上的Q 点，DQ 间的距离x ＝2.4 m ，球从D 点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h ＝0.80 m ，g 取10 m/s 2，不计空气阻力，求：
图3
(1)小球经过C 点时轨道对它的支持力大小F N ； (2)小球经过最高点P 的速度大小v P ； (3)D 点与圆心O 的高度差h OD . 答案 (1)6.8 N (2)3.0 m/s (3)0.30 m
解析 (1)设经过C 点时速度为v 1，由机械能守恒有mg (H ＋R )＝12m v 2
1
由牛顿其次定律有F N －mg ＝m v 2
1R
代入数据解得F N ＝6.8 N
(2)P 到Q 做平抛运动有h ＝12gt 2，x
2
＝v P t
代入数据解得v P ＝3.0 m/s.
(3)由机械能守恒定律，有12
m v 2
P ＋mgh ＝mg (H ＋h OD )，代入数据，解得h OD ＝0.30 m.
7.[处理多过程问题]山谷中有三块石头和一根不行伸长的轻质青藤，其示意图如图4.图中A 、B 、C 、D 均为石头的边缘点，O 为青藤的固定点，h 1＝1.8 m ，h 2＝4.0 m ，x 1＝4.8 m ，x 2＝8.0 m.开头时，质量分别为M ＝10 kg 和m ＝2 kg 的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发觉小猴将受到损害时，快速从左边石头的A 点水平跳至中间石头.大猴抱起小猴跑到C 点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D 点，此时速度恰好为零.运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：
图4
(1)大猴从A 点水平跳离时速度的最小值； (2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小； (3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小. 答案 (1)8 m/s (2)4 5 m/s (3)216 N
解析 (1)设猴子从A 点水平跳离时速度的最小值为v min ，依据平抛运动规律，有h 1＝1
2gt 2①
x 1＝v min t ②
联立①②式，得v min ＝8 m/s ③
(2)猴子抓住青藤后荡到右边石头上的运动过程中机械能守恒，设荡起时速度为v C ，有 (M ＋m )gh 2＝12(M ＋m )v 2
C ④ v C ＝2gh 2＝4 5 m/s ⑤
(3)设拉力为F T ，青藤的长度为L ，对最低点，由牛顿其次定律得F T －(M ＋m )g ＝(M ＋m )v 2C L ⑥
由几何关系(L －h 2)2＋x 22＝L 2⑦ 得：L ＝10 m ⑧
联立⑤⑥⑧式并代入数据解得： F T ＝(M ＋m )g ＋(M ＋m )v 2
C L
＝216 N
考点三 含弹簧类机械能守恒问题
物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能转变量.做功之和为正，系统总机械能增加，反之削减.
8.[含弹簧类机械能守恒问题]如图5所示，轻质弹簧下悬挂一个小球，手掌托小球使之缓慢上移，弹簧恢复原长时快速撤去手掌使小球开头下落.不计空气阻力，取弹簧处于原长时的弹性势能为零.撤去手掌后，下列说法正确的是()
图5
A.刚撤去手掌瞬间，弹簧弹力等于小球重力
B.小球速度最大时，弹簧的弹性势能为零
C.弹簧的弹性势能最大时，小球速度为零
D.小球运动到最高点时，弹簧的弹性势能最大
答案 C
9.[含弹簧类机械能守恒问题]如图6所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态.现让圆环由静止开头下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()
图6
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧弹性势能变化了3mgL
C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
答案 B
解析圆环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能削减，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故A、D错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不为零，即合外力不为零，故C错误；圆环重力势能削减了3mgL，由能量守恒定律知弹簧弹性势能增加了3mgL，故B正确.
10.[含弹簧类机械能守恒问题]如图7所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC 相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧自由端B与轨道最低点C 的距离为4R，现用一个小球压缩弹簧(不拴接)，当弹簧的压缩量为l时，释放小球，小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E；之后再次从B点用该小球压缩弹簧，释放后小球经过BCDE轨道抛出后恰好落在B 点，已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧始终处在弹性限度内，求其次次压缩时弹簧的压缩量.
图7
答案
210
5l
解析设第一次压缩量为l时，弹簧的弹性势能为E p.
释放小球后弹簧的弹性势能转化为小球的动能，设小球离开弹簧时速度为v1
由机械能守恒定律得E p＝1
2m v
2
1
设小球在最高点E时的速度为v2，由临界条件可知
mg＝m
v22
R
，v2＝gR
由机械能守恒定律可得1
2m v
2
1
＝mg×2R＋
1
2m v
2
2
以上几式联立解得E p＝5
2mgR
设其次次压缩时弹簧的压缩量为x，此时弹簧的弹性势能为E p′
小球通过最高点E时的速度为v3，由机械能守恒定律可得：E p′＝mg·2R＋1
2m v
2
3
小球从E点开头做平抛运动，由平抛运动规律得4R＝v3t,2R＝1
2gt
2，解得v3＝2gR，解得E p′＝4mgR
由已知条件可得
E p′
E p
＝x2
l2
，代入数据解得x＝210
5l.
练出高分
基础巩固题组
1.下列物体在运动过程中，可视为机械能守恒的是()
A.飘落中的树叶
B.乘电梯匀速上升的人
C.被掷出后在空中运动的铅球
D.沿粗糙斜面匀速下滑的木箱
答案 C
解析 A 项中，空气阻力对树叶做功，机械能不守恒；B 项中，人的动能不变，重力势能变化，机械能变化；C 项中，空气阻力可以忽视不计，只有重力做功，机械能守恒；D 项中，木箱动能不变，重力势能减小，机械能减小.
2.(多选)如图1所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a 位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b 位置.现将重球(视为质点)从高于a 位置的c 位置沿弹簧中轴线从静止释放，弹簧被重球压缩到最低位置d .不计空气阻力，以下关于重球运动过程的正确说法应是( )
图1
A.重球下落压缩弹簧由a 至d 的过程中，重球做减速运动
B.重球下落至b 处获得最大速度
C.重球由c 至d 过程中机械能守恒
D.重球在b 位置处具有的动能小于小球由c 下落到b 处削减的重力势能 答案 BD
3.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( ) A.一样大 B.水平抛的最大 C.斜向上抛的最大 D.斜向下抛的最大
答案 A
解析 由机械能守恒定律mgh ＋12m v 21＝12
m v 2
2知，落地时速度v 2的大小相等，故A 正确.
4.如图2所示，在地面上以速度v 0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h 的海平面上.若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
图2
A.重力对物体做的功为mgh
B.物体在海平面上的势能为mgh
C.物体在海平面上的动能为12m v 2
0－mgh
D.物体在海平面上的机械能为12m v 2
0＋mgh
答案 A
解析 重力对物体做的功只与初、末位置的高度差有关，为mgh ，A 正确；物体在海平面上的势能为－mgh ，B 错误；由动能定理mgh ＝12m v 2－12m v 20，到达海平面时动能为12m v 2
0＋mgh ，C 错误；物体只受重力做功，机
械能守恒，等于地面时的机械能12m v 2
，D 错误.
5.将一物体以速度v 从地面竖直上抛，当物体运动到某高度时，它的动能恰为重力势能的一半(以地面为零势能面)，不计空气阻力，则这个高度为( ) A.v 2g B.v 22g C.v 23g D.v 24g
答案 C
解析 物体的总机械能为E ＝12m v 2，由机械能守恒得12m v 2＝mgh ＋12m v ′2，由题意知mgh ＝2×12m v ′2
，解得h ＝v 23g ，
选项C 正确.
6.如图3所示，在高1.5 m 的光滑平台上有一个质量为2 kg 的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧.当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g ＝10 m/s 2)( )
图3
A.10 J
B.15 J
C.20 J
D.25 J 答案 A
解析 由2gh ＝v 2y －0得：v y ＝2gh ，即v y ＝30 m/s ，落地时，tan 60°＝v y v 0可得：v 0＝v y
tan 60°＝10 m/s ，由
机械能守恒定律得E p ＝12
m v 2
0，可求得：E p ＝10 J ，故A 正确.
7.(多选)如图4所示，一轻弹簧一端固定在O 点，另一端系一小球，将小球从与悬点O 在同一水平面且使弹簧保持原长的A 点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A 点摆向最低点B 的过程中，下列说法中正确的是( )
图4
A.小球的机械能守恒
B.小球的机械能削减
C.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D.小球与弹簧组成的系统机械能守恒 答案 BD
解析 小球由A 点下摆到B 点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做负功，所以小球的机械能削减，故选项A 错误，B 正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球削减的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C 错误，D 正确. 8.(多选)图5是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B 处安装一个压力传感器，其示数N 表示该处所受压力的大小.某滑块从斜面上不同高度h 处由静止下滑，通过B 时，下列表述正确的有(
)
图5
A.N 小于滑块重力
B.N 大于滑块重力
C.N 越大表明h 越大
D.N 越大表明h 越小
答案 BC
解析 设滑块质量为m ，在B 点所受支持力为F N ，圆弧半径为R .滑块从高度h 处由静止下滑至B 点过程中，
由机械能守恒定律有12m v
2
B ＝mgh ，在B 点滑块所需向心力由合外力供应，得F N －mg ＝m v 2B R .由牛顿第三定律知，
传感器示数N 等于F N ，解得N ＝mg ＋2mgh
R ，由此式知N >mg ，且h 越大，N 越大.选项B 、C 正确.
力量提升题组
9.如图6所示是某公园设计的一种惊险刺激的消遣设施.管道除D 点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑.若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、其次个圆管轨道A 、B 内部(圆管A 比圆管B 高).某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过第一个圆管轨道A 内部最高位置时，对管壁恰好无压力.则这名挑战者( )
图6
A.经过管道A 最高点时的机械能大于经过管道B 最低点时的机械能
B.经过管道A 最低点时的动能大于经过管道B 最低点时的动能
C.经过管道B 最高点时对管外侧壁有压力
D.不能经过管道B 的最高点 答案 C
解析 A 管最高点恰好无压力，可得出mg ＝m v 2
A R
.
依据机械能守恒定律，A 、B 选项中机械能和动能都是相等的，选项C 中由于管B 低，到达B 最高点的速度v B >v A .由F N ＋mg ＝m v 2B r >m v 2
A R
＝mg ，即F N >0即经过管道B 最高点时对管外侧壁有压力，故选C.
10.如图7所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN 是通过椭圆中心O 点的水平线.已知一小球从M 点动身，初速率为v 0，沿管道MPN 运动，到N 点的速率为v 1，所需时间为t 1；若该小球仍由M 点以初速率v 0动身，而沿管道MQN 运动，到N 点的速率为v 2，所需时间为t 2，则( )
图7
A.v 1＝v 2，t 1>t 2
B.v 1<v 2，t 1>t 2
C.v 1＝v 2，t 1<t 2
D.v 1<v 2，t 1<t 2
答案 A
解析 依据机械能守恒定律可知v 1＝v 2，再依据速率变化特点知，小球由M 到P 再到N ，速领先减小至最小，再增大到原速率.小球由M 到Q 再到N ，速领先增大至最大，再减小到原速率.由两球运动速率特点以及两条路径的路程相等可画出如图所示图象，由图象可
知小球沿MQN 路径运动的平均速率大，所以t 1>t 2，故选项A 正确.
11.如图8所示，质量为m 的小球，用OB 和O ′B 两根轻绳吊着，两轻绳与水平天花板的夹角分别为30°和60°，这时OB 绳的拉力大小为F 1，若烧断O ′B 绳，当小球运动到最低点C 时，OB 绳的拉力大小为F 2，则F 1∶F 2等于( )
图8
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4 答案 D
解析 烧断O ′B 轻绳前，小球处于平衡状态，合力为零， 依据几何关系得：F 1＝mg sin 30°＝1
2
mg ；
烧断O ′B 绳，设小球摆到最低点时速度为v ，绳长为L .小球摆到最低点的过程中，由机械能守恒定律得：mgL (1－sin 30°)＝1
2m v 2
在最低点，有F 2－mg ＝m v 2
L
联立解得F 2＝2mg ；故F 1∶F 2等于1∶4.
12.(多选)如图9所示轨道是由始终轨道和一半圆轨道组成的，一个小滑块从距轨道最低点B 为h 高度的A 处由静止开头运动，滑块质量为m ，不计一切摩擦.则( )
图9
A.若滑块能通过圆轨道最高点D ，h 的最小值为2.5R
B.若h ＝2R ，当滑块到达与圆心等高的C 点时，对轨道的压力为3mg
C.若h ＝2R ，滑块会从C 、D 之间的某个位置离开圆轨道做斜上抛运动
D.若要使滑块能返回到A 点，则h ≤R 答案 ACD
解析 要使滑块能通过最高点D ，则应满足mg ＝m v 2
R ，可得v ＝gR ，即若在最高点D 时滑块的速度小于gR ，
滑块无法达到最高点；若滑块速度大于等于gR ，则可以通过最高点做平抛运动.由机械能守恒定律可知，mg (h －2R )＝12m v 2，解得h ＝2.5R ，A 正确；若h ＝2R ，由A 至C 过程由机械能守恒可得mg (2R －R )＝12m v 2
C ，在C
点，由牛顿其次定律有F N ＝m v 2
C R ，解得F N ＝2mg ，由牛顿第三定律可知B 错误；h ＝2R 时小滑块不能通过D
点，将在C 、D 中间某一位置离开圆轨道做斜上抛运动，故C 正确；由机械能守恒可知D 正确.
13.如图10所示，质量为m 的物体，以某一初速度从A 点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B 时的速度为3gR ，求：
图10
(1)物体在A 点时的速度大小； (2)物体离开C 点后还能上升多高. 答案 (1)3gR (2)3.5R
解析 (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B 点为零势能点.设物体在B 处的速度为v B ，则mg ·3R ＋12m v 20＝12m v 2B ，得v 0＝3gR .
(2)设从B 点上升到最高点的高度为H B ， 由机械能守恒可得mgH B ＝12m v 2
B ，
H B ＝4.5R
所以离开C 点后还能上升H C ＝H B －R ＝3.5R .
14.如图11所示，某人乘滑板水平离开平台边缘A 点时的速度v A ＝4.0 m /s ，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B 点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道滑行.C 为轨道的最低点，B 、D 为轨道与水平地面的连接点.已知人和滑板可视为质点，其总质量m ＝60.0 kg ，空气阻力忽视不计，轨道半径R ＝2.0 m ，轨道BCD 对应的圆心角θ＝74°，g 取10 m/s 2，cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6.
图11
(1)求人与滑板在B 点的速度大小；
(2)求运动到圆弧最低点C 时轨道对人支持力的大小. 答案 (1)5 m/s (2)1 590 N
解析 (1)人和滑板恰能无碰撞地沿圆弧切线从B 点进入光滑竖直圆弧轨道，由几何关系知此时人的速度方向与水平方向夹角α＝37°.则人与滑板在B 点的速度大小
v B ＝v A cos
α＝4cos 37°
＝5 m/s
(2)人和滑板在光滑圆弧轨道运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，则 mgR (1－cos 37°)＋12m v B 2＝1
2
m v C 2
在C 点，由牛顿其次定律得：F N －mg ＝m v 2C
R
解得F N ＝1 590 N.
15.如图12所示，一内壁光滑的细管弯成半径为R ＝0.4 m 的半圆形轨道CD ，竖直放置，其内径略大于小球的直径，水平轨道与竖直半圆轨道在C 点平滑连接.置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B 处为弹簧的自然状态.将一个质量为m ＝0.8 kg 的小球放在弹簧的右侧后，用力水平向左推小球而压缩弹簧至A 处，然后将小球由静止释放，小球运动到C 处时对轨道的压力大小为F 1＝58 N.水平轨道以B 处为界，左侧AB 段长为x ＝0.3 m ，与小球间的动摩擦因数为μ＝0.5，右侧BC 段光滑.g ＝10 m/s 2，求：
图12
(1)弹簧在压缩时所储存的弹性势能；
(2)小球运动到轨道最高处D 点时对轨道的压力. 答案 (1)11.2 J (2)10 N ，方向竖直向上
解析 (1)对小球在C 处，由牛顿其次定律及向心力公式得F 1－mg ＝m v 2
1R ，
v 1＝
(F 1－mg )R
m
＝ (58－0.8×10)×0.4
0.8
m /s ＝5 m/s.
从A 到B 由动能定理得E p －μmgx ＝12
m v 2
1，
E p ＝12m v 21＋μmgx ＝12×0.8×52 J ＋0.5×0.8×10×0.3 J ＝11.2 J. (2)从C 到D ，由机械能守恒定律得： 12m v 21＝2mgR ＋12m v 22， v 2＝
v 21－4gR ＝
52－4×10×0.4 m /s ＝3 m/s ，
由于v 2＞gR ＝2 m/s ，
所以小球在D 处对轨道外壁有压力.
小球在D 处，由牛顿其次定律及向心力公式得F 2＋mg ＝m v 22R ，F 2＝m ⎝⎛⎭
⎫v 22R －g ＝0.8×⎝⎛⎭⎫320.4－10 N ＝10 N. 由牛顿第三定律可知，小球在D 点对轨道的压力大小为10 N ，方向竖直向上.。