(新华东师大版)-23.1.1成比例线段(1)成比例线段的概念-(2015-9上课用)
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解：设古塔的高为 x m，根据题意得
x 1.5 50 2.5
解得 x = 30
答：古塔的高为 30 m.
X米
2.5 米
1.5 米
测竿
50米
测竿影长
古塔影长
第18页，共42页。
继续探索
在比例式
3x 4 y5
中，比例的内项为__4，__y__,比例的外
为__3_x_，__5___.
在小学学过的比例中，我们有2:3=4:6，便可得
小结： a∶b＝c∶d或
a b
dac 、b、c、d四条线
段成比例， 当比例内项相同时，比例式变为：
a:b=b:c ,此时线段b叫线段a，c的比例中项。
b2 ac
第12页，共42页。
对应练习
1.求下列线段a、b的比例中项.
（1）a＝3，b＝27；(2） a
5N2o1 ,b
5 1 2
2. 2和8两数的比例中项是I_m_a_g_e
解： 设
abc 2 = 5 = 6 = k,
则 a=2k, b=5k, c=6k,
∴
2a+5b–c 3a–2b+c
=
4k+25k–6k 6k–10k+6k
= 223.
第17页，共42页。
例4
例题解析
在相同时刻的物高与影长成比例. 如果一古塔在 地面上的影长为50 m ，同时，高为1.5 m的测竿的 影长为2.5 m ，那么古塔的高是多少？
“黄金矩形”（如躯干轮廓、头部 轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6
个“黄金指数”（如鼻唇指数是 指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目 指数是指口裂长度与两眼外眦间 距之比、唇高指数是指面部中线 上下唇红高度之比等）、3个“黄 金三角”（如外鼻正面观三角、外 鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角 点组成的三角等）。
第36页，共42页。
即
a b=
b c
，
或
a：b=b：c，
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
第30页，共42页。
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式
(比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b=d
ab c=d
第31页，共42页。
dc b=a .
说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立
【解】 (2)
c 0.64 0.8, a 0.8
d 2.4 0.8 b3
c d ab
∴这四条线段是成比例线段。
第11页，共42页。
（3）a=1cm, b=2cm, c=2cm, d=4cm
【解】 (3)
a 1, c 2 1
b 2d 4 2
a c bd
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
只要留心，就会在生活的方方面面发现其“魅影”，如果 我们灵活地加以运用，将大大提高我们的生活质量。
例如，根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写 字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连火柴盒、国旗的 长宽比例，都恪守0.618比值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台 宽度的0.618之处；最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得
定理”等。就是将一条线段分成两部分,使其中一部分与全长的比
等于另一部分与这部分的比,这个比值为 比.这种线段的分割称为黄金分割.可以用
=50.-6118,称其为黄金
2
0.618034……:0.381965……来表示，但人们多把它简称为
0.618。
第34页，共42页。
如何找出黄金分割点
如图,已知线段AB按照 如下方法作图:
那么 a c bd
ac bd
比例式
ad bc
等积式
文字叙述
两内项之积等于两外项之积
第22页，共42页。
课堂小结
1、成比例线段的概念
ac bd
2、比例的基本性质
称a、b、c、d成
比例线段
ac bd
ad bc
3、判断四条线段是否成比例的步骤：
一排二算三判断
第23页，共42页。
讲解例2，并总结合比性质和等比 性质
文明古国埃及的金字塔，形似方锥， 大小各异。但这些金字塔底面的边长 与高这比都接近于0.618.
第37页，共42页。
第38页，共42页。
《蒙娜丽莎》
《维特鲁维 人》
黄金分割出现在达·芬奇
的许多著名作品中 。
《圣徒杰罗姆》
第39页，共42页。
雕塑中的黄金分割比
中外历代雕塑更能说明问题。
就像《米罗的维纳斯》一样， 古希腊雕塑大多把人体比例规 范被确定为7个头长,到后期又确 定为8个头长。同时,几何学中的黄
第5页，共42页。
例题解析
例1 判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a=4, b=8, c=5, d=10;
【解】
a b
4 8
,1 c
2d
5 10
1 2
a b
c d
,
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
第6页，共42页。
(2)a 2,b 2 15, c 5, d 5 3
【解】 a 2 _2_5_ c 55
的长度之比等于另外两条线段的长度之比， 如 a c bd
（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，
简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
比例内项
a:b=c:d
a、b、c的第四比例项
比例外项
第4页，共42页。
知识概括
知识点2 比例的基本性质
ac
ad bc
bd
比例式
等积式
文字叙述 两内项之积等于两外项之积
b d
2 5
15 3
25
__5__
排序： a、c、b、d
a b cd
∴这四条线段是成比例线段。
第7页，共42页。
（3）a=0.5m,b=25cm,c=0.2m,d=10cm
【解 ∵a=0.5m=50cm,c=0.2m=20cm
】
a b
50 25
2,
c d
20 10
2
a b
c d
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
=
(b+d+…n)k b+d+…n
=k
=
a b
.
第28页，共42页。
已知四条线段a、b、c、d ，
如果
a b=
c d
，
或
a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项， 线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
第29页，共42页。
如果作为比例内项的是两条相同的线段 ，
D E
1.经过点B作BD⊥AB,使
2.连接AD,在AD上截取
A
DE=DB.
C
B
3.在AB上截取AC=AE. 则点C是线段AB的黄金分割点
第35页，共42页。
经过多年的总结分析，人们 发现，在人体中也包含着多种 “黄金分割”的比例因素，至少 可以找出18个“黄金点”（如： 脐为头顶至脚底之分割点、喉结 为头顶至脐分割点、眉间点为发 缘点至颏下的分割点等）、15个
温馨提示:
线段比例中项与数的比例中项是两个不 同的概念,前者是一个正数,而后者是一对
相反数.
第13页，共42页。
例题解析
例3
（2012凉山州）已知
b 5 ,则
a 13
ab ab
的值为（ D ）
A. 2 3
B. 3 2
C. 9 4
D. 4 9
第15页，共42页。
对应练习
已知 a b c ，且a、b、c都是正数，求 a 3b 2c
金分割又被认为是美的比例运用 到美术创作中。如希腊雕塑的典
范作品《持矛者》塑造了一个体
格强壮、动作从容的青年战士的形 象，从这个形象上体现了作者对 “黄金分割”这一最和谐的人体比 例关系的探索和应用。
第40页，共42页。
经典设计中的黄金分割比
---Iphone & ipad
苹果logo
第41页，共42页。
小结：
（1）线段的比值是一个没有单位的正数。
（2）线段的长度单位不同时，先要统一单位。
第8页，共42页。
知识点3 成比例线段判断的步骤
一排：
二算： 三判断：
第9页，共42页。
对应练习
1、判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a=2cm, b=4cm, c=3m, d=6m;
（2）a=0.8, b=3,
(b+d+…+n≠0),
那么
a+c+…+m b+d+…+n
=
a b
.
第27页，共42页。
ac b =d
= …=
m
n
？
a+c+…+m a b+d+…+n = b .
证明：设
ac b=d
= …=
m n
=k,
则 a=bk, c=dk, … m=nk,
∴
a+c+…+m b+d+…+n
=
bk+dk+…nk b+d+…n
“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档
价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。对它的各种神奇的 作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发 挥我们意想不到的作用。内含“黄金分割比”的五角星形状也非常耐人寻 味，世界上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国 旗上上的“星”都是五角形的星。
§23.1 成比例线段（1）
第1页，共42页。
形状相同 大小不同
第2页，共42页。
知识探索
由格点图可知，
AB AB
=__12____2___,
BC BC
42
____2______ .
AB = BC AB BC
第3页，共42页。
知识概括
知识点1 成比例线段的概念
对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段
第24页，共42ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
(2)合比性质
如果
a b
=
c d
，
那么
a±b b
=
c±d d
.
第25页，共42页。
例1、已知
x+y 3y =
45，求
x y.
解：
∵
x+y 3y
=
5 4
，
∴x+y y =
15 4
，
∴x+yy–y
15–4 =4
，
∴
x 11 y=4.
第26页，共42页。
(3)等比性质
ac
m
如果 b = d = …= n
第42页，共42页。
2×__6__=3×___4__.
这就是小学的四个数成比例的性质：
_两_内__项__之_积__等__于__两_外__项__之__积__.
其实，在成
比例的线段中 也有同样的性 质
第21页，共42页。
知识概括
知识点2 比例的基本性质
如果a c ，那么 ad bc
bd
如果 ad b（c a、b、c、d都不等于0），
c=0.64, d=2.4.
（3）a=1cm, b=2cm, c=2cm, d=4cm
【解】
(1) a 2 1 , b42
a c bd
c 31 d 62
注意：
比的前、后项 单位统一
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
第10页，共42页。
（2）a=0.8, b=3, c=0.64, d=2.4.
234 的值。
2a b
等同于a:b:c=2:3:4,称为连比
【解】
设
a 2
b 3
c 4
k
,则a=2k,
b=_3_k__,
c=_4_k__.
a 3b 2c 2k 33k 2 4k 3k 3
2a b
2 2k 3k
7k 7
学法
指导
涉及连比的题目，都设每一份为k
第16页，共42页。
例2、已知 a：b：c=2：5：6， 求 23aa+–25bb+–cc的值.
(比值变了).
a c
b=d
bd a=c .
第32页，共42页。
本课小结： 主要内容： 成比例线段的意义，
比例的3个主要性质及其应用. 能力要求： 通过本课的学习，
形成比例变形的能力， 要做一定量的习题，达到熟练.
第33页，共42页。
什么是 黄 金 比
黄金比也叫“黄金律”、“中外比”、“中末比” “折纸
x 1.5 50 2.5
解得 x = 30
答：古塔的高为 30 m.
X米
2.5 米
1.5 米
测竿
50米
测竿影长
古塔影长
第18页，共42页。
继续探索
在比例式
3x 4 y5
中，比例的内项为__4，__y__,比例的外
为__3_x_，__5___.
在小学学过的比例中，我们有2:3=4:6，便可得
小结： a∶b＝c∶d或
a b
dac 、b、c、d四条线
段成比例， 当比例内项相同时，比例式变为：
a:b=b:c ,此时线段b叫线段a，c的比例中项。
b2 ac
第12页，共42页。
对应练习
1.求下列线段a、b的比例中项.
（1）a＝3，b＝27；(2） a
5N2o1 ,b
5 1 2
2. 2和8两数的比例中项是I_m_a_g_e
解： 设
abc 2 = 5 = 6 = k,
则 a=2k, b=5k, c=6k,
∴
2a+5b–c 3a–2b+c
=
4k+25k–6k 6k–10k+6k
= 223.
第17页，共42页。
例4
例题解析
在相同时刻的物高与影长成比例. 如果一古塔在 地面上的影长为50 m ，同时，高为1.5 m的测竿的 影长为2.5 m ，那么古塔的高是多少？
“黄金矩形”（如躯干轮廓、头部 轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6
个“黄金指数”（如鼻唇指数是 指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目 指数是指口裂长度与两眼外眦间 距之比、唇高指数是指面部中线 上下唇红高度之比等）、3个“黄 金三角”（如外鼻正面观三角、外 鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角 点组成的三角等）。
第36页，共42页。
即
a b=
b c
，
或
a：b=b：c，
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
第30页，共42页。
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式
(比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b=d
ab c=d
第31页，共42页。
dc b=a .
说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立
【解】 (2)
c 0.64 0.8, a 0.8
d 2.4 0.8 b3
c d ab
∴这四条线段是成比例线段。
第11页，共42页。
（3）a=1cm, b=2cm, c=2cm, d=4cm
【解】 (3)
a 1, c 2 1
b 2d 4 2
a c bd
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
只要留心，就会在生活的方方面面发现其“魅影”，如果 我们灵活地加以运用，将大大提高我们的生活质量。
例如，根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写 字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连火柴盒、国旗的 长宽比例，都恪守0.618比值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台 宽度的0.618之处；最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得
定理”等。就是将一条线段分成两部分,使其中一部分与全长的比
等于另一部分与这部分的比,这个比值为 比.这种线段的分割称为黄金分割.可以用
=50.-6118,称其为黄金
2
0.618034……:0.381965……来表示，但人们多把它简称为
0.618。
第34页，共42页。
如何找出黄金分割点
如图,已知线段AB按照 如下方法作图:
那么 a c bd
ac bd
比例式
ad bc
等积式
文字叙述
两内项之积等于两外项之积
第22页，共42页。
课堂小结
1、成比例线段的概念
ac bd
2、比例的基本性质
称a、b、c、d成
比例线段
ac bd
ad bc
3、判断四条线段是否成比例的步骤：
一排二算三判断
第23页，共42页。
讲解例2，并总结合比性质和等比 性质
文明古国埃及的金字塔，形似方锥， 大小各异。但这些金字塔底面的边长 与高这比都接近于0.618.
第37页，共42页。
第38页，共42页。
《蒙娜丽莎》
《维特鲁维 人》
黄金分割出现在达·芬奇
的许多著名作品中 。
《圣徒杰罗姆》
第39页，共42页。
雕塑中的黄金分割比
中外历代雕塑更能说明问题。
就像《米罗的维纳斯》一样， 古希腊雕塑大多把人体比例规 范被确定为7个头长,到后期又确 定为8个头长。同时,几何学中的黄
第5页，共42页。
例题解析
例1 判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a=4, b=8, c=5, d=10;
【解】
a b
4 8
,1 c
2d
5 10
1 2
a b
c d
,
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
第6页，共42页。
(2)a 2,b 2 15, c 5, d 5 3
【解】 a 2 _2_5_ c 55
的长度之比等于另外两条线段的长度之比， 如 a c bd
（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，
简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
比例内项
a:b=c:d
a、b、c的第四比例项
比例外项
第4页，共42页。
知识概括
知识点2 比例的基本性质
ac
ad bc
bd
比例式
等积式
文字叙述 两内项之积等于两外项之积
b d
2 5
15 3
25
__5__
排序： a、c、b、d
a b cd
∴这四条线段是成比例线段。
第7页，共42页。
（3）a=0.5m,b=25cm,c=0.2m,d=10cm
【解 ∵a=0.5m=50cm,c=0.2m=20cm
】
a b
50 25
2,
c d
20 10
2
a b
c d
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
=
(b+d+…n)k b+d+…n
=k
=
a b
.
第28页，共42页。
已知四条线段a、b、c、d ，
如果
a b=
c d
，
或
a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项， 线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
第29页，共42页。
如果作为比例内项的是两条相同的线段 ，
D E
1.经过点B作BD⊥AB,使
2.连接AD,在AD上截取
A
DE=DB.
C
B
3.在AB上截取AC=AE. 则点C是线段AB的黄金分割点
第35页，共42页。
经过多年的总结分析，人们 发现，在人体中也包含着多种 “黄金分割”的比例因素，至少 可以找出18个“黄金点”（如： 脐为头顶至脚底之分割点、喉结 为头顶至脐分割点、眉间点为发 缘点至颏下的分割点等）、15个
温馨提示:
线段比例中项与数的比例中项是两个不 同的概念,前者是一个正数,而后者是一对
相反数.
第13页，共42页。
例题解析
例3
（2012凉山州）已知
b 5 ,则
a 13
ab ab
的值为（ D ）
A. 2 3
B. 3 2
C. 9 4
D. 4 9
第15页，共42页。
对应练习
已知 a b c ，且a、b、c都是正数，求 a 3b 2c
金分割又被认为是美的比例运用 到美术创作中。如希腊雕塑的典
范作品《持矛者》塑造了一个体
格强壮、动作从容的青年战士的形 象，从这个形象上体现了作者对 “黄金分割”这一最和谐的人体比 例关系的探索和应用。
第40页，共42页。
经典设计中的黄金分割比
---Iphone & ipad
苹果logo
第41页，共42页。
小结：
（1）线段的比值是一个没有单位的正数。
（2）线段的长度单位不同时，先要统一单位。
第8页，共42页。
知识点3 成比例线段判断的步骤
一排：
二算： 三判断：
第9页，共42页。
对应练习
1、判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a=2cm, b=4cm, c=3m, d=6m;
（2）a=0.8, b=3,
(b+d+…+n≠0),
那么
a+c+…+m b+d+…+n
=
a b
.
第27页，共42页。
ac b =d
= …=
m
n
？
a+c+…+m a b+d+…+n = b .
证明：设
ac b=d
= …=
m n
=k,
则 a=bk, c=dk, … m=nk,
∴
a+c+…+m b+d+…+n
=
bk+dk+…nk b+d+…n
“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档
价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。对它的各种神奇的 作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发 挥我们意想不到的作用。内含“黄金分割比”的五角星形状也非常耐人寻 味，世界上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国 旗上上的“星”都是五角形的星。
§23.1 成比例线段（1）
第1页，共42页。
形状相同 大小不同
第2页，共42页。
知识探索
由格点图可知，
AB AB
=__12____2___,
BC BC
42
____2______ .
AB = BC AB BC
第3页，共42页。
知识概括
知识点1 成比例线段的概念
对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段
第24页，共42ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
(2)合比性质
如果
a b
=
c d
，
那么
a±b b
=
c±d d
.
第25页，共42页。
例1、已知
x+y 3y =
45，求
x y.
解：
∵
x+y 3y
=
5 4
，
∴x+y y =
15 4
，
∴x+yy–y
15–4 =4
，
∴
x 11 y=4.
第26页，共42页。
(3)等比性质
ac
m
如果 b = d = …= n
第42页，共42页。
2×__6__=3×___4__.
这就是小学的四个数成比例的性质：
_两_内__项__之_积__等__于__两_外__项__之__积__.
其实，在成
比例的线段中 也有同样的性 质
第21页，共42页。
知识概括
知识点2 比例的基本性质
如果a c ，那么 ad bc
bd
如果 ad b（c a、b、c、d都不等于0），
c=0.64, d=2.4.
（3）a=1cm, b=2cm, c=2cm, d=4cm
【解】
(1) a 2 1 , b42
a c bd
c 31 d 62
注意：
比的前、后项 单位统一
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
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（2）a=0.8, b=3, c=0.64, d=2.4.
234 的值。
2a b
等同于a:b:c=2:3:4,称为连比
【解】
设
a 2
b 3
c 4
k
,则a=2k,
b=_3_k__,
c=_4_k__.
a 3b 2c 2k 33k 2 4k 3k 3
2a b
2 2k 3k
7k 7
学法
指导
涉及连比的题目，都设每一份为k
第16页，共42页。
例2、已知 a：b：c=2：5：6， 求 23aa+–25bb+–cc的值.
(比值变了).
a c
b=d
bd a=c .
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本课小结： 主要内容： 成比例线段的意义，
比例的3个主要性质及其应用. 能力要求： 通过本课的学习，
形成比例变形的能力， 要做一定量的习题，达到熟练.
第33页，共42页。
什么是 黄 金 比
黄金比也叫“黄金律”、“中外比”、“中末比” “折纸