安徽省六安市2020届高三下学期组卷理数试题Word版含解析 (2)

安徽省六安市2020届高三下学期组卷
理数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{}{
}
2
|1,|0A x x B x x x =<=-≤，则A B =I （ ）
A ．{}|11x x -≤≤
B ．{}|01x x ≤≤
C ．{}|01x x <≤
D ．{}|01x x ≤< 【答案】D
考点：1、集合的表示；2、集合的交集.
2.设i 是虚数单位，若复数z 满足()11z i i +=-，则复数z 的模z =（ ）
A ．-1
B ．1
C 2
D ．2 【答案】B 【解析】
试题分析：因为()11z i i +=-，所以()2
1112
i i z i i --===-+,所以有1z =,故选B. 考点：1、复数的模；2、复数的运算.
3.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是（ ）
A ．抽签法
B ．随机数法
C ．系统抽样法
D ．分层抽样法 【答案】D 【解析】
试题分析：总体由男生和女生组成，比例为400:6002:3=,所抽取的比例也是2:3,故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法, 故选D. 考点：样本估计总体及分层抽样法.
4.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为2 ）
A ．2y x =±
B ．y =
C ．2y x =±
D ．1
2
y x =± 【答案】C
考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.
5.若()
1,a b a b a ==-⊥v v v v v
，则a v 与b v 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75° 【答案】B 【解析】
试题分析：设两个向量的夹角为θ,()()
,0a b a a b a -⊥∴-=r r r r r r
Q g
,即20a a b -=r r r g ,即
2
cos 0a a b θ-=r r r
,[]10,cos 0,,4
π
θθθπθ∴-=∴=
∈∴=Q , 故选B. 考点：1、向量的模与夹角；2、平面向量的数量积公式.
6.已知1n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项．
A ．5
B ．4
C ．4或5
D ．5或6 【答案】A 【解析】
试题分析：Q 1n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，369n ∴=+=,第1r +项系数为
()191,4r
r r T C r +=-=时1r T +最大,故展开式中系数最大的项为第5项. 故选A.
考点：1、二项展开式定理；2、二项展开式的通项与系数.
7.函数(
)()()
2
2,20,02x f x x x x -≤<=-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．5π- B ．1π+ C ．3π- D ．1π- 【答案】
A
考点：1、定积分的几何意义；2、定积分求曲边形的面积.
8.体积为43
π的球O 放置在棱长为4正方体1111ABCD A B C D -上，且与上表面1111A B C D 相切，切点为该表面的中心，则四棱锥O ABCD -的外接球的半径为（ ） A ．
103 B ．3310 C ．2 D ．236
【答案】B 【解析】
试题分析：Q 球O 的体积为4
3
π, 球O 的半径为1,四棱锥O ABCD -的外接球的半径为R ,则
(
)(2
2
2
41R R =+-+,解得33
10
R =
, 故选B. 考点：1、球的体积公式；2、几何体外接球的性质.
9.函数()()3sin ln 1f x x x =+g 的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
考点：1、函数的图象和性质；2、利用导数研究函数的单调性和最值.
10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）
A ．88246+
B ．88226+
C ．2226+．126
224
++ 【答案】A 【解析】
试题分析：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A BCD -,作出直观图如图所示，其中,,A C D 为正方体的顶点，B 为正方体的棱的中点.11
244,244,22
ABC BCD S S ∆∆=
⨯⨯==⨯⨯= 1
42,,442822
ACD AC AC CD S ∆=⊥∴=⨯⨯=Q 由勾股定理得224225AB BD ==+=，
3AD =222126
cos ,sin 255
AB BD AD ABD ABD AB BD +-∴∠==∴∠=g ,
126
25254625
ABD S ∆∴=⨯⨯⨯=.∴几何体的表面积为88246++.故答案为A.
考点：1、三视图的性质；2、几何体的表面积.
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图及空间几何体的表面积，属于中档题. 求以三视图为背景的几何体的表面积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体的表面积的问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题， 即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点.求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.
11.已知()11,A x y 是抛物线2
8y x =的一个动点，()22,B x y 是圆()2
2
216x y -+=上的一个动点，定点
()2,0N ，若//AB x 轴，且12x x <，则NAB ∆的周长l 的取值范围是（ ）
A ．()6,10
B ．()10,12
C ．()8,12
D ．()8,10 【答案】C
考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的简单性质及定义.
【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及抛物线的定义，属于难题.与抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到
准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题求三角形周长时就是将,AF BF 转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.
12.设等差数列{}n a 满足：()
22222
233363645sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差
()1,0d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．74,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．43,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．43,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B
考点：1、同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数；2、差数列的性质及前n 项和的最值. 【方法点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数以及等差数列的性质及前n 项和的最值，属于难题.求等差数列前n 项和的最大值值的方法通常有两种：①将前前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2
An Bn =+，当2B n A =-
时有最大值（若2B
n A
=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.本题根据方法①确定1a 的取值范围的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为____________．（参
考数据：00
3 1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305≈≈≈）
【答案】24
考点：程序框图及循环结构. 14.函数()32sin cos ,0,34f x x x x ππ⎛⎫
⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
的最小值为__________． 【答案】0 【解析】
试题分析：()2
13111cos 22sin cos sin 23sin 2322
22x f x x x x x x x ⎛⎫-==+=
⎪ ⎪⎝⎭ 3sin 23x π⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭370,,2,4336x x ππππ⎛⎤⎡⎤∈∴-∈- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦Q ,sin 23x π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的最小值为32-()f x 的最小值为33
022
-
+=,故答案为0.
考点：1、两角差的正弦、余弦公式；2、二倍角的正弦余弦公式. 15.已知等比数列{}n a 的首项为
43，公比为1
3
-，其前n 项和记为S ，又设135
21,,,,248
2n n n B -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭L L ()
*,2n N n ∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则
22014S T +≥的最小正整数n 为_____________．
【答案】45
考点：1、等比数列与等差数列的前n 项和公式；2、集合的子集与子集个数问题.
【思路点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的前n 项和公式，以及集合的子集与子集个数问题，属于难题.要解答本题，首先等比数列{}n a 的前n 项和S ，然后根据子集个数和化归思想将“n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ”转化为“1
2n -个
212n
n -，2
2n -个1232n n --， (1)
个34（34为最大元素）的和等于T ”，
最后再根据整数不等式“试根法”可解答本题.
16.设函数()2x
g x e x a =+-（,a R e ∈为自然对数底数），定义在R 上函数()f x 满足：
()()2f x f x x -+=，且当0x <时，()f x x '<，若存在()()01|12x x f x f x x ⎧⎫
∈+≥-+⎨⎬⎩⎭
，使
()00g g x x =⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围为___________．
【答案】12⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
考点：1、抽象函数的奇偶性、单调性；2、构造函数解不等式.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究抽象函数的单调性、构造函数解不等式及方程的根的问题，属于难题.解答本题的关键是求出0x 的范围，也就是化简集合()()1|12x f x f x x ⎧
⎫
+≥-+⎨⎬⎩⎭
，即是求出不等式的()()1
12
f x f x x +
≥-+解集，解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．
（1）若0
30DAC ∠=，求B ∠；
（2）若2BD DC =，且AD =DC ． 【答案】(1)060B ∠=；（2）2DC =.
∴sin AC B AB BC =
===， 在ABD ∆中，2
2
2
2cos AD AB BD AB BD B =+-g g
，
即()
2
2226
22
6426223
x x x x x =+-⨯⨯⨯
=，得2x =．故2DC =． 考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用. 18.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点．
（1）求证：AE BD ⊥；
（2）设平面ABD ⊥平面BCD ，2,4AD CD BC ===，求二面角B AC D --的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；（2）
42
7
.
同理可求平面ADC 的一个法向量()
0,3,3m =u v
．
设二面角B AC D --的大小为θ，则7
cos m n m n
θ==
u v v g u v v ， ∵0θπ<<，∴2
42
sin 1cos 7
θθ=-=
， ∴二面角B AC D --的正弦值为
427
．
考点：1、线面垂直的定义及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式. 19.（本小题满分12分）
2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的 圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、 第二关、第三关顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当 选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可能选择继续闯下一关，若有任何一关没有 闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为321,,432
， 选手选择继续闯关的概率均为
1
2
，且各关之间闯关成功与否互不影响． （1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率； （2）设该选手所得学豆总数为X ，求X 的分布列与数学期望． 【答案】(1)
316；（2）分布列见解析，9516
.
（2）X 所有可能的取值为 0,5,15,35
()()()()()3731301,5,
41642831211312111
15,35423284232216
P X P A P X P X P X ⎛⎫
==-+===⨯= ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯=
，
所以X 的分布列为：
1195
05153516881616
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=
考点：1、独立事件同时发生的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望. 20.（本小题满分12分）
已知直线1y x =+被圆2
2
3
2
x y +=截得的弦长恰与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆
C 的离心率2
e =
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点10,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的动直线l 交椭圆C 于,B A 两点，试问：在y 轴上是否存在一个定点T ，使得 无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 2
212
x y +=；
（2）存在一个定点()0,1T 满足条件.
解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为2
2
1x y +=，
若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为2
2
11639x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭，
由222
2
1
11639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=
⎪ ⎪⎝⎭⎩
，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是()0,1事实上点()0,1T 就是所求的点，证明如下：
当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为2
2
1x y +=，过点()0,1T ；
当直线l 的斜率存在，设直线方程为1
3
y kx =-
， 代入椭圆 方程并整理得(
)
2
2
18912160k x x +--=，
设点A B 、的坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则12212212189
16189k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，因为()()1122,1,,1TA x y TB x y =-=-u u v u u v ，
所以有
()()()222212121212122416161616321611039189
k k k TA TB x x y y y y k x x k x x k ---++=+-++=+-+==+u u v u u v g
所以TA TB ⊥u u v u u v
，即以AB 为直径的圆恒定过点()0,1T ,
综上可知，在坐标平面上存在一个定点()0,1T 满足条件 .
考点：1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及曲线过定点问题.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及韦达定理及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 21.（本小题满分12分）
已知函数()2
x
f x e ax =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+．
（1）求,a b 的值；
（2）求函数()f x 在[]0,1上的最大值；
（3）证明：当0x >时，()1ln 10x
e e x x x +---≥．
【答案】(1) 1,2a b e ==-；（2）1e -；（3）证明见解析.
（2）法1：由（1）知，()2x f x e x =-，∴()[]21210,0,1x
f x e x x x x x '=-≥+-=-≥∈，
故()f x 在[]0,1上单调递增，所以，()()max 11f x f e ==-．
故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 又()()010g g ==，∴()()2
210x
g x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号．
故
()21
,0x e e x x x x
+--≥>． 由（2）知，1x
e x ≥+，故()ln 1x x ≥+，∴1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．
所以，
()21
ln 1x e e x x x x
+--≥≥+． 即
()21
ln 1x e e x x x
+--≥+．所以，()21ln x e e x x x x +--≥+， 即()1ln 10x
e e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立.
考点：1、导数的几何意义及不等式的证明；2、利用导数研究函数的单调性及最值.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的证明和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在ABC ∆中，0
90B ∠=，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于,E AE 交圆O 于点F ．
（1）证明：E 是BC 的中点； （2）证明：AD AC AE AF =g g ．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.
所以CDE C ∠=∠，得ED EC =，因此EB EC =，
即E 是BC 的中点．
（2）证明：连接BF ，显然BF 是Rt ABE ∆斜边上的高， 可得ABE AFB ∆∆:，于是有
AB AE
AF AB
=
，即2AB AE AF =g ， 同理可得2
AB AD AC =g ，所以AD AC AE AF =g g ．
考点：1、弦切角定理及等腰三角形性质；2、圆的性质及相似三角形. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线C
的方程是4πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，0απ≤<）
，设()1,2P ， 直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点． （1）当0α=时，求AB 的长度； （2）求2
2
PA PB +的取值范围． 【答案】(1)2；（2）(]6,14.
()()()2222
2121224cos 2sin 820sin 6PA PB t t t t αααϕ+=+-=+-=+-，
(]22
6,14PA PB +∈．
考点：1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化及点到直线的距离公式. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()f x x x =- （1）当1a =时，求不等式()1
2
f x ≥
的解集； （2）若对任意[]0,1α∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．
【答案】(1)1,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）)
+∞.
所以()2
2
2
112g a =+≤+
+==1
2
a =
时等号成立．
所以()max g a ⎡⎤⎣⎦b 的取值范围为 )
+∞． 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.。