步步高【加练半小时】2017年高考数学(全国理)专题复习：(理)(全国)阶段检测5.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
一、选择题
1．(2015·日照一模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a <0
D ．a ≤0
2．设函数D (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )
A ．D (x )的值域为{0,1}
B ．D (x )是偶函数
C ．
D (x )不是周期函数
D ．D (x )不是单调函数
3．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x
在x ∈[0,4]上解的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．(2015·银川一中二模)定义在[a ，b ](b >a )上的函数f (x )＝12sin x －3
2cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则b －a 的最大值M 和最小值m 分别是( ) A ．m ＝π6，M ＝π
3
B ．m ＝π3，M ＝2π
3
C ．m ＝4π
3
，M ＝2π
D ．m ＝2π3，M ＝4π
3
5．(2015·温州二测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )
A ．(18π－20)cm 3
B ．(24π－20) cm 3
C ．(18π－28) cm 3
D ．(24π－28) cm 3
6．(2015·石家庄二检)已知函数f (x )的定义域为(4a －3,3－2a 2)，a ∈R ，且y ＝f (2x －3)是偶函数．又g (x )＝x 3＋ax 2＋x 2＋1
4，存在x 0∈⎝⎛⎭⎫k ，k ＋12，k ∈Z ，使得g (x 0)＝x 0，则满足条件的实数k 的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．4
D ．1
7．(2015·湖北八校联考)已知点A 是抛物线C 1：y 2
＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，
b >0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )
A. 2 B ．2 C. 5 D ．4
8．(2015·广西二市联考)若数列{a n }满足a 1＝1，a n －1＋a n ＝a n a n －1(n 2－n )·(－1)n (n ∈N *
，且n ≥2)，则数列{a n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3)}的前6项和为( )
A ．－3
B ．－115 C.1
15
D ．3
9．(2015·台州调考)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，若E ，F 为BD 1的两个三等分点，G 为长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1表面上的动点，则∠EGF 的最大值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1
＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3
5
，则该椭圆的离心率为( ) A.53 B.5
4 C.56
D.57
11．直线y ＝2x －2交抛物线y 2＝ax (a >0)于A 、B 两点，若O 为原点，|AB |＝215，则|OA →＋OB →
|等于( )
A ．2 2 B. 2 C ．3 2
D ．4 2
12．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ≤0，2x －y ≥0，
x 2＋y 2－2x －2y ≤0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题 13．(2015·南京调研)
如图，过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)的左顶点A 作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q .若△AOP
是等腰三角形，且PQ →＝2QA →
，则椭圆的离心率为________．
14．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩
⎨⎧⎭
⎬
⎫
a n n ＋1的前n 项和S n ＝________.
15．如图1，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点M ，N ，Q 分别在线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上．当三棱锥Q —BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q —BMN 的正视图面积等于________．
16．设过椭圆x 22＋y 2
＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原
点，则OP →PF →
的取值范围为________． 三、解答题
17．(2015·湖北七市联考)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－1，n ＝⎝
⎛⎭⎫3sin x 2，cos 2x
2，设函数f (x )＝
m n ＋1.
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＝6ab cos C ，sin 2C ＝2sin A sin B ，求f (C )的值． 18.
如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且AB ＝BC ＝CA ＝3，AD ＝CD ＝1. (1)求证：BD ⊥AA 1；
(2)若E 为棱BC 的中点，求证：AE ∥平面DCC 1D 1.
19．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0.且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n
b n ＝a n ＋1成立，求
c 1＋c 2＋…＋c 2 016的值．
20．(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝2
2.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－9
4，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
21．(2015·浙江绍兴一中交流卷)
如图，四边形ABEF 是等腰梯形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，矩形ABCD 与梯形ABEF 所在的平面互相垂直，已知AB ＝2，EF ＝1. (1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；
(2)当AD 的长为何值时，二面角D —FE —B 的大小为60°？
22．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1
2，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆的短轴两端点分别为A ，B ，过椭圆C 外的一点T (0，m )是否存在一条直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，使得TP →·TQ →＝76TA →·TB →
？若存在，请求出此直线；若不存在，请说明理由．
答案解析
1．D
2．C [A 中，由D (x )的定义直接可得D (x )的值域为{0,1}．B 中，D (x )的定义域为R ，D (－
x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，＝D (x )，所以D (x )为偶函数．C 中，D (x ＋1)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x 为有理数，0，x 为无理数，＝D (x )，所以可以确定1为D (x )的一个周期，D 中，D (1)＝1，D (2)＝0，D (2)＝1，…，所以D (x )不是单调函数．] 3．D 4.D 5.D
6．A [由于函数f (x )的定义域为(4a －3,3－2a 2)，所以4a －3<3－2a 2，解得－3<a <1.又函数y ＝f (2x －3)是偶函数，所以4a －3<2x －3<3－2a 2⇒2a <x <3－a 2，且2a ＋3－a 2＝0⇒a ＝－1或3，所以a ＝－1，则g (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，令h (x )＝g (x )－x ＝x 3－x 2－x 2＋1
4，则h ′(x )＝3x 2－
2x －12＝12(6x 2－4x －1)＝0⇒x ＝2±106，且当x ＝2－106时，h (x )取得极大值，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－106>0，
当x ＝2＋106时，h (x )取得极小值，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋106<0，所以函数h (x )有三个零点．又h (－1)<0，h ⎝⎛⎭⎫－12>0，h (0)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h (1)<0，h ⎝⎛⎭⎫3
2>0，所以k ＝－1,0,1，即满足条件的实数k 有3个，故选A.] 7．C
8．B [由题意可得1a n ＋1a n －1＝1n (n －1)(－1)n ，
则(－1)n a n －(－1)n －
1a n －1＝1n －1－1n
，
累加得(－1)n a n ＝－1n ，a n ＝(－1)n －
1n ，
所以a n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3)＝(－1)n (n ＋1)
(2n ＋1)(2n ＋3)
，
则前6项的和为－23×5＋35×7＋－47×9＋59×11＋－611×13＋7
13×15
＝－⎝⎛⎭
⎫13×7＋17×11＋1
11×15
＝－14
×
⎝⎛⎭⎫13－17＋17－111＋111－115＝－115
，故选B.] 9．D
10．D [依题意得，|PF 1|sin β＝|PF 2|sin α＝|F 1F 2|sin (α＋β)，所以|PF 1|＋|PF 2|sin α＋sin β＝|F 1F 2|sin (α＋β)，故e ＝
|F 1F 2|
|PF 1|＋|PF 2|＝
sin (α＋β)sin α＋sin β
.由已知得0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，即cos(α＋β)<5
5，又cos 2(α＋β)＋sin 2(α
＋β)＝1，所以cos(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝25
5，sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋
β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×55＋45×255＝11525，故sin α＋sin β＝215
25，e ＝sin (α＋β)sin α＋sin β＝
57，即该椭圆的离心率为5
7.] 11．D
12．D [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据图形可知，只有直线z ＝x ＋y 在第一象限与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切时，z 最大．根据|1＋1－z |2＝2，解得z ＝4(z ＝0舍
去)，故所求的最大值为4.]
13.255
14．2n ＋
1－2
解析 曲线y ＝x n (1－x )＝x n －x n ＋
1，y ′＝nx n －
1－(n ＋1)x n ，所以曲线在x ＝2处的切线斜率为
k ＝n ×2n －
1－(n ＋1)2n ＝－(n ＋2)2n －
1，切点为(2，－2n )，所以切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)2n
－
1
·(x －2)，令x ＝0得，y ＋2n ＝(n ＋2)2n ，即y ＝(n ＋1)2n ，所以a n ＝(n ＋1)2n ，所以
a n
n ＋1
＝2n ，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n ＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－2n
)1－2＝2n ＋1
－2.
15.1
4
a 2 解析 当俯视图如题中所示时，点Q 与点D 1重合、点N 与点C 重合，点M 为AD 1的中点，如图①所示，此时如果把正方体的侧面CDD 1C 1作为投影面，则三棱锥Q —BMN ，即三棱锥D 1—BMC 的正视图即为侧面CDD 1C 1上的三角形CD 1H ，如图②所示，其中H 为DD 1的中点，其面积为14
a 2.
16.⎣⎡⎦
⎤0，18 解析 椭圆x 22＋y 2
＝1的右焦点为F (1，0)，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x
－1)，代入椭圆方程x 22＋y 2
＝1中，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以x 0＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2，OP →
＝⎝⎛⎭⎫2k 2
1＋2k 2，－k 1＋2k 2，PF →＝⎝⎛⎭⎫11＋2k 2，k 1＋2k 2，所以OP →PF →＝2k 2
(1＋2k 2)2－k 2
(1＋2k 2)2＝k 2
(1＋2k 2)2＝k 21＋4k 2＋4k
4，当k ＝0时，OP →PF →
＝0， 当k ≠0时，OP →PF →＝
k 2
1＋4k 2＋4k 4
＝
14＋1k
2＋4k 2
≤18，当且仅当k 2＝12时等号成立，且OP →PF →
>0. 当直线AB 的斜率不存在时，F 与P 重合， 所以OP →PF →
＝0.
综上，OP →PF →
的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，18. 17．解 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2－cos 2x
2＋1
＝
32sin x －12cos x ＋1
2
＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋12
. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
则2k π－π3≤x ≤2k π＋2π
3
(k ∈Z )，
∴所求增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π
3 (k ∈Z )． (2)由a 2＋b 2＝6ab cos C ， sin 2C ＝2sin A sin B ⇒c 2＝2ab ，
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝6ab cos C －2ab
2ab ＝3cos C －1，
即cos C ＝12，又∵0<C <π，C ＝π
3，
∴f (C )＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin(π3－π6)＋1
2＝1. 18．证明 (1)在四边形ABCD 中， 因为BA ＝BC ，DA ＝DC ， 所以BD ⊥AC ，
又平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C . 又因为AA 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以BD ⊥AA 1.
(2)在三角形ABC 中，因为AB ＝AC ，且E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ， 又因为在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝3，DA ＝DC ＝1， 所以∠ACB ＝60°，∠ACD ＝30°， 所以DC ⊥BC ，所以AE ∥CD ， 因为DC ⊂平面DCC 1D 1， AE ⊄平面DCC 1D 1， 所以AE ∥平面DCC 1D 1.
19．解 (1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，且a 2，a 5，a 14成等比数列， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2，d ＝0(舍去)． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又∵b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9.
∴等比数列{b n }的公比q ＝3，b 1＝1，b n ＝3n －
1.
(2)∵c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n
b n ＝a n ＋1，①
∴c 1
b 1
＝a 2，即c 1＝b 1a 2＝3. 又c 1b 1＋c 2
b 2＋…＋
c n －1b n －1＝a n (n ≥2)，② ①－②得，c n
b n ＝a n ＋1－a n ＝2，
∴c n ＝2b n ＝2×3n －
1(n ≥2)，
∴c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3 (n ＝1)，2×3n －1
(n ≥2). 则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 016
＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 016－
1
＝3＋2×(31＋32＋…＋32 015) ＝3＋2×3×(1－32 015)1－3
＝32 016
－3.
20．解 方法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝2，
c a ＝2
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
.
解得⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝2，
c ＝2，
所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0. 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3
m 2＋2，
从而y 0＝m
m 2＋2.
所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋9
42＋y 20 ＝⎝
⎛⎭⎫my 0＋5
42＋y 20 ＝(m 2＋1)y 20
＋52my 0＋2516
. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)
2
4
＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24
＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4
＝(1＋m 2)(y 2
0－y 1y 2)，
故|GH |2
－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516 ＝5m 2
2(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2
＋2516 ＝17m 2＋216(m 2＋2)
＞0， 所以|GH |＞|AB |2
. 故点G ⎝⎛⎭
⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 方法二 (1)同方法一．
(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则GA →＝⎝⎛⎭
⎫x 1＋94，y 1， GB →＝⎝⎛⎭
⎫x 2＋94，y 2
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，
得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2
， 从而GA →GB →
＝⎝
⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2 ＝⎝
⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516
＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516 ＝17m 2＋216(m 2＋2)
＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.
又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．
故点G ⎝⎛⎭
⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 21．(1)证明 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，CB ⊥AB ，CB ⊂平面ABCD ，
∴CB ⊥平面ABEF .
∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB .
又∵AF ⊥BF ，BF ∩CB ＝B ，
∴AF ⊥平面CBF .
∵AF ⊂平面DAF ，
∴平面DAF ⊥平面CBF .
(2)解
取AB 的中点O ，DC 的中点H ，EF 的中点G ，以O 为坐标原点，OA →、OG →、OH →分别为x 轴、
y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．
设AD ＝t (t >0)，
则点D 的坐标为(1,0，t )，
易知等腰梯形ABEF 的高为32
， 则F ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭
⎫－12，32，0， 所以DF →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，－t ，DE →＝⎝⎛⎭
⎫－32，32，－t . 设平面DFE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则n 1DF →＝0，n 1DE →＝0，即⎩⎨⎧ －12x ＋32y －tz ＝0，－32x ＋32y －tz ＝0.
令z ＝3，解得x ＝0，y ＝2t ，
∴n 1＝(0,2t ，3)．
取平面BEF 的一个法向量n 2＝(0,0,1)，
依题意得cos 60°＝|n 1n 2||n 1||n 2|
，
即12＝|0＋0＋3|4t 2＋3×1
， 解得t ＝32
(负值舍去)． 因此，当AD 的长为32
时，二面角D —EF —B 的大小为60°. 22．解 (1)因为离心率e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2，又点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，所以1a
2＋9
4b 2＝1，联立方程即可得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23
＝1. (2)由题意知，当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．
假设存在直线l ，斜率为k ，直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中， 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2
， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ，
y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，
所以TP →TQ →＝(x 1，y 1－m )(x 2，y 2－m )
＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2
＝4(1＋k 2)(m 2－3)3＋4k 2
， TA →TB →＝(0，3－m )(0，－3－m )＝m 2－3，
若TP →TQ →＝76
TA →TB →， 则4(1＋k 2)(m 2－3)3＋4k 2
＝76(m 2－3)， 因为m 2
≠3，所以4(1＋k 2)3＋4k 2＝76， 解得k 2＝34，所以k ＝±32
， 所以存在过椭圆C 外的一点T (0，m )的直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＝±32
x ＋m .。