【加练半小时】2020版高考数学理(通用)一轮练习：第19练

[基础保分练]
1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1
e
D ．a <－1
e
2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A ．－4
27，0
B ．0，－4
27
C.4
27
，0 D ．0，4
27
3．(2019·河北武邑中学调研)已知函数f (x )＝(2x －x 2)e x ，则( ) A ．f (2)是f (x )的极大值也是最大值 B ．f (2)是f (x )的极大值但不是最大值 C ．f (－2)是f (x )的极小值也是最小值 D ．f (x )没有最大值也没有最小值
4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －
1＋k ，则f (x )＝x 3－kx 2－2x ＋1的极大值为( )
A ．2
B ．3 C.72 D.52
5．函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2－2x ＋1在x ∈(1,2)内存在极值点，则( )
A ．－12<a <12
B ．－12≤a ≤1
2
C ．a <－12或a >12
D ．a ≤－12或a ≥12
6．(2019·南昌市南昌二中期末)已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋3bx ＋c 的两个极值点分别在(－1,0)与(0,1)内，则2a －b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，3
2 B.⎝⎛⎭⎫－3
2，1 C.⎝⎛⎭
⎫－12，32 D.⎝⎛⎭
⎫1，32 7．(2018·泉州质检)已知直线y ＝a 分别与函数y ＝e x ＋1
和y ＝x －1交于A ，B 两点，则A ，B
之间的最短距离是( )
A.3－ln 22
B.5－ln 22
C.3＋ln 22
D.5＋ln 22
8．记函数f (x )＝13x 3－12x 2＋1
2在(0，＋∞)上的值域为M ，g (x )＝(x ＋1)2＋a 在(－∞，＋∞)上的
值域为N ，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥1
2
B ．a ≤1
2
C ．a ≥1
3
D ．a ≤1
3
9．(2018·江苏泰州中学月考)若函数f (x )＝2a e x －x 2＋3(a 为常数，e 是自然对数的底数)恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．
10．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围为________．
[能力提升练]
1．(2019·安徽省定远重点中学月考)设函数f (x )＝ln x ＋ax 2－32x ，若x ＝1是函数f (x )的极大值
点，则函数f (x )的极小值为( ) A ．ln 2－2 B ．ln 2－1 C ．ln 3－2
D ．ln 3－1
2．已知函数f (x )＝(x 2＋x )·(x 2＋ax ＋b )，若对∀x ∈R ，均有f (x )＝f (2－x )，则f (x )的最小值为( ) A ．－94 B ．－35
16
C ．－2
D ．0
3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．已知对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2不等式e x
a
>x 2恒成立(其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭
⎫0，e 2 B ．(0，e) C ．(－∞，－2e)
D.⎝
⎛⎭⎫－∞，4
e 2
5．(2019·大庆实验中学月考)已知P，Q分别为函数f(x)＝1
2e
1
2
x
，g(x)＝ln(2x)＋
1
2上两点，则
P，Q两点的距离|PQ|的最小值是________．
6．已知函数f(x)＝e x＋a ln x，
①当a＝1时，f(x)有最大值；
②对于任意的a>0，函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数；
③对于任意的a<0，函数f(x)一定存在最小值；
④对于任意的a>0，都有f(x)>0.
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
答案精析
基础保分练
1．A [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .
∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，∴方程e x ＋a ＝0有大于零的根．∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.]
2．C [由题意知，f ′(x )＝3x 2
－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
3－2p －q ＝0，
1－p －q ＝0，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝2，q ＝－1，
所以f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1.易得当x ＝1
3
时，
f (x )取得极大值4
27
；当x ＝1时，f (x )取得极小值0.]
3．A [函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的导数为f ′(x )＝(2－2x )e x ＋(2x －x 2)e x ＝(2－x 2)e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >2或x <－2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；则f (2)取得极大值，f (－2)取得极小值，又当x <0时，f (x )＝(2x －x 2)e x <0，f (2)>0，所以f (2)也是最大值；当x >2时，若x 趋向于正无穷大，则f (x )趋向于负无穷大，所以无最小值．故选A.] 4．D [因为S 1＝a 1＝1＋k ，S 2＝a 1＋a 2＝2＋k ，S 3＝S 2＋a 3＝4＋k ，即a 1＝1＋k ，a 2＝1，a 3＝2，故2(1＋k )＝1，k ＝－12，所以f (x )＝x 3＋1
2x 2－2x ＋1，由于f ′(x )＝3x 2＋x －2＝(3x －2)(x
＋1)，因此当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，2
3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以函数f (x )在x ＝－1处取极大值f (－1)＝－1＋12＋2＋1＝5
2
.]
5．A [若函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2－2x ＋1在x ∈(1,2)内无极值点，则f ′(x )＝x 2＋2ax －2≥0或f ′(x )
＝x 2＋2ax －2≤0在(1,2)上恒成立．
①当f ′(x )＝x 2＋2ax －2≥0在x ∈(1,2)内恒成立时，由f ′(1)＝2a －1≥0且f ′(2)＝4a ＋2≥0，得a ≥12
；
②当f ′(x )＝x 2＋2ax －2≤0在x ∈(1,2)内恒成立时， 由f ′(1)＝2a －1≤0且f ′(2)＝4a ＋2≤0，得a ≤－1
2.
综上，无极值时a ≤－12或a ≥1
2
，
∴当－12<a <1
2时，在x ∈(1,2)内存在极值点，故选A.]
6．A [∵由函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋3bx ＋c ， ∴求导得，f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋3b ，
∵f (x )的两个极值点分别在区间(－1,0)与(0，1)内，
∴由3x 2
＋4ax ＋3b ＝0的两个根分别在区间(0,1)与(－1,0)内，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′(0)<0，
f ′(－1)>0，
f ′(1)>0，
∵令z ＝2a －b ，∴转化为在约束条件为⎩⎪⎨⎪
⎧
3b <0，
3－4a ＋3b >0，
3＋4a ＋3b >0时，求z ＝2a －b 的取值范围，可
行域如图阴影(不包括边界)所示，
∴目标函数转化为b ＝2a －z ，
∴由图可知，z 在A ⎝⎛⎭⎫34，0处取得最大值32，在B ⎝⎛⎭⎫－34，0处取得最小值－3
2，∵可行域不包含边界，∴z ＝2a －b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，3
2.] 7．D [由y ＝e x ＋1得x ＝ln y －1(y >0)，由y ＝
x －1得x ＝y 2＋1，
所以设h (y )＝|AB |＝y 2＋1－(ln y －1)＝y 2－ln y ＋2，h ′(y )＝2y －1
y
＝
2⎝⎛⎭⎫y －
22⎝⎛⎭
⎫
y ＋22y
，当
0<y <
22时，h ′(y )<0，当y >22时，h ′(y )>0，即函数h (y )在区间⎝
⎛⎭⎫0，2
2上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以h (y )min ＝h ⎝⎛⎭⎫22＝⎝⎛⎭⎫222－ln 22＋2＝5＋ln 22，故选D.]
8．C [由题意可得f ′(x )＝x 2－x ＝x (x －1)， 则当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 函数的最小值为f (1)＝13－12＋12＝1
3
，
据此可知M ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
x ≥13
， 由二次函数的性质可知函数g (x )的最小值为g (－1)＝a ，则N ＝{x |x ≥a }， 结合N ⊆M 可知实数a 的取值范围是a ≥1
3.]
9.⎝⎛⎭
⎫0，1e 解析 因为f ′(x )＝2a e x －2x ，函数有两个极值点，即f ′(x )＝2a e x －2x ＝0恰有两个零点，显然，当a ≤0时，不符合题意；当a >0时，令f ′(x )＝2a e x －2x ＝0，得a ＝x e x .令g (x )＝x e x ，则g ′(x )
＝
1－x
e x
，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，所以g (x )在区间(－∞，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，故g (x )有最大值g (1)＝1
e ，所以a ∈⎝⎛⎭⎫0，1e . 10．(－∞，4]
解析 因为2f (x )≥g (x )，代入解析式可得 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，
分离参数a 可得a ≤2ln x ＋x ＋3
x ，
令h (x )＝2ln x ＋x ＋3
x (x >0)，
则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)
x 2
，
令h ′(x )＝0解得x 1＝－3，x 2＝1，
所以当0<x <1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递减；当x >1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增，
所以h (x )在x ＝1处取得极小值，也是最小值． 所以h (x )≥h (1)＝4.
因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4， 所以a 的取值范围为(－∞，4]． 能力提升练
1．A [∵f (x )＝ln x ＋ax 2－3
2x (x >0)，
∴f ′(x )＝1x ＋2ax －3
2，
∵x ＝1是函数的极大值点，
∴f ′(1)＝1＋2a －32＝2a －12＝0，解得a ＝1
4
，
∴f ′(x )＝1x ＋x 2－32＝x 2
－3x ＋22x ＝(x －1)(x －2)
2x
，
∴当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．
∴当x ＝2时，f (x )有极小值，且极小值为f (2)＝ln 2－2.]
2．A [对∀x ∈R ，均有f (x )＝f (2－x )，则f (x )的对称轴为x ＝1，f (x )的零点也关于x ＝1对称，由x 2＋x ＝0得x ＝0，x ＝－1是f (x )的两个零点，故x ＝2，x ＝3也是f (x )的零点． 则x ＝2，x ＝3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，
则2＋3＝－a,2×3＝b ，即a ＝－5，b ＝6，f (x )＝x (x ＋1)·(x －2)(x －3)＝x (x －2)[x (x －2)－3]， 令u ＝x (x －2)，则u ∈[－1，＋∞)， 则g (u )＝u (u －3)＝⎝⎛⎭⎫u －322－9
4
， 当u ＝32∈[－1，＋∞)时，g (u )取得最小值－94，据此可知f (x )的最小值为－9
4
，故选A.]
3．A [函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，
由图象得：当a <x <c 或d <x <0或0<x <e 时，f ′(x )>0， 当c <x <d 或e <x <b 时，f ′(x )<0，
∴f (x )的增区间为(a ，c )，(d,0)，(0，e )，减区间为(c ，d )，(e ，b )， ∴d 是函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点， ∴函数f (x )在开区间(a ，b )内有1个极小值点．故选A.]
4．A [由e x
a
>x 2得x a >2ln x 在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2上恒成立，即1a >2ln x x 在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2上恒成立． 令f (x )＝2ln x
x ，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2，则f ′(x )＝2(1－ln x )x 2， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤
1e ，e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ∴f (x )max ＝f (e)＝2e ，
∴1a >f (e)＝2e ，∴0<a <e 2
. 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，e
2，故选A.] 5．0
解析 ∵函数f (x )＝12e 1
2x -与函数g (x )＝ln(2x )＋1
2互为反函数，
∴函数f (x )＝12e 1
2x -与函数g (x )＝ln(2x )＋1
2的图象关于直线y ＝x 对称，
设φ(x )＝12e 1
2x -－x ，则φ′(x )＝12e 1
2x -
－1，
令φ′(x )＝0，得x ＝ln 2＋1
2，
又φ′(x )为增函数，
∴φ(x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln 2＋12上单调递减，在⎝⎛⎭
⎫ln 2＋1
2，＋∞上单调递增，
∴φ(x )的最小值为φ⎝⎛⎭⎫ln 2＋12＝1
2－ln 2＝ln e －ln 4<0， 即∃x 0∈R ，使得φ(x 0)＝0，即函数f (x )图象与直线y ＝x 有交点，
即函数f (x )＝12e 1
2x -与函数g (x )＝ln(2x )＋1
2的图象有公共点在直线y ＝x 上，
故|PQ |的最小值是0. 6．②③
解析 由函数的解析式可得：f ′(x )＝e x ＋a
x
，
当a >0时，函数y ＝e x ，y ＝a ln x 均为单调递增函数，则函数f (x )是(0，＋∞)上的增函数，说法②正确；
可知，当a ＝1时f (x )无最大值，说法①错误；
当a <0时，f ′(x )＝e x ＋a
x 单调递增，且f ′(－a )＝e －a －1>0，
且当x →0时，f ′(x )→－∞，据此可知存在x 0∈(0，－a )， 在区间(0，x 0)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 在区间(x 0，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 函数f (x )在x ＝x 0处取得最小值，说法③正确； 当a ＝1时，f (x )＝e x ＋ln x ， 由于e －5∈(0,1)，故e
5
e －∈(1，e)，
f (e －5)＝e
5
e －＋ln e －5＝e
5
e －－5<0，说法④错误；
综上可得，正确结论的序号是②③.。