高三数学理一轮复习专题突破训练2：立体几何

高三数学理一轮复习专题突破训练
立体几何
一、选择、填空题
1、（2016年浙江省高考）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则
A ．m ∥l
B ．m ∥n
C ．n ⊥l
D ．m ⊥n
2、（2016年浙江省高考）已某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.
3、（2016年浙江省高考）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .
4、（2015年浙江省高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）
A.38cm
B.312cm
C. 3323cm
D. 3403
cm 第4题 第5题
5、（2015年浙江省高考）如右上图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）
A.A DB α'∠≤
B.A DB α'∠≥
C.A CB α'∠≤
D.A CB α'∠≤
6、（2015年浙江省高考）如图，三棱锥A BCD -中，
3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．
7、（嘉兴市2016届高三下学期教学测试（二））设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若l m ⊥，//l m ，则m α⊥
C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
8、（嘉兴市2016届高三下学期教学测试（二））如图，小于090的二面角l αβ--中，O l ∈，
,A B α∈，且AOB ∠为钝角，''AOB
∠是AOB ∠在β内的射影，则下列结论错误的是（ ） A ．''AOB ∠为钝角 B ．''AOB ∠>AOB ∠
C ．'AOB AOA π∠+∠<
D ．''B OB BOA AOA π∠+∠+∠>
9、（嘉兴市2016届高三下学期教学测试（二））某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为________ 3cm ，表面积为_______ 2cm .
10、（金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考）已知某几何体的正（主）视图与侧
（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为
13
，则该几何体的俯视图可以是（ ）
11、（金华十校2016届高三上学期调研）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（ ）
A ．34
B ．2
C ．3
8 D ．4
12、（金华十校2016届高三上学期调研）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，动点M 在线段11D C 上，E 、F 分别为AD 、AB 的中点.设异面直线ME 与DF 所成的角为θ，则θsin 的最小值为_____.
13、（浙江省名校协作体2017届高三上学期9月联考）给出下列命题，其中正确的命题为
A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面
B.直线a 与平面α不垂直，则直线a 与平面α内的所有的直线都不垂直
C.直线a 与平面α不平行，则直线a 与平面α内的所有的直线都不平行
D.异面直线b a ,不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直
14、（浙江省名校协作体2017届高三上学期9月联考）如图，正方形1111D C B A ABCD -的棱
长为3，在面对角线D A 1上取点M ，在面对角线D C 1上取点N ，使得MN //平面
C
C
AA
1
1
，当线段MN长度取到最小值时，三棱锥1
1
MND
A-的体积为.
15、（宁波市2016届高三上学期期末考试）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表
面积是（▲）
2
4
2
4
4
侧视图
俯视图
正视图
A．84 B．7682
+C．7882
+D．802
+
16、（宁波市2016届高三上学期期末考试）已知平面α与平面β交于直
线l,且直线aα
⊂,直线bβ
⊂, 则下列命题错误
．．的是（▲）
A．若,a b
αβ
⊥⊥，且b与l不垂直，则a l
⊥
B．若αβ
⊥，b l
⊥，则a b
⊥
C．若a b
⊥，b l
⊥，且a与l不平行，则αβ
⊥
D．若a l
⊥，b l
⊥，则αβ
⊥
17、（绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模））其几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是（）
A ．34cm
B ．38cm
C ．3163cm
D ．3323
cm 18、（绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模））如图，四边形ABCD 是矩形， 沿直线BD 将ABD ∆翻折成'A BD ∆，异面直线CD 与 'A D 所成的角为α, 则 （ ）
A ．'A CA α<∠
B ．'A CA α>∠
C.'A CD α<∠ D ．'A CD α>∠
19、（温岭市2016届高三5月高考模拟） 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是
A ．()24+2πcm 3
B ．424+π3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
cm 3 C ．()8+6πcm 3
D ．()
163+2+2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭cm 3 20、（温岭市2016届高三5月高考模拟） 如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，1BC =，60BAD ∠=，E 为线段CD （端
点C 、D 除外）上一动点. 将ADE ∆沿直线AE 翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD 与BC 垂直，则a 的取值范围是
A ．(2)+∞，
B ．(3)+∞，
C ．(21)++∞，
D ．(31)++∞，
21、（温州市2016届高三第二次适应性考试）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）
A ．4
B ．163
C ．8
D ．323
22、（温州市2016届高三第二次适应性考试）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为（ ）
A ．22
B ．10
C ．11
D ．23
二、解答题
1、（2016年浙江省高考）如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面
ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.
(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；
(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.
2、（2015年浙江省高考）如图，在三棱柱C AB -111C A B 中，∠BAC =0
90，
AB =AC =2，1A A =4，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.
(I)证明：1A D ⊥平面1A B C ；
(II)求二面角1A -BD -1B 的平面角的余弦值.
C 1
B 1A 1D C
B
A （第17题图）
3、（嘉兴市2016届高三下学期教学测试（二））如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，
11BC CC ==，点P 是CD 上的一点，PC PD λ=.
（1）若1A C ⊥平面1PBC ，求λ的值；
（2）设11λ=，23λ=所对应的点P 为1P ，2P ，二面角112P BC P --的大小为θ，
求cos θ的值.
4、（金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且060,ABC E ∠=是DP 中点．
（1）证明：//PB 平面ACE ；
（2）若2,2AP PB AB PC ====，求二面角A PC D --的余弦值．
5、（金华十校2016届高三上学期调研）如图，在矩形ABCD 中，已知4,2==AD AB ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且1=AE ，3=BF ，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.
（1）求证：BE CD ⊥；
（2）求线段BH 的长度；
（3）求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.
6、（宁波市2016届高三上学期期末考试）如图，在多面体EF ABCD
-中，,
ABCD ABEF
均为直角梯形，
2
ABE ABC
π
∠=∠=,DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD.
（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若ABD
∆是等边三角形，且BF与
平面DCEF所成角的正切值为
2
2
,
求二面角A BF C
--的平面角的余弦值.
F
C
D
A
E
7、（绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模））如图,以BC为斜边的等腰直角三角形ABC与等边三角形ABD所在平面互相垂直,且点E满足
1
2
DE AC
=.
（1）求证：平面EBC⊥平面ABC；
（2）求平面EBC与平面ABD所成的角的正弦值.
8、（温岭市2016届高三5月高考模拟）如图，四棱锥P ABCD
-中，侧棱PD ABCD
⊥底面，
//AD BC ，AC DB ⊥，60CAD ∠=，=2AD ，1PD =.
（Ⅰ）证明：AC BP ⊥；
（Ⅱ）求二面角C AP D --的平面角的余弦值.
9、（温州市2016届高三第二次适应性考试）如图，矩形ABCD 中，AB AD
λ=（1λ>），将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --的直二面角.
（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；
（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[2,3]λ∈时，求cos θ的取值范围.
10、（浙江省五校2016届高三第二次联考）如图（1）,E F 分别是,AC AB 的中点，90,30ACB CAB ∠=∠=，沿着EF 将AEF ∆折起，记二面角A EF C --的度数为θ。

（Ⅰ）当90θ=时，即得到图（2）求二面角A BF C --的余弦值；
（Ⅱ）如图（3）中，若AB CF ⊥，求cos θ的值。

11、（慈溪中学2016届高三高考适应性考试）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，E 是
AD 中点，60DAB ∠=，PA PD AB ==，二面角P BC A --为60.
（1）求证：平面PBE ⊥平面PBC ； （2）求AB 与平面PBC 所成角的正弦值.
12、（杭州市学军中学2016届高三5月模拟考试）如图，在四棱锥P ABCD -中,,AB PA AB CD ⊥, 且6,222,120PB BC BD CD AB PAD =====∠=︒.
（1）求证：平面 PAD ⊥平面PCD ；
（2）求直线 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值．
参考答案
一、填空、选择题 1、C
2、【答案】72 32
【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 3、【答案】
1
2
【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=， 所以30BAD BCA ∠==.
由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅
2222222cos12012=+-⨯⨯=，
所以AC =设AD x =
，则0t <<
DC x =-.
在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅
22222cos30x x =+-
⋅24x =-+.
故BD =
.
在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.
由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===
⋅ 所以30BPD ∠=.
E
D
C
B
A
P
过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =
则11
sin 22
PBD S BD d PD PB BPD ∆=
⨯=⋅∠，
12sin 302
d x =⋅，
解得2
234
x d x x =
-+.
而BCD ∆的面积111
sin (23)2sin 30(23)222
S CD BC BCD x x =
⋅∠=-⋅=-. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积
211111sin (23)33332234BcD BcD BcD x
V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-⋅
-+ 21(23)
6234
x x x x -=
-+.
设22234(3)1t x x x =
-+=-+，因为023x ≤≤，所以12t ≤≤.
则2|3|1x t -=-.
（2323x <≤时，有2|331x x t =-=- 故231x t =-此时，221(31)[23(31)]
t t V +--+-=
21414
()66t t t t
-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141
()(1)(1)612
V t V <=
-=.
综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12
. 4. 答案： C
解析：由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合∴体积3322231223
=⨯⨯+=V .
5. 答案： B
解析：根据折叠过程可知'A CB ∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易 得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立. 6、答案：
8
7
解析：连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知PMC ∠即为异面直线AN ，CM 所成角，
易得22
1
==
AN PM ，322=+=CN PN PC ，2222=-=AM AC CM ， 8
7
cos =
∠PMC ，即异面直线所成角的余弦值为87.
7、B 8、D 9、
4
11,2π
π 10、B 11、A
12、
5
21
13、D 14、1 15、B 16、D 17、C 18、D 19、A 20、D 21、B 22、B
二、解答题 1、
（II ）方法一：
过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．
因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B -A -的平面角．
在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313
FQ =
． 在Rt QF ∆B 中，313FQ =
，F 3B =，得3
cos QF ∠B =． 所以，二面角D F B -A -3
2、（1）设E 为BC 的中点，由题意得1A E ⊥平面ABC ，∴1A E AE ⊥，∵AB AC =，∴
AE BC ⊥，
故AE ⊥平面1A BC ，由D ，E 分别11B C ，BC 的中点，得1//DE B B 且1DE B B =，从而1//DE A A
且DE=1A A ，∴四边形1A AED 为平行四边形，故1//A D AE ，又∵AE ⊥平面11A BC ，∴1A D ⊥平面11A BC ；
（2）作1A F BD ⊥，且1A F
BD F =，连结1B F ，由2AE EB ==，
1190A EA A EB ∠=∠=，得
114A B A A ==，由11A D B D =，11A B B B =，得11A DB B DB ∆≅∆，由1A F BD ⊥，得
1B F BD ⊥，
因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由12A D =，14A B =，190DA B ∠=，
得
32BD =，1143A F B F ==
，由余弦定理得，111
cos 8
A F
B ∠=-.
3、解：法一：（Ⅰ）∵⊥C A 11BC
若⊥C A 1PB ，则⊥C A 1平面1PBC ，只要⊥AC PB 即可 在矩形ABCD 中，
AB BC BC CP =
，解得21
=CP ，3
1=λ； （Ⅱ）过C 作1BC CH ⊥交1BC 于H ，连接H P 1，H P 2，则21HP P ∠就是所求二面角的一个平面角θ ∵11=C P ，2
3
2=C P ，22=CH
∴2
3tan 1=
∠HC P ，2tan 2=∠HC P
=
∠-∠=)tan(tan 12HC P HC P α82
，所求余弦值为33
24. 法二：（Ⅰ）建立如图空间直角坐标系xyz O -，
)0,2
,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(11C A C B
设)0,12
,
0(λ
+P ，若⊥C A 1平面1PBC ， )1,2,1(1--=→
C A ，)1,0,1(1-=→
BC ，
)0,122,1(λ+--=→
BP ，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅→→→
→0
11
1BC C A BP C A ，解得31=λ （Ⅱ）)0,2,0(1P ，)0,1,0(2P
设平面11P BC 与平面21P BC 的法向量分别是21,n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→
→→
→0
11
11BC n BP n ，解得)1,1,1(1-=→
n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→
→00
12
22BC n BP n ，解得)3,2,3(2-=→n ，3324||||cos 2121=⋅⋅=→
→→→n n n n θ
4、解：（1）证：连结,BD BD
AC F =，连接EF ，∵四棱锥的底面为菱形，∴F 为BD 中
点，又∵E 是DP 中点，∴在BDP 中，EF 是中位线，∴//EF PB ，又∵EF ⊆平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ，∴//PB 平面ACE ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）取AB 的中点Q ，连结PQ 、CQ ，∵菱形ABCD ，且060ABC ∠=，∴正ABC ∆，∴CQ AB ⊥， ∵2AP PB ==
2AB PC ==，∴3CQ =，且等腰直角PAB ∆，即
090,APB PQ AB ∠=⊥．
∴AB⊥平面PQC，且1
PQ=，∴222
PQ CQ CP
+=，∴PQ CQ
⊥．
如图，建立空间直角坐标系：以Q点为原点，BA所在的直线为x轴，QC所在的直线为y轴，QP所在的直线为z轴，则
()()()()()
0,0,0,1,0,0,3,0,0,0,1,2,0,0,
Q A C P D．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
平面APC上，()
1,0,1
AP=-，()
0,3,1
CP=；设平面APC的法向量为()
1111
,,
n x y z
=，则有
1
11
1
11
1
3
1
30
3
x
x z
y
z
z
⎧⎧=
-+=
⎪⎪
⇒=
⎨⎨
+=
⎪⎪
=
⎩
⎩
，即(13,1,3
n=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
设平面DPC的法向量为()
2222
,,
n x y z
=，因为()()
2,0,0,0,3,1
CD CP
==-，
则有2
22
20
30
x
z
=
⎧⎪
⎨
+=
⎪⎩
可取(23
n=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
∴12
12
12
27
cos,
n n
n n
n n
==
⨯
，∴二面角A PC D
--的余弦值为
27
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
17.5、解：（1）由于⊥
BH平面CDEF，∴CD
BH⊥，又由于DE
CD⊥，H
DE
BH=
，∴E
B
D
CD平面
⊥，∴BE
CD⊥.
法一：（2）设h
BH=，k
EH=，过F作FG垂直ED于点G，因为线段BE，BF在翻
折过程中长度不变，根据勾股定理：
⎩
⎨
⎧
-
+
+
=
+
=
⇒
⎩
⎨
⎧
+
+
=
+
=
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2(
2
9
5
k
h
k
h
GH
FG
BH
FH
BH
BF
EH
BH
BE
，可解得
⎩
⎨
⎧
=
=
1
2
k
h
，
∴线段BH的长度为2.
（2）延长BA交EF于点M，因为3:1
:
:=
=MB
MA
BF
AE，∴点A到平面EFCD的距
离为点B到平面EFCD距离的
3
1
，∴点A到平面EFCD的距离为
3
2
，而13
=
AF，直线AF
与平面EFCD所成角的正弦值为
39
13
2
.
法二：（2）如图，过点E作DC
ER∥，过点E作⊥
ES平面EFCD，分别以ER、ED、ES 为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点)0
,0
)(
,
,0(>
>z
y
z
y
B，
由于)0,2,2(F，5
=
BE，3
=
BF，
∴
⎩
⎨
⎧
=
+
-
+
=
+
9
)2
(
4
,5
2
2
2
2
z
y
z
y
解得
⎩
⎨
⎧
=
=
,2
,1
z
y
于是)2,1,0(B，所以线段BH的长度为2.
（3）从而)2,1
,2
(-
-
=，故)
3
2
,
3
1
,
3
2
(
1
-
-
=
=FB，)
3
2
,
3
7
,
3
8
(-
-
=
+
=，设平面EFCD的一个法向量为)1,0,0(
=，设直线AF与平面EFCD所成角的大小为θ，
则
39
13
2
sin=
⋅
⋅
=
n
FA
n
FA
θ.
6、（Ⅰ）证明：因为
2
ABE ABC
π
∠=∠=，所以AB⊥平面BCE
又//
EF CD ,所以//
EF ABCD
平面，从而有////
AB CD EF，………………3分
所以CD⊥平面BCE，从而CD CE
⊥，
又//
CE DF，所以CD DF
⊥，
又平面DCEF⊥平面ABCD，所以DF⊥平面ABCD.……………………7分（Ⅱ）过C作CH BE
⊥交BE于H，HK BF
⊥交BF于K ,
因为AB ⊥ 平面BCE ，所以 CH AB ⊥，从而F H BE C A ⊥平面， 所以CH BF ⊥，从而BF CHK ⊥平面 ，所以BF KH ⊥
即HKC ∠为C BF E -- 的平面角，与 A BF C --的平面角互补. ……………10分
因为BC DCEF ⊥ ，所以BF 与平面DCEF 所成角为BFC ∠.
由tan CB BFC CF ∠=
==
222
2CB CD CE =+ ，………12分 由ABD ∆是等边三角形，知30CBD ∠=︒
，所以CB = 令CD a =
，所以,,CB CE ===
,CH CK =
==.
所以sin CH CKH CK ∠=
=
，1
os 4
c CKH ∠=. 所以二面角A BF C --的平面角的余弦值为1
4
-
. ……………………15分
A
B
A
法二：因为,,CB CD CE 两两垂直，以C 为原点，,,CD CB CE 所在直线为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系. 不妨设1CD = .
因为BC DCEF ⊥
，所以BF 与平面DCEF 所成角为BFC ∠ . 由tan CB BFC CF ∠=
==
222
2CB CD
CE =+ ， (9)
分 由ABD
∆是等边三角形，知30CBD ∠=︒
，所以
CB CE =
==
(1,0,0),D B E F ………………11分
(1,0,5),(0,3,0)CF
CB == ，(2,0,0),(1,3,5)BA BF ==-
平面ABF 的一个法向量1111(,,)n x y z =，平面CBF 的一个法向量2222(,,)n x y z =
则 111120
350x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 且222230350
y x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩
取12(0,5,3),(5,0,5)n n ==- ……………………13分 则1212121
cos ,4
||||n n n n n n ⋅<>=
=⋅.
二面角A BF C --的平面角与12,n n 的夹角互补. 所以二面角A BF C --的平面角的余弦值为1
4
-
. ……………………15分 7、解：（1）解：如图，取线段AB 、BC 的中点G 、H ，连接,,DG GH EH .
ABD ∆为
正三角形,G 为AB 的中点,,DG AB ∴⊥ 平面ABD ⊥平面ABC ,且平面ABD
平面
,ABC AB DG =⊂平面,ABD DG ∴⊥平面ABC .G 、H 分别为AB 、BC 的中
点,1//
2GH AC ∴. 又由已知有1
//2
DE AC , 故//DE GH ,从而四边形DEHG 为平行四边形, 进而有,EH
DG EH ⊥平面
ABC EH ⊂ 平面,EBC ∴平面EBC ⊥平面ABC .
（2）由（1）可知四边形ADEC 为直角梯形, 延长AD 、CE 交于点M ,连接BM ,则平面
EBC 平面ABD BM =.平面ADB ⊥平面ABC ,且平面ABD 平面
,,ABC AB AC AB AC BM =⊥∴⊥.
易知D 是线段AM 的中点, 故DA DM DB ==,从而AB BM ⊥,BM ∴⊥平面
ABC ,,CB BM ABC ∴⊥∴∠就是平面EBC 与平面ABD 所成的锐二面角的平面
角,45,ABC ∠=︒∴
. 8、法一：（Ⅰ）因为PD ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，
所以PD AC ⊥ ………………………2分 因为BD AC ⊥，所以AC ⊥面BDP . ………………………4分 因为BP ⊂面BDP ，所以BP AC ⊥. ………………………6分
（Ⅱ）设BD AC O ⋂=，连接OP ，过D 作DH OP ⊥于H ，过D 作DE AP ⊥于E ，连接EH .
由（Ⅰ）可知AC DH ⊥，所以DH ACP ⊥面，所以DH AP ⊥. 所以AP DEH ⊥面，所以EH AP ⊥，
所以DEH ∠是二面角C AP D ——的平面角. ………………………10分
因为OD =
，1DP =
可知DH =
………………………12分 由2AD =
，可知DE =
，所以EH = ………………………14分
所以1cos 4DEH ∠=
=. ………………………15分 法二：以O 为坐标原点，OD ，OA 为,x y 轴建立如图空间直角坐标系O xyz —, 则(0,0,0)O
，D ，
(0,1,0)A
，P . ……8分
所以(0,1,0)OA =，(3,0,1)OP =，
(3,1,0)AD =-，(0,0,1)DP = ……10分
设平面ACP 的法向量111(,,)m x y z =，平面ADP 的法向量222(,,)n x y z =，
由00m OA m OP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可知1110
30y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取(1,0,3)m =-. ………………………12分
由00
n AD n OP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可知22230
0x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，取).0,3,1(= ………………………14分
所以1
cos ,4
m n m n m n
⋅=
=
⋅. 所以二面角C AP D ——的平面角的余弦值为1
4
………………………15分
9、 二面角E AB C --为直二面角，BC AB ⊥
⊥∴BC 平面ABE ……………2分 AE BC ⊥∴
C CE BC CE AE =⋂⊥,
⊥∴AE 平面BCE …………4分 ∴平面⊥ACE 平面BCE …………6分
（Ⅱ）解法1：如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度， 建立如图空间直角坐标系，
x z
F
C
A
B
D
则λ=AB )0,0,2
1
(
),0,0,0(),1,0,1(),0,0,1(),0,1,0(22
2---λλλF E C B A ……………
8分
则)1,0,1(),0,1,0(2
-==λEC EA 设平面EAC 的法向量为),,(z y x m =
则⎪⎩
⎪⎨⎧=+⋅-=0102z x y λ，取1=x ，则)1,0,1(2
--=λ (10)
分
同理设平面FAC 的法向量为)1,1,2(2
2
---=λλn ………………………………12分
2221cos 1||||2(1)
m n m n θλλλ⋅∴===+⋅⋅+ (14)
分
]4
10
,35[
cos ]3,2[∈∴∈θλ …………………………………15分
解法2：过F 作CE FG ⊥于G ，过G 作AC GH ⊥于H ，连FH ，则AC FG ⊥ 则二面角F AC E --的平面角为FHG ∠ …………………………………9分
23)2
1(
122
2+=
-+==λλCF AF H ∴为AC 的中点
2
2
)2
1(
)2
3(
222
2=
+-+=∴λλFH 由BCE CEF
S S ∆∆=2
1
，
得λ
λλλ21
2122+=
∴-=GH FG …………………………………11分 21
122cos λ
θ+⋅=
∴ …………………………………14分
]4
10
,35[
cos ]3,2[∈∴∈θλ …………………………………15分
10、（Ⅰ）∵平面AEF ⊥平面CEFB ，且EF EC ⊥，∴AE ⊥平面CEFB
过点E 向BF 作垂线交BF 延长线于H ，连接AH ，则AHE ∠为二面角A BF C --的平面角 设2,4,23BC a EF a AB a AC a =⇒===，
3AE a =，3
2
EH a =
22
352cos 53
34
a
EH AHE AH a a ∠===+ 7分 （Ⅱ）过点A 向CE 作垂线，垂足为G ，如果AB CF ⊥，则根据三垂线定理有GB CF ⊥，因BCF ∆为正三角形，故023
tan 303
CG BC a ==
，则3
3
GE a =
，而3AE a = 故1
cos 3
GE AE θ=
= 15分
11、（1）证明：∵PA PD =，E 是AD 中点，∴PE AD ⊥，而//AD BC ，∴PE BC ⊥， ∵底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，∴BE AD ⊥，∴BE BC ⊥ 而PE
BE E =，,PE BE ⊂平面PBE ，∴BC ⊥平面PBE ，而BC ⊂平面PBC
∴平面PBE ⊥平面PBC .
（2）：由BC ⊥平面PBE ，而,PB PE ⊂平面PBE ，∴BP BC ⊥，EB BC ⊥，∴PBE ∠是二面角P BC A --的一个平面角，∴60PBE ∠=，∴PBE ∆是正三角形， 取BC 中点F ，连接,//EF EF AB
取PB 中点H ，连接,EH HF ，∴EH PB ⊥，∵平面PBE ⊥平面PBC ∴EH ⊥平面PBC ，∴EFH ∠就是EF 与平面PBC 所成的角
Rt EFH ∆，3sin 4EFH ∠=，∴EF 与平面PBC 所成的角的正弦值为3
4
即AB 与平面PBC 所成角的正弦值为3
4
.
12、解：证明：（1）,BC BD E =为CD 中
点,,
,2BE CD AB CD CD AB ∴⊥∴=,AB DE ∴, 且
,AB DE =∴四边形 ABED 是矩形, ,,,BE AD BE AD AB AD AB PA ∴=⊥⊥,又
,PA
AD A AB =∴⊥平面,PAD CD PD ∴⊥,且CD AD ⊥,在平面PCD 中,,,,EF
PD CD EF EF
BE E EF ∴⊥=∴⊂ 平面,BEF BE ⊂平面BEF ,又
,CD BE CD ⊥∴⊥平面,BEF CD ⊂平面PCD ,∴平面BEF ⊥平面PCD .
（2）以A 为原点，AB 为x 轴,AD 为y 轴,建立空间直角坐标角系，
6,222,120PB BC BD CD AB PAD
=====∠=︒,
222222622,622,222
PA PB AB AD BE BD AB BC BE CE ∴=-=-===-=-==+=+=则
()()(
)()()()(
)
0,1,3,0,2,0,2,0,0,22,2,0,0,3,3,2,1,3,2,2,0
P D B
C P
D BP BC -=-=--=
设平面 PBC 的法向量(),,n x y z =,则220
230
n BC x y n BP x y z ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩,取2x =,得
32,1,3n ⎛⎫
=- ⎪ ⎪
⎝, 设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为
θ,3110sin cos ,5
10
12
3
PD n PD n PD n
θ--=<>=
=
=
, ∴直线 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值为
105
.。