北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 数列 3.1 第2课时 等比数列的性质及应用

A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
解析 根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则am,ak,an成等比数列.即
a3,a6,a9成等比数列.故选D.
1 2 3 4 5 6
2.已知数列{an}是等比数列,满足a2+a4=10,a3+a5=20,则
log2a2+log2a14=
2
.
解析 在正项等比数列{an}中,a4a8a12=83 =8,∴a8=2,则
log2a2+log2a14=log2(a2a14)=log282 =log222=2.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
等比数列通项公式的推广应用
9 -10
【例1】 (1)已知在等比数列{an}中,若a3=2,a4a6=16,则
∴n年后车的价值为an=13.5×0.9n万元.
(2)由(1)得a4=13.5×0.94=8.857 35(万元),
∴用满4年时卖掉这辆车,能得到8.857 35万元.
规律方法
等比数列应用题的关注点
(1)常见类型:增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等.
(2)关键:建立数学模型,即将实际问题转化成等比数列的问题.
3
∴an=a4·q =2·(√4)
n-4
2
2 5
n=2·(23 ) 4=23-3 (n∈N+).
n-4
规律方法 1.应用an=amqn-m,可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公
式,不必再求a1.
2.等比数列的增减性由a1,q共同确定,但只要数列递增或递减,必有q>0.
变式训练1已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于( B )
A.5
B.6
C.10
D.11
解析 因为a6=3,且{an}为等比数列,
所以a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7= 62 =32,
所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=log3(a1a2a3…a11)=log3311=11.
故选D.
★(2)(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,
A.21
B.42 C.63 D.84
解析 设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,
解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.
探究点二
等比数列的性质及其应用
【例2】 (1)在等比数列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1a2a3·…·an=64,则
要么是递减数列,而a1>1,∴综上可知,a8>1>a9,即数列{an}为递减数列且
0<q<1.∵T16=a1·a2·…·a16=(a8a9)8,又a8a9>1,∴T16>1,而T17=(a9)17<1,故选BC.
探究点三
由等比数列衍生的新数列
【例3】 已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则
log2a1+log2a2+…+log2a10=( B )
A.55 B.45 C.16 D.32
解析 设等比数列{an}的公比为q,
2 + 4 = 1 (1 + 2 ) = 10,
1 = 1,
则
解得
2
2
= 2,
3 + 5 = 1 (1 + ) = 20,
所以a10=1×29=29,
速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他能得到多少钱?
解 (1)n年后车的价值依次设为a1,a2,a3,…,an,
由题意,得a1=13.5×(1-10%),a2=13.5×(1-10%)2,….
由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,
2.在等比数列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立?
提示 不一定成立,如数列{an}的通项公式an=2的常数列,公比为1,此时
am·an=ak·al,但m+n=k+l不一定成立.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是递增数列.( √ )
(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列.
(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.
思考辨析
1.[人教B版教材习题]如果等比数列{an}中公比q>1,那么{an}一定是递增数
列吗?为什么?
提示 不一定,比如公比为2的等比数列-1,-2,-4,-8,-16,….
(2)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.( × )
(3)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等
比数列.( × )
(4)若数列{an}为等比数列,且m+n=p(m,n,p∈N+),则am·an=ap.( × )
2.已知数列{an}是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用
课程标准
性质.
2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.
3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点 等比数列{an}的常用性质
②若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
解 ①a2a4+2a3a5+a4a6=32 +2a3a5+52 =(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.
②根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
1 4 -1 5
C.
(方法二)由题意 a5=4,设公比为 q,所以 q2=2,
9 -10
所以
5 -6
=
4 (5 -6 ) 4
=q =4.
5 -6
(2)已知等比数列{an}中,若a4=2,a7=8,求an.
解
7
3
7-4 8
3
∵ =q =2,即 q =4,∴q= √4,
4
的( D )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当a1<0,q>1时,数列{an}为递减数列,即充分性不成立;当数列{an}是递
增数列时,可能是a1<0,0<q<1,即必要性不成立.故“q>1”是“数列{an}是递
增数列”的既不充分也不必要条件.
3.[2024陕西咸阳期中]在正项等比数列{an}中,a4a8a12=8,则
1
2
4.数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an·bn}({bn}也是等比数列), { },

等也是等比
数列.
5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1.
注意等式成立的前提和角标规律
名师点睛
等比数列{an}的增减性
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列.
=( C )
5 -6
A.16 B.8 C.4 D.2
解析 (方法一)在等比数列{an}中,设其公比为 q(q≠0),a3=2,a4a6=16,
1 2 = 2,
2 = 2,
∴ 2 8
解得
1 = 1.
1 = 16,
9 -10
∴
5 -6
=
1 8 -1 9
4
=q
=4.故选
1
C.128a, b
128
1
D.256a, b
256
解析
1
每次对折后,报纸的厚度构成公比为 2 的等比数列,面积构成公比为 的
2
等比数列,因此对折 7 次后,报纸的厚度为 a×2 .
128
1 2 3 4 5 6
1 7
2
=
4.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=
因此,log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log2(a1a10)5=log2(29)5=45.
故选B.
1 2 3 4 5 6
3.一张报纸的厚度为a,面积为b,现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次,
这时报纸的厚度和面积分别为( C )
1
A.8a,8b
1
B.64a,64 b
1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则 am·an=ap·aq .
2
特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则 am·an= .
此时ap是am和an的等比中项
n-m
q
2.an=am·
(m,n∈N+).
3.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,
该数列仍然是等比数列,公比为 qn-m .
一半”.则牛主人比羊主人多赔偿粟的斗数是( B )
20
A.
7
15
B.
7
10
C.
7
5
D.
7
解析 由题意,羊、马、牛的主人需赔偿的粟依次成等比数列{an},且公比
q=2,
因为一共赔偿五斗粟,所以a1+a2+a3=5,即a1+a1q+a1q2=5,即7a1=5,
所以
5
20
15
a1= ,因此 a3=4a1= ,所以 a3-a1= .
∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.
规律方法
巧用等比数列的性质解题
变式训练2 (1)在正项等比数列{an}中,若a6=3,则
log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=( D )
(3)步骤
构造数列→判断数列→寻找条件→建立方程→求解方程→正确解答
变式训练4《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主贵之粟五
斗,羊主曰:“我羊食半马”,马主曰:“我马食半牛”,今欲衰偿之,问各出几何?
其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,苗主人要求赔偿五斗粟,羊主人
说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半”,马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的
7
7
7
15
即牛主人比羊主人多赔偿 7 斗粟.
故选 B.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)等比数列通项公式的推广应用.
(2)等比数列的性质及其应用.
(3)等比数列的实际应用.
2.方法归纳:化归转化、数学建模.
3.常见误区:等比数列性质的错用,例如误用为a6=a2·
a4.
学以致用·随堂检测促达标
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( D )
a8+a9>a8a9+1>2,记数列{an}的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是( BC )
A.q>1 B.a8>1
C.T16>1D.T17>1
解析 由a8+a9>a8a9+1,得(a8-1)(1-a9)>0,即a8,a9中一个大于1,另一个小于1.∵
等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,即q>0,∴数列{an}要么是递增数列,
a4a5a6等于( D )
A.4√2
B.6
C.7
D.5√2
解析 ∵{an}为等比数列,
∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比数列,
∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=5×10.
又数列{an}各项均为正数,∴a4a5a6=5 √2.
规律方法
借助新数列与原数列的关系,整体代换可以减少运算量.
数列{|an|}单调递减;(3)数列{an}不具有单调性,则当n∈N+时,an=
数列{an}有 12
项.
解析 由题意及等比数列的性质得a1a2a3an-2an-1an=(a1an)3=8,即a1an=2,
则a1a2a3·…·an=64=26=(a1an)6,
故数列{an}有12项.
★(2)已知{an}为等比数列.
①若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
480
.
解析 根据等比数列的性质可知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列,即
(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),
故
3 +4
120
a5+a6=(a3+a4)· + =120×30 =480.
1
2
1 2 3 4 5 6
5.[2024江苏海门期中]试写出一个无穷等比数列{an},同时满足:(1)a4=1;(2)
变式训练3在等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为( B )
A.32
B.64
C.128
D.256
18
解析 由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且 =2,故
12
a36=4×24=64.
探究点四
等比数列的实际应用
【例4】 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的