河南省新乡市(4校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

河南省新乡市(4校联考）2021届新高考模拟化学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )
A ．9
B ．31
C ．15
D ．63
【答案】B
【解析】
【分析】 根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.
【详解】
执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；
68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，
满足606t >，退出循环，因此输出31i =，
故选:B.
【点睛】
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
2．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆
22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）
A 1
B ．25-
C ．
D ．1 【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min PM ，由PQ 取得最小值为min 1PM
-，求得结果. 【详解】
由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2
p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562
p d =+
=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =， 设(,)P x y ，圆22
:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，
则PM ===，
当4x =时，PQ 11=，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.
3．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）
A ．100
B ．210
C ．380
D ．400 【答案】B
【解析】
【分析】
设{}n a 公差为d ，由已知可得3a ，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解.
【详解】
设{}n a 公差为d ，27a =，415a =，
2433211,42a a a d a a +∴===-=, 1010(339)41,2102n a n S ⨯+∴=-∴==. 故选：B. 【点睛】 本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和，属于基础题.
4．已知12,F F 分别为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5
BF AB BF AF ⋅==u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．13
B ．4
C ．2
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出
,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】
2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q .又2245
BF AF =Q ，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=,
由222
12
12BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率13c e a ==. 故选：A.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上
的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．
5．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．⎛ ⎝⎦
B ．⎫⎪⎪⎣⎭
C ．⎛ ⎝⎦
D ．⎫⎪⎪⎣⎭
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
=6，
所以椭圆离心率5e ==，
所以e ⎛
∈ ⎝⎦
. 故选：C
【点睛】
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.
6．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）
A ．14
B ．13
C ．532
D ．316
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
样本空间样本点为5232=个，
具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，
有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，
但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，
事件的样本点数为：444228++--=个．
故不同的样本点数为8个，
81324=. 故选：A
【点睛】
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意3
141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.
【详解】 3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
8．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）
A
B ．2
C ．4
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.
【详解】
圆22650x y y +-+=可化为22
(3)4x y +-=. 设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则12,l l 的斜率分别为1212,22
x x k k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24
x x l y x x =-+，即112x y x y =-， ()22222:24
x x l y x x =-+，即222x y x y =-， 由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
， 即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32x t y -=
-上， 所以直线AB 的方程为32
x t y -=
-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22
650x y y +-+=所得弦长为4.
故选:C.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题. 9．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212
x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）
A
．3y x =± B
．y =
C
．2y x =±
D
．y =
【答案】A
【解析】
【分析】 由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】
依题意椭圆
22
22
1(a b0)
x y
a b
+=>>与双曲线
22
22
1
(a0,b
0)
2
x y
a b
-=>>即
22
22
1(a0,b0
22
)
x y
a b
-=>>
的焦点相同，可得：2222
11
22
a b a b
-=+，
即22
3
a b
=，∴
3
3
b
a
=，可得
3
2
3
2
a
=,
双曲线的渐近线方程为：
2
2
3
3
x
y x
a
±=±
=,
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．已知12
,
F F是双曲线22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>的左、右焦点，,A B是C的左、右顶点，点P在过1F且斜率为
3
的直线上，PAB
△为等腰三角形，120
ABP
∠=︒，则C的渐近线方程为（）
A．
1
2
y x
=±B．2
y x
=±C．3
y x
=±D．3
y x
=±
【答案】D
【解析】
【分析】
根据PAB
△为等腰三角形，120
ABP
∠=︒可求出点P的坐标，又由
1
PF的斜率为3可得出,a c关系，即可求出渐近线斜率得解.
【详解】
如图，
因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，
所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,
||cos602,||sin60P P x PB a a y PB ∴=⋅︒+==⋅︒=，
又1024
PF k a c -==+， 2a c ∴=
223a b ∴=，
解得b a
=
所以双曲线的渐近线方程为y =，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.
11．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．
当m≠0时，则l 1∥l 2⇒
32211m m m --=≠-， 由321
m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211
m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，
故答案为：A
【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平
行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）
A ．25
B ．32
C ．35
D ．40
【答案】C
【解析】
【分析】
设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ．
【详解】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则 313
127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为
圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、
1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2
Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；
cos270.8910︒=）
【答案】1.7820
【解析】
【分析】
根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数
表达式.根据所给参考数据即可得解.
【详解】
棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为
半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .
将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：
则14180814410
P AQ ∠=⨯=o o ，所以142sin 72PQ =o ； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：
则14902901265
P AQ ∠=⨯+=o o ，所以142sin 63PQ =o ； 因为sin 63sin 72<o o ，且由诱导公式可得sin 63cos 27=o o ，
所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=o ，
故答案为：1.7820.
【点睛】
本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱
导公式的应用，综合性强，属于难题.
14．设1F，2F分别是椭圆C：
22
22
1 x y
a b
+
=（0
a b
>>）的左、右焦点，直线l过1F交椭圆C于A，B
两点，交y轴于E点，若满足
11
2
F E AF
=
u u u r u u u r
，且
12
60
EF F
∠=o，则椭圆C的离心率为______.
【答案】
71
3
-
【解析】
【分析】
采用数形结合，计算
1
F E
u u u r
以及
1
AF
u u u r
，然后根据椭圆的定义可得
2
AF
u u u u r
，并使用余弦定理以及
c
e
a
=，可得结果.
【详解】
如图
由
12
60
EF F
∠=o，所以
1
2
cos60
c
F E c
==
o
u u u r
由
11
2
F E AF
=
u u u r u u u r
，所以
11
1
2
AF F E c
==
u u u r u u u r
又
12
2
AF AF a
+=
u u u r u u u u r
，则
2
2
AF a c
=-
u u u u r
所以
222
1212
12
121
cos
2
AF F F AF
AF F
AF F F
+-
∠=
u u u r u u u u r u u u u r
u u u r u u u u r
所以
()()
22
222
cos120
22
c c a c
c c
+--
=
⋅
o
化简可得：()2
2
7227
c a c a c c
=-⇒-=
则
71
3
71
c
a
==
+
故答案为：
71
3
本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
15．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则32z x y =+的最小值为______．
【答案】2 【解析】 【分析】
作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2. 故答案为：2
【点睛】
本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
16．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为
________.
【答案】45
【解析】
根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】
设底面边长为2x ，则斜高为1x -102x ⎫<<⎪⎭
，
所以此四棱锥体积为2143V x =
⋅= 令()4
5
1202h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭
， 令()()3
344102250h x x x x x '=-=-=，
易知函数()h x 在2
5x =
时取得最大值. 故此时底面棱长4
25
x =.
故答案为：4
5
.
【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin α
α=+⎧⎨=⎩
（α为参数）．以平面直角坐标系
的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin ρθ=
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）设1C 和2C 交点的交点为,A B ，求AOB ∆ 的面积．
【答案】（1）4cos ρθ=；（2 【解析】 【分析】
（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.
（2）将1C 和2C 的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得AOB ∆的面积. 【详解】
（1）曲线1C 的参数方程为222x cos y sin α
α=+⎧⎨=⎩
（α为参数），
消去参数的1C 的直角坐标方程为2
2
40x x y -+=．
（2）解方程组
4cos
sin3ρθ
ρθ
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
，
得到4sin cos3
θθ=．
所以
3
sin2
2
θ=，
则
6
k
π
θπ
=+或
3
k
π
θπ
=+（k Z
∈）．
当
6
k
π
θπ
=+（k Z
∈）时，23
ρ=，
当
3
k
π
θπ
=+（k Z
∈）时，2
ρ=．
所以1
C和
2
C的交点极坐标为：23,
6
A k
π
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
,2,
3
B k
π
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
.
所以
1
3
2
ABC
S OA OB sin AOB
∆
=⋅∠=．
故AOB
∆的面积为3．
【点睛】
本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.
18．如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面ABCD，
1
,//,2
2
AD AB AB CD AB AD AP CD
⊥====，E为PC的中点．
（1）求证：BE⊥平面PCD；
（2）求二面角A PB C
--的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
3
-
【解析】
(1) 取PD 的中点F ,连接,AF EF ,根据中位线的方法证明四边形ABEF 是平行四边形.再证明AF PD ⊥与CD AF ⊥从而证明AF ⊥平面PCD ,从而得到BE ⊥平面PCD 即可.
(2) 以,,AD AB AP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求得平面CPB 的法向量与平面APB 的法向量进而求得二面角A PB C --的余弦值即可. 【详解】
（1）证明：如图,取PD 的中点F ,连接,AF EF
.
又E 为PC 的中点,则EF 是PCD V 的中位线.所以//EF CD 且1
2
EF CD =.
又//AB CD 且1
2
AB CD =
,所以//EF AB 且EF AB =.所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =,F 为PD 的中点,所以AF PD ⊥.
因为,//AD AB AB CD ⊥,所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=,所以CD ⊥平面PAD .所以CD AF ⊥.
又PD CD D ⋂=,所以AF ⊥平面PCD .又//BE AF ,所以BE ⊥平面PCD .
（2）易知,,AD AB AP 两两互相垂直,所以分别以,,AD AB AP 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为1
22
AB AD AP CD ===
=,所以点(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,4,0)A B P C . 则(0,2,2),(0,0,2),(2,2,0)PB AP BC =-==u u u r u u u r u u u r .设平面CPB 的法向量为(,,)n x y z =r
,
由(,,)(0,2,2)220(,,)(2,2,0)220n PB x y z y z n BC x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎨⋅=⋅=+=⎩
u u u v v u u u
v v ,得,z y x y =⎧⎨=-⎩, 令1y =,得平面CPB 的一个法向量为(1,1,1)n =-r
；显然平面APB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r ；
设二面角A PB C --的大小为θ,则3cos 3||||13
m n m n θ⋅===-⨯u r r u
r r . 故二面角A PB C --的余弦值是3
3
-
.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题.
19．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），点A 是C 的左顶点，点()2,3P 为C 上一点，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与C 的另一个交点为B （异于点P ），是否存在直线l ，使得以AB 为直径的圆经过点P ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）22
11612
x y +=；
（2）存在，12105y x =-- 【解析】 【分析】
（1）把点()2,3P 代入椭圆C 的方程，再结合离心率，可得a,b,c 的关系，可得椭圆的方程；
（2）设出直线l 的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点B 的坐标，再由0PA PB ⋅=u u u r u u u r
，可求得直线的
方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点． 【详解】
（1）由题可得2249112
a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴22216124a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程2211612x y
+=
（2）由题知()4,0A -，设()00,B x y ，直线l 的斜率存在设为k ，
则():4l y k x =+与椭圆2211612
x y +=联立得()2222
343264480k x k x k +++-=
>0∆，20264484k x --=，∴202
1612
k x -+=，0224k y =，∴222161224,k k B ⎛⎫-+ ⎪
则0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，∴()2222
624122496,3,03434k k k k k ⎛⎫
--+---⋅= ⎪++⎝⎭
， 化简得220810k k --=，∴()()211010k k -⋅+=，解得1
2k =
或110
k =-
因为B 与P 不重合，所以1
2k =舍. 所以直线l 的方程为12105
y x =--. 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了向量的数量积的运用，属于中档题. 20．在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为3
. （1）完成上面的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？
（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
【答案】（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”（3）见解析. 【解析】 【分析】
（1）由已知抽取的人中优秀人数为20，这样结合已知可得列联表；
（3）由于性别对结果有影响，因此用分层抽样法． 【详解】 解：（1）
（2）由于()2
2606182214 3.348 2.70640203228
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”.
（3）由（2）可知性别有可能对是否优秀有影响，所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生，这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况. 【点睛】
本题考查独立性检验，考查分层抽样的性质．考查学生的数据处理能力．属于中档题．
21．已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，过C 上一点(1,)P t （0t >）作两条倾斜角互补的直线分别与C
交于M ，N 两点，
（1）证明：直线MN 的斜率是－1；
（2）若8||MF ，||MN ，||NF 成等比数列，求直线MN 的方程. 【答案】（1）见解析；（2）1y x =-+ 【解析】 【分析】
（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由已知0MP NP k k +=，得124y y +=-，代入12
12MN y y k x x -=
-12
4y y =+中即可；
（2）利用抛物线的定义将2
||8||||MN MF NF =转化为()()2
1212128440x x x x x x +--+-=，再利用
韦达定理计算. 【详解】
（1）P 在抛物线2
4y x =上，∴2t =，(1,2)P 设()11,M x y ，()22,N x y ，
由题可知，0MP NP k k +=，∴
121222
011
y y x x --+=--， ∴122212
22
1144
y y y y --+=--， ∴
1244
022
y y +=++，∴124y y +=-， ∴12
12
MN y y k x x -=
-
12
4
1y y =
=-+
（2）由（1）问可设：l ：y x m =-+，
则12||MN x =
-，1||1MF x =+ ， 2||1NF x =+，
∴2||8||||MN MF NF =
，∴
)
()()2
12
12811x x x -=++，
即()()2
1212128440x x x x x x +--+-=（*），
将直线l 与抛物线C 联立，24y x m y x =-+⎧⎨=⎩可得：22(24)0x m x m -++=，
所以12212
1616024m x x m x x m ∆=+>⎧⎪
+=+⎨⎪=⎩，
代入（*）式，可得1m =满足>0∆，∴l ：1y x =-+. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.
22．如图为某大江的一段支流，岸线1l 与2l 近似满足1l ∥2l ，宽度为7km ．圆O 为江中的一个半径为2km 的小岛，小镇A 位于岸线1l 上，且满足岸线1l OA ⊥，3OA km =．现计划建造一条自小镇A 经小岛O 至对岸2l 的水上通道ABC （图中粗线部分折线段，B 在A 右侧），为保护小岛，BC 段设计成与圆O 相切．设
02ABC ππθθ⎛
⎫∠=-<< ⎪⎝
⎭．
（1）试将通道ABC 的长L 表示成θ的函数，并指出定义域；
（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？ 【答案】（1）93cos ()sin L θθθ-=，定义域是0,2πθ⎛⎫
⎪⎝
⎭．（2）62百万
【解析】 【分析】
（1）以A 为原点，直线1l 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设(0)AB a a =>，利用直线与圆相切得到
23cos sin a θ
θ
-=
，再代入L AB BC =+这一关系中，即可得答案；
（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案； 【详解】
以A 为原点，直线1l 为x 轴建立如图所示的直角坐标系．
设(0)AB a a =>，则(,0)B a ，(0,3)O ，2:7l y =．
因为02ABC ππθθ⎛
⎫∠=-<< ⎪⎝
⎭，
所以直线BC 的方程为tan ()y x a θ=⋅-， 即tan tan 0x y a θθ⋅--=，
因为圆O 与BC 2
21tan θ
=+，
在直线BC 的方程中，令7y =，得77cos tan sin C x a a θθθ
=+=+，
所以17cos 7cos sin sin B C BC x θθθθ=-=⋅=， 所以793cos sin sin L AB BC a θθθ
-=+=+
= 当0a =时，2
cos 3θ=，设锐角0θ满足02cos 3
θ=，则02πθθ<<，
所以L 关于θ的函数是93cos ()sin L θθθ-=
，定义域是0,2πθ⎛⎫
⎪⎝
⎭．
（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即L 最小．
2022
3sin (93cos )cos 39cos ()sin sin 2L θθθθπθθθθθ---⎛⎫
'==<< ⎪⎝⎭
令()0L θ'=，得1cos 3θ=，设锐角1θ，满足112cos 33θ=<，得10,2πθθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭．
列表：
所以1θθ=时，1
min 1
1
9393cos [()]sin 3
L θθθ-⨯-=
=
=，所以建造此通道的最少费用至少为元． 【点睛】
本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
23．如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，~A I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A I ，处的红绿灯），出发时的两条路线（I F I H →→，）等可能选择，且总是走最近路线.
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
【答案】（1）6种；（2）11
64
；（3）I F C B A →→→→. 【解析】 【分析】
（1）从4条街中选择2条横街即可；
（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线，即I H E D A →→→→，I H E B A →→→→，
I F E D A →→→→，I F E B A →→→→，分别对4条路线进行分析计算概率； （3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免. 【详解】
（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为2
4
6C =条.
（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线：
①当走I H E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率11313
124432p =⨯⨯⨯=；
②当走I H E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率213113
2444128p =⨯⨯⨯=；
③当走I F E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率31111
124432p =⨯⨯⨯=；
④当走I F E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率411313
2444128p =⨯⨯⨯=.
所以途中恰好经过E 处,且全程不等信号灯的概率
1234331311321283212864
p p p p p =+++=
+++=. （3）设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量i X ，则
①第一条：13,~1,4I H E D A X B ⎛⎫
→→→→ ⎪⎝⎭
，则()134E X =；
②第二条：23,~3,4I F C B A X B ⎛⎫
→→→→ ⎪⎝⎭
，则()239344E X =⨯=；
③另外四条路线：;I H G D A I H E B A →→→→→→→→；I F E D A →→→→；
3,~2,(3,4,5,6)4i I F E B A X B i ⎛⎫
→→→→= ⎪⎝⎭，则()332(3,4,5,6)42i E X i =⨯==
综上，小明上学的最佳路线为I H E D A →→→→；应尽量避开I F C B A →→→→. 【点睛】
本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.。