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遗传算法用于函数优化求解
一、实验目的
本实验要求在掌握遗传算法的基本思想、原理和算法流程的基础上，能够针对指定的单变量优化目标函数，设计相应的遗传算法优化程序，并求得全局最优解。

二、实验要求
针对目标函数y1(x1)
2
, x[0, 2]
，设计利用遗传算法进行优化求解的程
序，绘制迭代过程中最优解的变化情况，并分别改变算法中的编码位数、种群规模、交叉和变异概率，分析这些变量对算法精度及收敛性的影响。

三、实验步骤
1 、初始化种群，确定种群规模 M=20，编码位数 n=5 和编码机制 ( 二进制编码 ) ；
初始化种群： E = round(rand(M,n))；
y
i y i2(i 1)y
i为第 i
每个编码对应的二进制数值：位二进制代码；
x x max x min* y x min
二进制数 y 转换为十进制数 x：2n1；
2、根据给定的目标函数，计算各个种群的适应度值；
3、采用轮盘选择法对种群进行选择复制；
4、设定交叉概率为0.9 ，进行遗传操作（交叉）；
5、设定变异概率 0.05 ，进行遗传操作（变异）；
6、产生下一代种群，与终止条件比较，不满足返回到步骤 2 直到满足条件退出。

算法的流程如图 7.1 所示。

开始
初始化种群（编码）
计算适应度函数
选择、复制
交叉、变异
Y
达到系统指标？
N
迭代次数达上限？
输出结果
结束
图 7.1算法流程图
四、实验结果及分析
我们采用遗传算法来寻求目标函数的最大值。

初始化样本个数为20 个，编码位数为 5 位，采用二进制编码，交叉概率为 0.9 ，变异概率为 0.05 ，最大迭代次数为 1000 次，初始样本随机选择，当父代与子代间适应度变化小于 0.001 时，达到系统指标。

MATLAB模拟运行输出迭代种群的平均适应度变化、种群的最优解与最差解，绘出图像（见图 1），计算运行时间的平均值（见表 1），由表可知，平均运行时间约为 0.65 秒左右，速度较快。

由图可知，前期平均适应度是不断上升的，到达一定程度后即平均适应度在 0.9 以上后，就基本处于波动平衡状态。

通过对遗传算法的分析，这是因为种群内的所有个体几乎都已经接近最优值，上升空间比较小，且由于有变异的可能性，所以平均适应度在后期处于波动状态。

由图可发现，每代的最大值都差不多，几乎都是1，但每代的最小值的变化就比较多了，但从趋势可以基本看出，最小值在逐渐变大，向最大值靠拢。

因为要找
的最优解是最大值，所以在迭代过程中，最小值淘汰几率最大，它的基因难以遗传下来，因此最小值会逐渐变大。

图 1
表 1
次数第一次第二次第三次第四次第五次平均
时间（ s）0.7000.6210.6220.5980.6690.642最大值10.99610.99610.99610.99610.99688最小值0.85940.80860.85940.80860.33980.73516
改变初始种群的规模，其他参数不变，多次运行程序，观察初始种群规模
大小对此算法的影响。

图 2 为种群规模为 10 时，种群适应度的变化及每代最大值
和最小值，由图可看到，平均适应度大的趋势是上升的，虽然过程中有些因为变异引起的曲折，每代的最大值基本相似，但最小值是近似地随着平均适应度的曲线变化的，可以推测，最小值影响了平均适应度。

表 2 是种群规模为 10 时，其
每次运行时间和得到的最终最大值最小值，由表可见，运行平均时间为0.6s 左
右，最终获得的最大值和最小值差距极小，且获得最大值与实际目标函数的最大值
差距较大。

图 3 与表 3 为种群规模为 200 时的情况，从图中可发现，平均适应
度上升较缓，波动较小，且每代最大值最小值差距较大，又由表 3 可看出，其运
行时间为 0.75s 左右，每次运行最终最大值几乎都为 1，最小值接近 0，与目标函数的最大值基本相同。

对比种群规模分别为10( 图2，表2) ，20（图1，表1），200（图 3，表 3），可以发现，种群规模越大，平均适应度的波动越小，上升坡
度越平缓，且最终获得的最大值和最小值的差别越大，最大值越接近目标函数的
实际最大值。

由此可分析出，当种群规模小时，单个个体的基因对整个群体的
适应度影响比较大，因此只有当整个群体中适应度最差的个体也达到一个较高适应
度后，才达到系统标准（这一代与上一代的平均适应度差小于0.001 ），退出循环，
而这样，最终的最小值就会接近最大值，种群内部每个个体的差别很小，最大值很
难达到目标函数的最大值。

而当种群规模大时，单个个体的基因对整个群体的适
应度就没有那么大的影响，只要大多数个体的基因达到较高适应度，就能够满足
系统标准，退出循环，因此每次迭代的最高适应度的个体与最低适应度的个体几乎
可以共存，最终获得的最大值几乎就是目标函数的最大值，最小值也接近目标函
数的小的值。

图2
表 2
次数（M=10 ）第一次第二次第三次第四次第五次平均
时间（ s）0.5700.6540.6110.5900.5890.6028
最大值0.96480.96480.93750.99610.90230.9531
最小值0.96480.80860.93750.98440.90230.91952
图 3
表 3
次数（ M=200 ）第一次第二次第三次第四次第五次平均
时间（ s）0.7360.6800.7980.7980.7150.7454
最大值111111
最小值0.12110.23440.5273000.17656初始种群的规模为20，降低交叉的概率为0.4 ，其他参数不变，多次运行程序，观察结果（见图4，表 4）。

对比交叉概率为 0.9 的情况（见图 1，表 1），发现种群平均适应度的变化曲线没有太大差别，都是波动上升的，所用时间差别也不大，都为 0.64s 左右，最终获得的最大值也差别不大，唯一差别较大的是最终获得的最小值，交叉概率低的最小值大于交叉概率高的最小值。

这是因为子代是由父代中适应度高的个体进行交叉变异而来，变异概率极低（0.05 ），可忽略，当交叉概率低时，子代个体基本是由父代中适应度高的个体（即目标函数值大的
个体）复制粘贴而来，所以最终获得的最小值比较大，而交叉概率高时，子代个
体多是由父代优秀个体交叉变换而来，可能会使某些子代适应度稍微降低，某些
又稍微升高，所以相比交叉概率低的时候，最终获得的最小值比较小。

图 4
表 4
次数第一次第二次第三次第四次第五次平均
时间（ s）0.6480.6200.6700.6210.6440.6406
最大值0.99610.98440.99610.984410.9922
最小值0.93750.85940.93750.85940.85940.89064
初始种群的规模为20，交叉的概率为0.9 ，变异概率增加至0.5 ，其他参数不变，多次运行程序，观察结果（见图 5，表 5）。

由图 5 发现，平均适应度一直处于在 0.7 和 0.9 之间上下剧烈波动的情况，没有不断上升的趋势，说明变异几率太大，导致种群无法收敛于一个稳定的最佳状态，由表5 可知，改变变异概率对运行时间，最终能达到的最大值影响不大，但影响了最小值，因为变异的概率高，所以种群不断地有适应度极低的变异个体出现，所以最终的最小值较小，但也导致了种群无法收敛的情况。

由此可知，变异概率不能太大，不然种群无法收敛到最优解附近。

图 5
表 5
次数第一次第二次第三次第四次第五次平均
时间（ s）0.6690.6150.6320.6230.6480.6374
最大值0.99610.99611110.99844
最小值0.12110.121100.33980.33980.18436
初始种群的规模为 20，交叉的概率为 0.9 ，变异概率为 0.05 ，改变编码位数分
别为8位、5位、3位，其他参数不变，多次运行程序，观察结果（见图6，表6，图7，表 7）。

图 6及表 6是编码位数为 3位时的情况，图 1及表 1的编码位数为 5位，图7及表 7是编码位数为 8位时的情况。

由图 6、图 1、图 7的平均适应度对比发现，虽然适应度曲线基本是上升趋势，但编码位数为 3时，波动较大，而编码位数为 5
和8时，适应度曲线相似，波动都较小。

对比每代的最大值最小值发现，最小值对波
动的影响都比较大。

由表 6、表 1、表 7发现，运行的平均时间都差不多，都是 0.6s 多，每次运行最终获得的最大值也差不多，但最小值就差别较大。

当编码位数较
少时，最小值较小，编码位数较多时，最小值较大。

这是因为当编码位数
少时，目标函数 y=1-(x-1)^2 的 x取值就比较有限，比如编码位数为 3时，x最多只
能在 0到2之间均匀取 8个数，而当编码位数为 8时，能最多取 256个数，取的数
越
多，个体与个体间的最小差异就越小，因此编码位数多时，平均适应度的波动会
比较小，且最终达到的整体平均适应度相对较高，最终最小值也比较大。

而编码
位数少时正好相反。

但对比编码位数分别为 5和8 的情况，我们发现编码位数也不
是越多越好，它们最终达到的最大值基本相似，适应度曲线也相似，由此可知道，编码位数到达一定程度后不会再对平均适应度造成很大影响，而编码位数少时，对
我们来说，复杂程度也比较低，所以编码位数选择适中较好。

图 6
表 6
次数第一次第二次第三次第四次第五次平均
时间（ s）0.6390.6530.5990.6000.6080.6198
最大值110.9375110.9875
最小值0.75000.93750.937500 .43750.65625
图 7
表 7
次数第一次第二次第三次第四次第五次平均
时间（ s）0.6420.6340.6260.6520.6220.6352
最大值0.99700.99980.99700.99950.98020.9947
最小值0.96770.94130.84120.97800.83500.91264
通过实验对比分析发现，种群规模是影响适应度及最终获得的最优解的一个重要因素，当种群规模大时，适应度曲线的上升程度比较平缓，且获得的最优值更接近实际的最优解。

另外，变异概率不能过大，否则适应度曲线没有上升的趋势，一直处于波动状态，种群无法收敛于最优解附近。

编码位数不宜过少，不然
适应度曲线波动较大，不那么容易收敛，最终达到的整体适应度较低，编码位数也不应过多，适中最好。

五、 MATLAB编程代码
function genetic1
%遗传算法
%目标函数 y=1-(x-1)^2;
M=20;%种群规模
%n=5;%编码位数
n=8;%编码位数
p_crossover=0.9; %交叉概率
p_mutation=0.05; %变异概率
parent_adptability=[];%父代种群适应度children_adptability=[];%子代种群适应度variance_adptability=0;%适应度变化adptability=[];%每次迭代适应度times=1000;%最大迭代次数
time=0;%实际迭代次数
y_sum=[];
y_min=[];
y_max=[];
%y_y=[];
E = round(rand(M,n));%初始化种群
x=[];%存相应的十进制
%-------------求适应度----------------------------------
for j=1:M%二进制转十进制
e=0;
for i=1:n
e=E(j,i)+e*2;
end
%e=e/16; %使x在【0，2】之间
e=e/128; %使x在【0，2】之间
x=[x;e];
end
y=1-(x-1).^2; %目标函数
%y_y=[y_y,y];
ysum=0;
for j=1:M%求和
ysum=y(j,1)+ysum;
end
parent_adptability=y./ysum;%父代的适应度
parent_ave=ysum/M;%父代的目标函数平均值adptability=[adptability;parent_ave];
y_max=[y_max;max(y)];
y_min=[y_min;min(y)];
%----------------end---------------------------------
%------------遗传算法--------------------------------
for k=1:times
%--------------选择------------------------
y_E = rand(M,1);%随机数M个
y_distributeProbability=[];
for j=1:M%概率分区【0，1】
y_probability=0;
for i=1:j
y_probability=parent_adptability(i,1)+ y_probability;
end
y_distributeProbability=[y_distributeProbability;y_probability];
end
%y_distributeProbability
E_new=[];
for j=1:M %选择个体
for i=1:M
if y_E(j,1)<=y_distributeProbability(i,1)
E_new=[E_new;E(i,:)];
break;
end
end
end
%--------------交叉变异------------------------E_new_new=[]; %子代
k=(n-0)/p_mutation;
for j=1:M/2
a=rand(1);
b1=rand(1);
b2=rand(1);
if a>p_crossover%交叉
E_new_new=[E_new_new;E_new(j,:);E_new(j+M/2,:)];
continue;
else
A=E_new(j,:);
E_new(j+M/2,:);
E_new(j,1:2)=E_new(j+M/2,1:2);
E_new(j+M/2,1:2)=A(1,1:2);
E_new(j,:);
E_new(j+M/2,:);
E_new_new=[E_new_new;E_new(j,:);E_new(j+M/2,:)];
end
if(b1>p_mutation)%变异
;
else
b1=floor(b1*k)+1;
if(E_new_new(j,b1)==0)
E_new_new(j,b1)=1;
else
E_new_new(j,b1)=0;
end
end
if(b2>p_mutation)
;
else
b2=floor(b2*k)+1;
if(E_new_new(j+1,b2)==0)
E_new_new(j+1,b2)=1;
else
E_new_new(j+1,b2)=0;
end
end
end
%-------------求适应度----------------------------------
x=[];
for j=1:M%二进制转十进制
e=0;
for i=1:n
e=E_new_new(j,i)+e*2;
end
%e=e/16;
e=e/128; %使x在【0，2】之间
x=[x;e];
end
y=1-(x-1).^2;
ysum=0;
for j=1:M%求和
ysum=y(j,1)+ysum;
end
children_adptability=y./ysum;%子代适应度
children_ave=ysum/M;%子代目标函数平均值
adptability=[adptability;children_ave];
y_max=[y_max;max(y)];
y_min=[y_min;min(y)];
%----------------退出条件及下次迭代准备---------------------
variance_adptability=abs(children_ave-parent_ave);%
两代的变化率if variance_adptability<0.001%退出条件
break;
end
parent_adptability=children_adptability;
parent_ave=children_ave;
time=time+1;
E=E_new_new;
%plot(x,y,'c.');%画分类结果图
end
time1=1:time+2;
subplot(2,1,1)
plot(time1,adptability);%画平均适应度折线图grid on;
title('平均适应度折线图');
xlabel('迭代次数 ');
ylabel('平均适应度 ');
x=1:M;
subplot(2,1,2)
plot(time1,y_max,'r*',time1,y_min,'b*')
legend('最大值 ','最小值')
title('每代最大值最小值散点图');
xlabel('代数 ');
ylabel('y=1-(x-1)^2');
max(y)
min(y)。