苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题三 几何与代数 第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线
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,两点,则 =_____.
7
= − ,
[解析]易知直线的方程为 = − ,设 , , , ,联立得ቐ
+
− − = ,则 + =
=
+ ⋅
+
,
−
⋅ = − ,所以
①直线与椭圆有两个公共点⇔相交；直线与椭圆有一个公共点⇔相切；直线与椭圆
没有公共点⇔相离.
②直线与双曲线有两个公共点⇒相交；
当直线与双曲线只有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有可能是直线与双曲
平行
线相交,此时直线与双曲线的渐近线______；
直线与双曲线没有公共点⇔相离.
③直线与抛物线有两个公共点⇒相交；
斜率是否为0）,显然满足题意；
当 ≠ 时, =
−
− ⋅ = − ≥ ,解得− ≤ < 或
< ≤ .综上,− ≤ ≤ .故选A.
2
5.已知椭圆:
4
2
+ 24
=
3
1的左、右焦点分别为1 ,2 ,过2 且斜率为1的直线交椭圆于
A.2 2B.4 2C.2 5D.2 10
[解析]直线 − − = 的斜率为 ,过点A的直线 − − = 与双曲线只有一个
公共点,则该直线与双曲线的渐近线 = 平行,且过双曲线右顶点 , ,故 = ,且
− = ,解得 = , = ,所以 = ,所以焦距为 = .故选D.
c.当Δ < 0时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离.
2.圆锥曲线的弦长公式
设斜率为 ≠ 0 的直线与圆锥曲线相交于,两点, 1 , 1 , 2 , 2 ,则
1
1 + 2 1 − 2
2
2
1 + ⋅ 1 + 2 − 41 2
= 1 + 2 1 − 2 =____________________________=________________
令 = − > ,则有 < ,B正确；
令直线与椭圆C相切,则 = − = ,即 = ± ,
直线 = + 与 = − 间的距离 =
− −
= ,C正确；
如图,直线 = − 与 = − 和 = 的距离均
（或 2 + + = 0）.
①若 = 0,则当圆锥曲线是双曲线时,直线与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛
物线时,直线与抛物线的对称轴平行或重合.
②若 ≠ 0,则Δ = 2 − 4.
a.当Δ > 0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点.
b.当Δ = 0时,直线和圆锥曲线相切于一点.
过定点 −, ,
由
−
+
=
< ,得点 −,
在椭圆
+
= 的内部,∴直线与椭圆相交.故选A.
2
（2）若双曲线 2
2
− 2
= 1 > 0, > 0 的一个顶点为,过点的直线 − 3 − 3 = 0
与双曲线只有一个公共点,则该双曲线的焦距为() D
为1,因此,C上到的距离为1的点只有3个,D正确.
故选.
（2）已知直线的方程为 = − 1,双曲线的方程为 2 − 2 = 1.若直线与双曲线
的右支相交于不同的两点,则实数的取值范围是() D
A. − 2, 2 B.[1, 2)C.[− 2, 2]D. 1, 2
= − ,
+ = ,
ቊ
主题三 几何与代数
第九章 平面解析几何
第八节 直线与圆锥曲线
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标解读
1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题的思想方法.
2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.
01
强基础 知识回归
知识梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
相离
相切
相交
（1）从几何角度来看,直线和圆锥曲线有三种位置关系:______、______和______.
率的取值范围是() A
A.[−1,1]B.[−1,0) ∪ (0,1]
C. −∞, −1] ∪ [1, +∞ D. −∞, −1 ∪ 1, +∞
[解析]由题意知,直线的斜率存在,设直线的方程为 = + ,代入抛物线方程,消
去并整理,得 + − + = .当 = 时（当直线斜率存在时,需要讨论
2 > 0 的中点弦问题: = （0 为中点的纵坐标）.
0
自测诊断
1.直线 = − +
A.相交
2
1与椭圆
9
B.相切
2
+
4
= 1的位置关系为() A
C.相离
[解析]由题意得,直线 − = − 过定点 , ,而点 ,
部,所以直线与椭圆相交.故选A.
= .
得
= ,
02
研考点 题型突破
题型一 直线与圆锥曲线位置关系
典例1（1）（多选题）已知直线: =
是() BCD
2
+ 与椭圆:
6
A.若与至少有一个公共点,则 ≤ 2 2
B.若与有且仅有两个公共点,则 < 2 2
C.若 = 3 2,则上到的距离为5的点只有1个
⋅ + − = ,因为直线 = −
[解析]联立得൝
整理得
−
− = ,
− ≠ ,
= + − > ,
与双曲线 − = 的右支交于不同的两点,所以 − > ,
解得
−
−
−
< < ,所以实数的取值范围为 , .
（3）若直线 = + 1与抛物线 2 = 4至多有一个公共点,则实数的取值范围为
{0} ∪ [1, +∞)
______________.
= ,
= ,
此时直线 = 与抛物线 = 只有
[解析]当 = 时,联立得ቊ
可得ቐ
= ,
= ,
一个公共点,符合题意；
+
2
2
（1）求椭圆的方程；
2
解∵ =
∴
4
2
1
+ 2
2
2
=
2 −2
2= 1,∴Fra bibliotek2=
=
3
,∴
4
8, 2
2
= 4
=
2
2
.又椭圆: 2
2
2.故所求椭圆方程为
8
= 1 > > 0 过点 2,1 ,
2
+
2
= 1.
1
（2）直线的斜率为 ,直线与椭圆交于,两点,求△
− = × − = .
2
（2）已知斜率为1的直线与椭圆
4
4 5 4 10 8 10
A.2B. C.
D.
5
5
5
+ 2 = 1相交于,两点,则 的最大值为() C
[解析]设A,B两点的坐标分别为 , , , ,直线的方程为 = + ,由
= + ,
③当直线斜率存在时,设直线方程为 = + ,由൝
可得
= ,
+ − + = , = −
= + .
− = ,解得 = ,所以直线方程为
故存在3条直线 = , = , = + 满足过点 , 且与抛物线 = 只有一个公
=
=
1
1+4
1
4
1+ ×
=
∴ △ =
2
5
1
2
1 + 2
2
− 41 2 =
5 4 − 2 .又点到直线的距离
，
1
2
= ×
2
5
× 5 4 − 2 =
2 = 2,即 = ± 2时取得最大值2.
2 4 − 2 ≤
2 +4−2
2
= 2,当且仅当
［对点训练2］（1）直线: − − 1 = 0与抛物线: 2 = 4交于,两点,则 =
D.若 = − 2,则上到的距离为1的点只有3个
+
2
2
= 1,则下列结论正确的
= + ,
[解析]联立得ቐ
= ( −
+
).
消去得 + + − = ,则判别式
= ,
令 = − ≥ ,则有 ≤ ,A错误；
当直线与抛物线只有一个公共点时,除了直线与抛物线相切外,还有可能是直线与抛物
平行或重合
线相交,此时直线与抛物线的对称轴____________；
直线与抛物线没有公共点⇔相离.
（2）从代数角度来看,可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数确
定位置关系.
将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去（或），得到 2 + + = 0
= + ,
当 ≠ 时,联立得൝
可得 + − + = ,
= ,
由题意可得 = −
− = − ≤ ,解得 ≥ .
综上所述,实数的取值范围是{} ∪ [, +∞).故答案为{} ∪ [, +∞).
2
1
2
解设的方程为 = + ,点 1 , 1 ,
面积的最大值.
1
= + ,
2
2 , 2 ,联立得൞ 2 2
整理得
+ = 1,
8
2
2
2 + 2 + 22 − 4 = 0. ∵ Δ = 42 − 8 + 16 > 0,解得 < 2，
∴ 1 + 2 = −2,1 2 = 22 − 4，则
规律方法
研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究直线方程与曲线方程组成的方程组
的解的个数,但对于选择题、填空题,常根据几何条件,利用数形结合的方法求解.
题型二 与弦长有关的问题
2
典例2在平面直角坐标系中,已知椭圆: 2
3
率 = .
2
+
2
2
= 1 > > 0 过点 2,1 ,且离心
() A
A.8B.4 2C.4D.2 2
− − = ,
[解析]由ቊ
消去并化简得 − + = , = > .
= ,
设 , , , ,则 + = , ⋅ = ,所以
=
+ ⋅
+
共点.故选C.
2
［对点训练1］（1）已知椭圆
5
的位置关系为() A
A.相交
B.相离
2
+
4
= 1,直线 + + − 1 = 0,那么直线与椭圆
C.相切
D.不能确定
[解析]由 + + − = ,得 + + − = ,则直线 + + − =
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] 当直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但当直线与双曲线相交时,也可能有一
个公共点,例如:与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.故选A.
4.已知抛物线的方程为 2 = 8,若过点 −2,0 的直线与抛物线有公共点,则直线的斜
=
1+
1
2
⋅
1 + 2
2
− 41 2 .
知识拓展
设为圆锥曲线的弦,点为弦的中点.
2
1.椭圆 2
2
+ 2=
2
2
2.双曲线 2 − 2
2
3.抛物线 =
2
1 > > 0 的中点弦问题: ⋅ = − 2 .
2
= 1 > 0, > 0 的中点弦问题: ⋅ = 2 .
> ,
（3）过点 0,1 且与抛物线 2 = 8只有一个公共点的直线有() C
A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条
[解析]由已知,可得:
①当直线过点 , 且与轴平行时,方程为 = ,与抛物线 = 只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时,方程为 = ,与抛物线 = 只有一个公共点；
D.不确定
在椭圆
+
= 的内
2.直线 =
+
2
3与双曲线 2
A.1
B.2
2
− 2
= 1 > 0, > 0 的交点个数是() A
C.1或2
D.0
[解析]因为直线 = + 与双曲线的渐近线 = 平行,所以它与双曲线只有1个交
点.
3.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( A )
7
= − ,
[解析]易知直线的方程为 = − ,设 , , , ,联立得ቐ
+
− − = ,则 + =
=
+ ⋅
+
,
−
⋅ = − ,所以
①直线与椭圆有两个公共点⇔相交；直线与椭圆有一个公共点⇔相切；直线与椭圆
没有公共点⇔相离.
②直线与双曲线有两个公共点⇒相交；
当直线与双曲线只有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有可能是直线与双曲
平行
线相交,此时直线与双曲线的渐近线______；
直线与双曲线没有公共点⇔相离.
③直线与抛物线有两个公共点⇒相交；
斜率是否为0）,显然满足题意；
当 ≠ 时, =
−
− ⋅ = − ≥ ,解得− ≤ < 或
< ≤ .综上,− ≤ ≤ .故选A.
2
5.已知椭圆:
4
2
+ 24
=
3
1的左、右焦点分别为1 ,2 ,过2 且斜率为1的直线交椭圆于
A.2 2B.4 2C.2 5D.2 10
[解析]直线 − − = 的斜率为 ,过点A的直线 − − = 与双曲线只有一个
公共点,则该直线与双曲线的渐近线 = 平行,且过双曲线右顶点 , ,故 = ,且
− = ,解得 = , = ,所以 = ,所以焦距为 = .故选D.
c.当Δ < 0时,直线和圆锥曲线没有公共点,相离.
2.圆锥曲线的弦长公式
设斜率为 ≠ 0 的直线与圆锥曲线相交于,两点, 1 , 1 , 2 , 2 ,则
1
1 + 2 1 − 2
2
2
1 + ⋅ 1 + 2 − 41 2
= 1 + 2 1 − 2 =____________________________=________________
令 = − > ,则有 < ,B正确；
令直线与椭圆C相切,则 = − = ,即 = ± ,
直线 = + 与 = − 间的距离 =
− −
= ,C正确；
如图,直线 = − 与 = − 和 = 的距离均
（或 2 + + = 0）.
①若 = 0,则当圆锥曲线是双曲线时,直线与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛
物线时,直线与抛物线的对称轴平行或重合.
②若 ≠ 0,则Δ = 2 − 4.
a.当Δ > 0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点.
b.当Δ = 0时,直线和圆锥曲线相切于一点.
过定点 −, ,
由
−
+
=
< ,得点 −,
在椭圆
+
= 的内部,∴直线与椭圆相交.故选A.
2
（2）若双曲线 2
2
− 2
= 1 > 0, > 0 的一个顶点为,过点的直线 − 3 − 3 = 0
与双曲线只有一个公共点,则该双曲线的焦距为() D
为1,因此,C上到的距离为1的点只有3个,D正确.
故选.
（2）已知直线的方程为 = − 1,双曲线的方程为 2 − 2 = 1.若直线与双曲线
的右支相交于不同的两点,则实数的取值范围是() D
A. − 2, 2 B.[1, 2)C.[− 2, 2]D. 1, 2
= − ,
+ = ,
ቊ
主题三 几何与代数
第九章 平面解析几何
第八节 直线与圆锥曲线
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标解读
1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题的思想方法.
2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.
01
强基础 知识回归
知识梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
相离
相切
相交
（1）从几何角度来看,直线和圆锥曲线有三种位置关系:______、______和______.
率的取值范围是() A
A.[−1,1]B.[−1,0) ∪ (0,1]
C. −∞, −1] ∪ [1, +∞ D. −∞, −1 ∪ 1, +∞
[解析]由题意知,直线的斜率存在,设直线的方程为 = + ,代入抛物线方程,消
去并整理,得 + − + = .当 = 时（当直线斜率存在时,需要讨论
2 > 0 的中点弦问题: = （0 为中点的纵坐标）.
0
自测诊断
1.直线 = − +
A.相交
2
1与椭圆
9
B.相切
2
+
4
= 1的位置关系为() A
C.相离
[解析]由题意得,直线 − = − 过定点 , ,而点 ,
部,所以直线与椭圆相交.故选A.
= .
得
= ,
02
研考点 题型突破
题型一 直线与圆锥曲线位置关系
典例1（1）（多选题）已知直线: =
是() BCD
2
+ 与椭圆:
6
A.若与至少有一个公共点,则 ≤ 2 2
B.若与有且仅有两个公共点,则 < 2 2
C.若 = 3 2,则上到的距离为5的点只有1个
⋅ + − = ,因为直线 = −
[解析]联立得൝
整理得
−
− = ,
− ≠ ,
= + − > ,
与双曲线 − = 的右支交于不同的两点,所以 − > ,
解得
−
−
−
< < ,所以实数的取值范围为 , .
（3）若直线 = + 1与抛物线 2 = 4至多有一个公共点,则实数的取值范围为
{0} ∪ [1, +∞)
______________.
= ,
= ,
此时直线 = 与抛物线 = 只有
[解析]当 = 时,联立得ቊ
可得ቐ
= ,
= ,
一个公共点,符合题意；
+
2
2
（1）求椭圆的方程；
2
解∵ =
∴
4
2
1
+ 2
2
2
=
2 −2
2= 1,∴Fra bibliotek2=
=
3
,∴
4
8, 2
2
= 4
=
2
2
.又椭圆: 2
2
2.故所求椭圆方程为
8
= 1 > > 0 过点 2,1 ,
2
+
2
= 1.
1
（2）直线的斜率为 ,直线与椭圆交于,两点,求△
− = × − = .
2
（2）已知斜率为1的直线与椭圆
4
4 5 4 10 8 10
A.2B. C.
D.
5
5
5
+ 2 = 1相交于,两点,则 的最大值为() C
[解析]设A,B两点的坐标分别为 , , , ,直线的方程为 = + ,由
= + ,
③当直线斜率存在时,设直线方程为 = + ,由൝
可得
= ,
+ − + = , = −
= + .
− = ,解得 = ,所以直线方程为
故存在3条直线 = , = , = + 满足过点 , 且与抛物线 = 只有一个公
=
=
1
1+4
1
4
1+ ×
=
∴ △ =
2
5
1
2
1 + 2
2
− 41 2 =
5 4 − 2 .又点到直线的距离
，
1
2
= ×
2
5
× 5 4 − 2 =
2 = 2,即 = ± 2时取得最大值2.
2 4 − 2 ≤
2 +4−2
2
= 2,当且仅当
［对点训练2］（1）直线: − − 1 = 0与抛物线: 2 = 4交于,两点,则 =
D.若 = − 2,则上到的距离为1的点只有3个
+
2
2
= 1,则下列结论正确的
= + ,
[解析]联立得ቐ
= ( −
+
).
消去得 + + − = ,则判别式
= ,
令 = − ≥ ,则有 ≤ ,A错误；
当直线与抛物线只有一个公共点时,除了直线与抛物线相切外,还有可能是直线与抛物
平行或重合
线相交,此时直线与抛物线的对称轴____________；
直线与抛物线没有公共点⇔相离.
（2）从代数角度来看,可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数确
定位置关系.
将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去（或），得到 2 + + = 0
= + ,
当 ≠ 时,联立得൝
可得 + − + = ,
= ,
由题意可得 = −
− = − ≤ ,解得 ≥ .
综上所述,实数的取值范围是{} ∪ [, +∞).故答案为{} ∪ [, +∞).
2
1
2
解设的方程为 = + ,点 1 , 1 ,
面积的最大值.
1
= + ,
2
2 , 2 ,联立得൞ 2 2
整理得
+ = 1,
8
2
2
2 + 2 + 22 − 4 = 0. ∵ Δ = 42 − 8 + 16 > 0,解得 < 2，
∴ 1 + 2 = −2,1 2 = 22 − 4，则
规律方法
研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究直线方程与曲线方程组成的方程组
的解的个数,但对于选择题、填空题,常根据几何条件,利用数形结合的方法求解.
题型二 与弦长有关的问题
2
典例2在平面直角坐标系中,已知椭圆: 2
3
率 = .
2
+
2
2
= 1 > > 0 过点 2,1 ,且离心
() A
A.8B.4 2C.4D.2 2
− − = ,
[解析]由ቊ
消去并化简得 − + = , = > .
= ,
设 , , , ,则 + = , ⋅ = ,所以
=
+ ⋅
+
共点.故选C.
2
［对点训练1］（1）已知椭圆
5
的位置关系为() A
A.相交
B.相离
2
+
4
= 1,直线 + + − 1 = 0,那么直线与椭圆
C.相切
D.不能确定
[解析]由 + + − = ,得 + + − = ,则直线 + + − =
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] 当直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但当直线与双曲线相交时,也可能有一
个公共点,例如:与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.故选A.
4.已知抛物线的方程为 2 = 8,若过点 −2,0 的直线与抛物线有公共点,则直线的斜
=
1+
1
2
⋅
1 + 2
2
− 41 2 .
知识拓展
设为圆锥曲线的弦,点为弦的中点.
2
1.椭圆 2
2
+ 2=
2
2
2.双曲线 2 − 2
2
3.抛物线 =
2
1 > > 0 的中点弦问题: ⋅ = − 2 .
2
= 1 > 0, > 0 的中点弦问题: ⋅ = 2 .
> ,
（3）过点 0,1 且与抛物线 2 = 8只有一个公共点的直线有() C
A.1条
B.2条
C.3条
D.无数条
[解析]由已知,可得:
①当直线过点 , 且与轴平行时,方程为 = ,与抛物线 = 只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时,方程为 = ,与抛物线 = 只有一个公共点；
D.不确定
在椭圆
+
= 的内
2.直线 =
+
2
3与双曲线 2
A.1
B.2
2
− 2
= 1 > 0, > 0 的交点个数是() A
C.1或2
D.0
[解析]因为直线 = + 与双曲线的渐近线 = 平行,所以它与双曲线只有1个交
点.
3.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( A )