2018中考数学几何辅助线题

中考压轴题专题几何(辅助线)
图中有角平分线, 线段垂直平分线, 三角形中两中点, 梯等式子比例换, 斜边上面作高线, 圆上若有一切线, 是直径，成半圆, 圆周角边两条弦, 还要作个内切圆, 若是添上连心线, 假如图形较分散,
可向两边作垂线。

常向两端把线连。

连接则成中位线。

寻找相似很关键。

弦高公式是关键。

切点圆心半径连。

想成直角径连弦。

直径和弦端点连。

内角平分线梦园。

切点肯定在上面。

对称旋转去实验
1.如图，Rt A ABC 中, / AB(=90°, DE 垂直平分 AC 垂足为 QAD/ BC 且AE =3,BC =4,则AD 的长为
2.如图，△ ABC 中，/ J 60°,/ CABW Z CBA 的平分线AE BF 相交于点D, 求证：DE= DF 精选
3.已知：如图，O Q 的直径AB=8cm P 是AB 延长线上的一点，过点 P 作O Q 的切线，切点为 C,连接AC.
(1) 若/ ACP=120，求阴影部分的面积；
⑵ 若点P 在AB 的延长线上运动，/ CPA 的平分线交AC 于点M / CMP 勺大小是否发生变化？若变化，请说明理 由；若不变，求出/ CMP 勺度数。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中有中线，延长中线加一倍。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

计算半径与弦长，弦心距来站中间。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

精选 精选
精选4、如图 1 , Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , AC=3, BC=4,点O 是斜边AB 上一动点，以 0A 为半径作O 0与AC 边 交于点P,
(1 )当0A=时，求点0到BC 的距离；
2
(2) 如图1,当0A=' ■时，求证：直线 BC 与O 0相切；此时线段 AP 的长是多少？
S
(3) 若BC 边与O 0有公共点，直接写出 0A 的取值范围；
(4) 若C0平分/ ACB 则线段AP 的长是多少？
如图1,已知折痕与边 BC 交于点Q 连结AR 0P 0A .
①求证：△ 0CI ^A PDA
②若△ 0CP<A PDA 勺面积比为1: 4,求边AB 的长；
(2) 若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求/ 0AB 的度数；
(3) 如图2,在(1)的条件下，擦去折痕A0线段0P 连结BP 动点M 在线段AP 上 (点M 与点P 、A 不
重合)，动点N 在线段AB 的延长线上，且 BN =PM 连结Mt 交PB 于点F ,作ME ! BP 于精选5.如图，已知△ ABC 为等边三角形，/ BDC= 120°, AD 平分/ BDC 求证：
BbDC= AD
精选
(第6题图)
(1) EF 的长
度. C
6、已知矩形 P 点
处.
点E.试问当点M N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段
精选7、如图，四边形ABCD是边长为2, —个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶
点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB BA (或它们的延长线)于点E、
F,/ EDF=60，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF
(1) 继续旋转三角形纸片，当CE M AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明
理由;
(2) 再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB BA的延长线上时，如图3请直接写出DE 与DF的数量关系;
(3) 连EF,若厶DEF的面积为y, CE=x求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少?
精选8、等腰Rt △ ABC 中，/ BAC=90，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边 AC 交x 轴于点D,斜边 BC 交y 轴于点E ；
(1) 如图(1)，若A ( 0，1)，B ( 2，0)，求C 点的坐标；
(2) 如图(2)，当等腰Rt △ ABC 运动到使点 D 恰为AC 中点时，连接 DE 求证：/ ADB=/ CDE
(3) 如图(3)，在等腰Rt △ ABC 不断运动的过程中，若满足 BD 始终是/ ABC 的平分线，试探究：线段 OA OD BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由.
精选9.如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 离依次为 0、h 2、h ,⑴ 0, 0 0, h 3 0).
h 、l 2、l 3、14上，这四条直线中相邻两条之间的距 (1)求证：hi =h3 ；
I 1
(2) 设正方形 ABCD 的面积为S ，求证：S =(h , • g)2 • h 2
; 3
(3) 若一h 1 h 2 =1，当h 1变化时，说明正方形 ABCD 的面积
2
S 随h,的变化情况.
l 4 第题图 h 1
I 2 h 2 I 3
DI h 3
标准实用参考答案
精选1
解：••• Rt△ ABC中，/ AB(=90°, AB=3, BC=4, ••• AO「J .叮工<L=5,
■/ DE垂直平分AC垂足为Q
• QA A O1，/ AQD Z B=90°,
2 2
•/ AD// BC
即亠=--■-，解得AD=-'-
5 4 8
故答案为：
8
易证△ ADF^A ADG( SAS
•
•••DF= DG •••/ C= 60°,
AD BD是角平分线，易证/ ADB120°
• / ADF=Z ADG=Z BDG=Z BDE= 60°
精选2
证明：在AB上截取AG使AGAF,
易证△BDE^A BDG(ASA • •••DE= DG= DF.
精选3、
解：(1)连接QC
••• PC为O O的切线，
• PC丄QC
•••/ PCQ=90度.
•••/ ACP=120
•••/ ACQ=30
•/ QC=QA
•••/ A=Z ACQ=30度.
•••/ BQC=60
•/ QC=4
/.I1：. ' I 7
• S 阴影=S A QP C- S 扇形BQ= . ：…；
3
(2)Z CMP勺大小不变，/ CMP=45 由(1)知/ BOC+Z QPC=90 •/ PM平分/ APC
•••/ APM= / APC
2
•••/ A= / BOC
2
•••/ PMC2 A+Z APM= （/ BOC# OPC =45
2
精选4、
解: （1）在Rt△ABE中，丄匚.：■.卜.：•7 - （1分）
过点O作OD L BC于点D,则OD// AC,
5
•••△ ODB^A ACB •••理型，op仝，
AC AB 3 5 2
•••点O到BC的距离为（3分）
2
（2）证明：过点O作OEL BC于点E, OF L AC于点F,
5-1^
•/△OEB^A ACB •- '••• ' ：：,• ■!—
■:. :: •直线BC与O O相切.（5分）此
时，四边形OECF为矩形，
• AF=AC- FC=3-—!=二
8 S
•/ OF L AC, • AP=2AF='. （7 分）
4
OH L BC于点H,
(4)过点O作OGL AC于点G
则四边形OGC!是矩形，且AP=2AG 备用團（3（9分）
又••• CO平分Z ACB • OG=OH ••矩形OGCH是正方形.(10分)
设正方形OGCH勺边长为x，则AG=3- x, •/ OG/ BC, •/△AO®A ABC
0G 二AG
BC^AC
，
• AP=2AG= '. （12 分）
7
精选5、
证法1:（截长）如图，截DF=DB易证△ DBF为等边三角，然后证厶BDC^A BFA即可; 证法2：（截长）如图，截DF=DC易证△ DCF为等边三角，然后证厶BDC^A AFC即可;
证法3:（补短）如图，延长BD至F,使DF=DC此时BDDC=B&DF=BF,
易证△ DCF为等边△，再证厶BCF^A AC□即可.
证法4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆.
设AB= AC= BC= a,根据（圆内接四边形）托勒密定理：
CD- a+ BD- a = AD- a,得证.
精选6、
解：(1)如图1,①•••四边形ABCDI 矩形，••• AD=BCDCAB/ DAB/B=Z C=Z D=90 ° 由折叠可得：AP=AB PO=BQ / PAO/ BAO/ APO / B.
•••/ APQ90°.
•••/ APB90°-/ CPO/ PQ C
•••/ D=/C, / APD/ PO C
•••△OC MA PDA.
②•••△ OCP<^ PDA的面积比为1： 4 ,
•U = 1=，：l=-='
…瓦莎下百£.
•PD=2OC PA=2OP DA=2CP
•/ AD=8 , • CP=4 , BC=8.
设OPx ,贝U OB=x , C(=8 - x.
在Rt △ PCO中 ,
•••/ C=90° , CF=4 , OF=x , CG8 - x ,
•x2= (8-x) 2+42.
解得：x=5.
•AB=AP=2OP=1O.
•••边AB的长为10.
(2)如图1,
•/ P是CD边的中点，
••• DP=丄DC.
2
•••DC=AB AB=AR
•DP=」AP
2
•••/ D=90°,
•sin / DAP^=丄.
AP 2
•••/ DAP=30°.
•••/ DA号90°,/ PAO/BAQ Z DAP30° , •/ OAB30°.
•••/ OAB勺度数为30°.
(3)作MOT AN交PB于点Q,如图2. •/ AP=AB MQ AN
•/ APB：/ ABP / ABF=Z MQP
•/ APB：/ MQP
•Mf=MQ
•/ Mf=MQ MEL PQ
•PE=EQ= PQ
2
•/ BN=PM Mf=MQ
•BN=QM
••• MQ AN
•/ QMF/ BNF
在厶MFQ^A NFB中，
Z QMF=Z BNF
-ZQFM^ZBFN.
QNl=BN
•△MFQ^ NFB.
标准实用
2
• QF=BF.
• QF= Q B
••• EF=EQQF PQ丄QB PB.
2 2 2
由（1）中的结论可得：
PC=4, BG8,/ C=90°.
• PB=J=4 -.
EF= PB=2 匸.
2
•在（1）的条件下，当点M N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2晶.
图1
精选7、
解：（1）DF=DE理由如下：
如答图1,连接BD.
•••四边形ABCD是菱形，
• AD=AB
又•••/ A=60°,
• △ ABD是等边三角形，
• AD=BD / ADB=60 ,
• / DBE=/ A=60°
•••/ EDF=60 ,'Z ADF=Z BD
E
• /ADF=/ BDE •••在△ ADF与△ BDE 中, *AD 二BD
t
ZA=ZDBE
• △ADF^A BDE( ASA ,
• DF=DE
（2）DF=DE理由如下：
如答图2,连接BD. •••四边形ABCD是菱形, • AD=AB
又•••/ A=60°,
•••△ABD是等边三角形,
• AD=BD / ADB=60 ,
•••/ DBE=Z A=60°
•••/ EDF=60 ,
•••/ ADF=Z BDE
'Z ADF=Z BDE
•••在△ ADF与△ BDE中，■牺二卸,
L Z/^ZDBE
•••△ADF^A BDE(ASA ,
• DF=DE
(3)由(2)知，△ ADF^A BDE 贝U S A AD=S A BDE AF=BE=X
依题意得：y=SM EF+&AB D=( 2+X ) xsin60 ° + x 2 x 2sin60 ° =…’(X+1 )
2+…'.即卩y= •-' ( X+1)2+.
2 2 4 4 4 4•••「＞0,
4
•该抛物线的开口方向向上，
•••当X=0即点E、B重合时，y最小值=丄-'.
D C
答图1
精选8、
(1 )解：过点C作CF丄y轴于点F,
•••/ AFC=90 ,
•••/ CAF+Z ACF=90 .
•/△ ABC是等腰直角三角形，Z BAC=90 ,
• AC=AB Z CAF+Z BAO=90 , Z AFC玄BAC
•Z ACF=Z BAO
在厶ACF和厶ABO中，
r ZAFC=ZBAC
“ ZACF=ZBA0,
AC=AB
L
•△ ACF^A ABO( AAS
••• CF=0A=1 AF=0B=2
••• 0F=1
•- C (- 1 , - 1)；
(2)证明：过点C作CGL AC交y轴于点G,•••/ ACG=/ BAC=90 ,
•••/ AGC在GAC=90 .
•••/ CAG在BAO=90 ,
•••/ AGC=/ BAO
•••/ ADO在DAO=90，/ DAO# BAO=90 ,•••/ ADO# BAO
•••/ AGC# ADO
在厶ACG^n^ ABD中
r ZAGC=ZAD0
ZACG=ZBAC
M 二AB
•△ ACG^A ABD( AAS ,
• CG=AD=C.D
•••# ACB=/ ABC=45 ,
•••# DCE=/ GCE=45 ,
在厶DCE^n^ GCE中,
r DC=GC
“ ZDCE=ZGCE,
CE=CE
L
•••△ DCE^A GCE( SAS ,
•••/ CDE=/ G,
•••/ ADB=/ CDE
(3)解：在OB上截取OH=OD连接AH
由对称性得AD=AH / ADH# AHD
•// ADH=/ BAO
•••/ BAO=Z AHD
••• BD是/ ABC的平分线，
•••/ ABO=Z EBO
•// AOB=Z EOB=90 .
在厶AOB^n^ EOB中，
f ZAB0=ZEB0
PB 二OB ,
L ZA0B=ZE0B
•△ AOB^A EOB( ASA),
• AB=EB AO=EO
•/ BAO=Z BEO
•/ AHD=/ ADH# BAO# BEO
•/ AEC=/ BHA
在厶AEC和△ BHA中，
r ZAEC=ZBHA
” ZCAE=ZABO，
M 二AB
•••△ ACE^A BAH( AAS ••• AE=BH=20A
•/ DH=20D
• BD=2 (OA+OD.
p
A I
图⑶
\
A
八
A A X
E
G
K (2)
珀
<
巳/o r A7
SCI)
精选9、
(1)证：设AD与l2交于点E , BC与l3交于点F , 由已知BF // ED, BE // FD ,
■四边形BEDF是平行四边形，• BE = DF .
又AB =CD , Rt ABE 如Rt CDF . . h = h3
(2)证：作BG — A DH — J，垂足分别为G、H , 在Rt △ BGC和Rt△ CHD 中，
BCG DCH =180 - BCD =90 , CDH DCH =90 . BCG "CDH .又BGC "CHD -90 , BC =CD ,
A C
Rt △ BGC 也 Rt △CHD , CG = DH = h 2.
又 BG =0 扎，BC 2 二 BG 2 CG 2 =(h , h 3)2 h 22 = (h, h 2)h 21 , .S 二 BC 2 =(h, hj 2 h 2,.
3 3 (3)解： h h 2 =1,. h 2 =1
h ,,
2 2
( 3 )2 252 5 ( 2 f 4
：S= 0+1——0 +h ； = —h ： —h,+1 =— h,—— +-,
C 2 ) 1 4 5 丿 5
3 2
h , 0, h 2 0, 1 --h| 0, 0 ：：： h ,： 2
3
-■:. h^：：-时，S 随h 的增大而增大. 5 3
.当0山：：：2时，S 随h ,的增大而减小；当 5
G C H。