高考数学命题角度2_2利用正弦、余弦定理解与三角形面积有关的问题大题狂练理

命题角度 2.2 ：利用正弦、余弦定理解与三角形面积相关的问题
1. 已知的三个内角的对边分别为.
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）若，且的面积，求角.
【答案】（Ⅰ）详看法析（Ⅱ）
【分析】试题剖析:（Ⅰ）有条件及三角形内角和关系可得，再依据引诱公式可得
，而后利用两角和余弦公式睁开，联合二倍角公式及平方关系，
将式子转变为对于的关系式，（Ⅱ）由三角形面积公式及余弦定理
，代入条件化简得；再依据正弦定理将条件
化角：，最后依据三角形内角关系消去 C 角得：
，依据二倍角及副角公式可得，联合 B 角范围可得结果 .
（Ⅱ）在中，
由余弦定理知：
2. 在ABC中，D为BC 边上一点，AD BD ，AC 4，BC 5.（ 1）若 C 60，求ABC 外接圆半径R的值；
（ 2）设CAB B ，若
tan15ABC 的面积.
，求
7
【答案】（ 1）R7 ;（2）15 15
.
8
试题分析：（ 1）由余弦定理，得AB2BC2AC 22BC AC cos60 21 ，解得 AB21.
由正弦定理得，
AB21
7 . sinC
2R, R
sin60
（ 2）设CD x ，则BD 5 x, AD 5x ，
∵AD BD，∴B DAB .
∴CAD CAB DAB CAB B.
∵ tan 15
，∴0,cos
7
. 728
∴ cos CAD cos AD 2AC 2CD2
2AD AC
，
52
42x2
即x 7
，解得 x 2.
2 4 5x8∴BD AD 3.
∵ AD CD，∴ sinC 3
sin 3 15.
sinC sin CAD216
∴S ABC 1
AC BC sinC145 3 1515 15. 22168
3. 如图，在ABC 中，角A, B,C的对边分别为 a,b,c , a b sinC cosC.
（ 1）求角 B 的大小；
（2）若A, D为ABC 外一点，DB2, DC 1 ，求四边形ABCD面积的最大值.
2
5
【答案】（1）B（ 2）2
44
【分析】试题剖析：（ 1）先依据正弦定理将条件转变为角的关系再利用三角形内角关系、引诱公式及两角和正弦公式化简得
sinA sinB sinC cosC , cosBsinC sinBsinC , 即得
tanB1，B. （ 2）S ABCD S
ABC
S
BDC
111
BC BC BD DCsinD ，
4222由余弦定理得 BC 21222 2 12 cosD 54cosD ，将数据代入可得
S
ABCD 5
sinD ，利用副角公式得
S
ABCD
5
cosD2sin D，最后依据三角形444
有界性可得四边形ABCD 的面积最大值。

4. 在ABC 中，三边a, b, c所对应的角分别是A, B, C ，已知 a, b, c 成等比数列.
（ 1）若1123
，求角 B 的值；
tan A tan C3
（ 2）若ABC 外接圆的面积为 4，求ABC 面积的取值范围.【答案】（ 1）B
3
；（ 2）S ABC(0,33] .
【分析】
试题剖析：（ 1）先将切化弦变形得
sin(A C)23
sin A sin C ，利用等比数列性质和正弦定理得
3
sin2B sin A sin C sin B23
，即sin B3
b
不是最大边得B；（）
，从而得，由
sin 2 B323
易得外接圆半径R 2 ，利用余弦定理和均值不等式得cos B 1
，即0B，再利用正23
弦定理和三角形正弦公式得S ABC 1
ac sin B 1 b2sin B8 sin 3B，利用22
0 sin B 3
，从而解得 S ABC (0,33] . 2
（ 2）∵ABC外接圆的面积为 4 ，∴ ABC 的外接圆的半径R 2 ，
由余弦定理 b2 a 2c22ac cos B ，得 cos B a 2c2b2，又 b2ac ，
2ac
1
. 当且仅当a c 时取等号，又∵ B 为ABC的内角，∴ 0B，∴
cos B
3 2
b
由正弦定理2R ，得b4sin B .
sin B
∴ABC 的面积S ABC 1
ac sin B
1
b2 sin B8sin3 B ，22
∵ 0B，∴ 0sin B 3
(0,33] .，∴ S ABC
32
考点： 1、正弦定理；2、余弦定理；3、均值不等式 .
5. 已知函数f x sin x(0) 在区间0,上单一递加，在区间
3,
2
上单一递
33减．如图，四边形OACB中，a,b,c 为ABC的内角A,B,C的对边，且知足
sinB sinC 4
cosB cosC 3．
sinA cosA
（ 1）证明： b c2a ；
（ 2）若b c ，设AOB，(0) ，OA2OB 2 ，求四边形 OACB 面积的最大值．
53
【答案】（ 1）看法析 ; （ 2）2.
4
试题分析 : （ 1）由题意知：24
，解得：
3
3
，
2
∵sinB sinC 2 cosB cosC ，
sinA cosA
∴ sinBcosA sinCcosA2sinA cosBsinA cosCsinA ，
∴ sinBcosA cosBsinA sinCcosA cosCsinA 2sinA ，
∴ sin A B sin A C2sinA .
∴ sinC sinB2sinA b c 2a .
（ 2）由于b c2a ， b c ，因此 a b c，因此ABC 为等边三角形，
S OACB S OAB S ABC 1?3
AB2 2OA OBsin4
sin3OA2OB 22OA ?OBcos
4
sin3cos532sin53 ，
434
∵0,，∴
33,
2
，3
5
S OACB的最大值为53
当且仅当
3
，即时取最大值，2. 264
6. 已知ABC 中，角A, B,C所对的边分别为a, b, c ，且A B C ， C 2 A.（ 1）若c3a ，求A的大小；
（ 2）若a, b,c为三个连续正整数，求ABC 的面积.
【答案】（ 1）A（ 2）ABC 的面积为1157 bcsinA
4
62【分析】试题剖析：
(1)由题意边化角，联合三角函数的性质可得cosA
3
A.
，则
26
(2)由题意可设 a n ，b n 1， c n 2 ，n N *，联合余弦定理得n 4 ，据此可得
ABC 的面积为15 7
. 4
试题分析：
（ 1）∵c3a ，∴由正弦定理有 sinC3sinA ，
又 C 2 A，即sin2 A3sinA ，于是 2sinAcosA3sinA ，
在ABC 中， sinA0 ，于是cosA3， A.
26
（ 2）由于A B C ，故 a b c ，故设a n， b n1， c n 2， n N *；
由C 2 A
，得
sinC sin2 A2sinAcosA
，
∴ cosA sinC c
. 2sinA2a
由余弦定理得：b2c2a2c
a, b, c 可得：2bc
，代入
2a
n
2
n2
2
2
1n n
2
，解得：n 4 ，∴ a4， b 5 ， c 6 ，2 n 1 n 22n
故
cosA c 3
，故 sinA7 ，
2a44
故ABC 的面积为
1
bcsinA
1
5 67157.
2244
7. 在ABC 中，a, b,c分别是角A, B,C的对边，a, b, c 成等比数列，且a2c2ac bc ．（Ⅰ）求 A 的大小；
（Ⅱ）若 a 3 ，且sinA sin B C2sin2C ，求ABC 的面积．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）S 3 .
32
【分析】试题剖析：（Ⅰ）由a，b，c 是一个等比数列得：b2ac ，得 b2c2a2bc ，再由余弦定理，即可求解角A的值.
（Ⅱ）由题意得C或 b2c ，分类议论，利用正、余弦定理，即可求解ABC 的面积.
2
试题分析：（Ⅰ）由 a， b，c 是一个等比数列得：b2ac ，因此由 a2c2ac bc
得 a2c2b2bc ，b2c2a2bc ，cosA b2c2a2bc1，
2bc2bc2
又 A0,A
3
（Ⅱ）由 sinA sin B C2sin2C 得： sin B C sin B C2sin2C ，
2sinBcosC?4sinC?cosC
cosC0或sinB2sinC即 C
2
或 b2c
①当C，由题意，A， a 3 ，因此由正弦定理得：c3， c 2 ，
23sin sin
3
2
故由勾股定理得：b1，S 1
absinC
1
·3?1?sin3 2222
②当 b2c 时，由题意，A， a 3 ，
3
4c2 ?1
因此由余弦定理得：a2b2c22bc?cosA ，34c2c23c2，
2
c 1， b 2 ，S 1
bcsinA
1
·2?1?sin
3
3 222
3
综上①②得：ABC 的面积：S
2
8. 在中，已知分别是角的对边，且。

（ 1）若，求的值；
（ 2）若，求的面积的最大值。

【答案】 (1)； (2)1.
【分析】试题剖析：
(1)由题意联合正弦定理可得是等腰直角三角形，则；
(2)联合余弦定理获得面积的表达式，而后利用均值不等式的结论可得的面积的最大值是 1.
法 2：由于，
因此由余弦定理，得
即
因此
（ 2）由于，，
因此 由余弦定理，得
因此
由于 , 因此
因此 的面积
由 ，
因此 时， 的最大值为 2
故 的面积
因此
的面积的最大值为 1
9. 四边形 ABCD 如下图，已知 AB BC CD 2，AD 23.
（ 1）求 3cosA cosC 的值；
（ 2）记 ABD 与
BCD 的面积分别是 S 1 与 S 2 ，求 S 12 S 22 的最大值 .
【答案】（ 1） 1
; （2） 14.
【分析】 试题剖析 : (1) 在
ABD , BCD 中 , 分别用余弦定理 , 列出等式 , 得出 3cosA cosC
的值 ; (2) 分别求出 S 1， S 2 的表达式 , 利用 (1) 的结果 , 获得 S 12 S 2 2 是对于 cosC 的二次函数 ,
利用三角形两边之和大于第三边
, 两边之差小于第三边 ,求出 BD
的范围 , 由 BD 的范围求出
cosC 的范围 , 再求出 S 12 S 2 2 的最大值 .
试题分析 : （ 1）在 ABD 中， BD 2 AB 2 AD 2 2AB AD cosA 16 8 3cosA ，
在 BCD 中， BD 2 BC 2 CD 2
2BC CDcosC 8 8cosC ，
因此 3cosA cosC
1.
（
2
） 依
题
意
S 12
1
AB 2 AD 2sin 2 A 12 12cos 2 A
，
4
S22 1 BC2CD 2sin 2C 44cos2C ，
4
因此S12S221212cos2 A44cos2 C16 4 cosC12
2C
4cos
12
8cos2 C8cosC128 cosC14 ，
2
由于2 32BD4，因此 88cosC BD 216 83,16 .
解得1cosC31，因此 S12S2214 ，当 cosC1时取等号，即 S12S22的最大值
2
为 14.
10. 如图，在边长为 2 的正三角形ABC 中， D 为BC的中点，E, F 分别在边 CA, AB 上.
（ 1）若DE2，求 CE 的长；
（ 2）若EDF600，问：当CDE 取何值时，DEF 的面积最小？并求出头积的最小值．
【答案】（ 1）CE 5 1（ 2）CDE 600时，DEF 的面积的最小值为3
24
（ 2）设CDE,30 0900，
在 CDE 中，由正弦定理，得
DE DC
，sin DCE sin CED
因此 DE
sin6003，同理DF3
，sin 6002sin 6002sin
故S
DEF1DE DF sin EDF 3 3
43 3
300
，
216sin sin 6008sin 2
由于 300900,30 023001500，因此当600时，sin 2300的最大值为
1，此时DEF 的面积取到最小值．即CDE 600时，DEF 的面积的最小值为3
．4
【方法点睛】此题主要考察正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题. 在解与三角形相关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依照.除了直接利用两定理求边和
角之外，恒等变形过程中, 当条件中同时出现ab 及b2、a2时，常常用余弦定理，而题设
中假如边和正弦、余弦函数交错出现时，常常运用正弦定理将边化为正弦函数再联合和、差、
倍角的正余弦公式进行解答.。