2109二重积分的极坐标变换

积的 8 倍, 而这部分是以z =
c
1−
x2 a2
−
y2 b2
为曲顶,
=D
( x , y)
0≤ y≤ b a
a2
−
x2
,
0
≤
x
≤
a


为底的曲顶柱体,
所以
∫∫ = V 8 c 1 − x2 − y2 dxdy .
D
a2 b2
数学分析 第二十一章 重积分
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§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”dxdy 换
成 r drdθ .
下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分 来计算.
数学分析 第二十一章 重积分
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§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
1. 常用的是将 ∆ 分解为 rθ 平面中的θ 型区域. (i) 若原点 O ∉ D , 则 θ 型区域必可表示成(图21-27)
广义极坐标变换
二重积分的广义极坐标变换
当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时, 可考虑用如
下的广义极坐标变换:
x = ar cosθ ,
T
:

y
=
br
sinθ
,
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ 2π ,
并计算得
a cosθ −ar sinθ = J (r , θ ) = abr .
bsinθ br cosθ
第九讲 二重积分的极坐标变换
数学分析 第二十一章 重积分
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§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x2 + y2 ) 时, 采用极坐标变换
x = r cosθ ,
T
:

y
广义极坐标变换
而曲顶的方程为
z= R2 − x2 − y2 .
所以
y
O
r = R cosθ
D
x
∫∫ = V 4 R2 − x2 − y2 dσ ,
图 21 − 32
D
{ } 其= 中 D ( x , y) y ≥ 0, x2 + y2 ≤ Rx . 用极坐标变换
后, 由 (13) 式便可求得
∫ ∫ V
0
∫ = = 2πdθ 2π. 0
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§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
例4 求球体 x2 + y2 + z2 ≤ R2 被圆柱面 x2 + y2 = Rx
所割下部分的体积 ( 称为维维安尼 (Viviani) 体 ).
解 由所求立体的对称性(图21-31), 只要求出在第一
于是有
β
r (θ )
∫∫ f ( x , y)dxdy = ∫α dθ ∫0 f (r cosθ , r sinθ )r dr . (13)
D
2. 也可将 ∆ 分解为 rθ
θ = θ1(r) D
θ = θ2(r)
平面中的 r 型区域(图21-29).

(1) 令
O r1 r
r2 x
{ } r1 min r (r cosθ ,r sinθ ) ∈ D , 图 21 − 29
∫∫ f ( x , y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ ) r drdθ .
D
∆
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广义极坐标变换
若 D 是一般的有界闭域, 则取足够大的R > 0 , 使
{ } D= ⊂ DR ( x , y) x2 + y2 ≤ R2 ,
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广义极坐标变换
(ii) 若原点为 D 的内点(图21-28(a)), D 的边界的极坐
标方程为 r = r(θ ), 则 ∆ 一般可表示成
0 ≤ r ≤ r(θ ), 0 ≤ θ ≤ 2π .
于是有
2π
r (θ )
∫∫ f ( x , y)dxdy = ∫0 dθ ∫0 f (r cosθ , r sinθ )r dr .
r1(θ ) ≤ r ≤ r2 (θ ), α ≤ θ ≤ β ,
于是有
r = r1(θ )
r = r2 (θ )
D
βα
O
x
图 21 − 27
∫∫ ∫ ∫ f ( x , y)dxdy =
β
dθ
r2(θ ) f (r cosθ , r sinθ )r dr . (11)
α
r1 (θ )
D
数学分析 第二十一章 重积分
Dε
∆ε
因 f 在 D 上有界, 故可设 | f ( x, y) | ≤ M , ( x, y) ∈ D.
于是由
lim µ(D
ε →0
\
Dε
)
=
0,
可知
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广义极坐标变换
∫∫ f ( x , y)dxdy − ∫∫ f ( x , y)dxdy
对广义极坐标变换也有与定理21.14 相应的定理,
这里就不再赘述了.
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广义极坐标变换
x2 y2 z2 例6 求椭球体 a2 + b2 + c2 ≤ 1 的体积.
解 由对称性, 椭球体的体积 V 是第一卦限部分体
D
Dε
≤ ∫∫ f ( x , y) dxdy ≤ M ⋅ µ(D \ Dε ) → 0 (ε → 0). D\ Dε
同理又有 ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )r drdθ ∆ε → ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )r drdθ (ε → 0). ∆
所以,对 (10) 式取极限 (ε → 0), 即得(9)式:
则在变换 (8) 下, Dε 对应于= ∆ε [ε , R]×[0, 2π − ε ],
且 Dε 与 ∆ε 之间是一一对应的 ( 图 21-26 (b) ).
又因在∆ε 上J (r , θ ) > 0, 于是由定理 21.13, 有
∫∫ f ( x , y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )r drdθ . (10)
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§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
证 若 D 为一圆: x2 + y2 ≤ R2 , 则=∆ [0, R]× [0, 2π ].
{ } 设 Dε 为圆环 ( x , y) | ε 2 ≤ x2 + y2 ≤ R2 除去中心角
为 ε 的扇形 BB′A′A 后所得的区域 (图21-26(a)),
图 21 − 26
y
θ 2π
E
F
2π − ε
ε
O
A
Dε B
A′
x
B′
(a)
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∆ε
图 21-26
C
D
Oε
Rr
(b)
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又当r = 0 时, J (r , θ ) = 0, 因此不满足定理21.13 的条件.
但是仍然有下面的结论.
定理21.14
设 f ( x , y) 满足定理21.13 的条件, 且在极坐标变换
(8)下, xy 平面上的有界闭域 D 与rθ 平面上区域
∆ 对应, 则成立
∫∫ f ( x , y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ ) r drdθ . (9)
D
∆
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广义极坐标变换
应用广义极坐标变换, 由于=z c 1 − r 2 , 因此
∫ ∫ = V
π
8 2 dθ
1
c
1 − r 2 abr dr
0
0
∫ ∫ 8abc
π
2 dθ
1
r
1 − r 2dr
0
0
= 4π abc .
3
特别当 a= b= c= R 时, 得到球的体积为 4π R3 .
3
数学分析 第二十一章 重积分
向首先由边界曲线 θ = θ1(r) 穿入 , 而后由边界曲线
θ = θ2(r) 穿出. 则有
∫∫ ∫ ∫ f ( x , y)dxdy = r2 r dr θ 2(r) f (r cosθ , r sinθ )dθ .
D
r1
θ1(r)
(14)

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D
解 利用极坐标变换, 由公式 (12), 容易求得
∫ ∫ I =
2π
dθ
R re−r2d= r
π (1 − e−R2 ).
0
0
若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累
∫ 次积分计算, 则会遇到无法算出 e− y2 dy 的难题.
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并且在 DR 上定义函数
f (x, y), (x, y)∈ D,
F(x, y) =
0,
( x , y) ∈ DR \ D .
在 DR 中函数 F 至多在有限条按段光滑曲线上间断,
因此由前述得到
∫∫ F ( x , y)dxdy = ∫∫ F (r cosθ , r sinθ ) r drdθ ,
=
r
sinθ
,
0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤ 2π ,
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.
此时, 变换 T 的函数行列式为
= J (r , θ )
cosθ −r sinθ
= r.
sinθ r cosθ
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广义极坐标变换
容易知道, 极坐标变换 T 把 rθ 平面上的矩形 [0, R]× [0, 2π ] 变换成 xy 平面上的圆域 D : x2 + y2 ≤ R2 .
但此对应不是一对一的, 例如 x y 平面上原点 O(0, 0)
与 rθ 平面上直线 r = 0 相对应, x 轴上线段 AA′ 对应
于 rθ 平面上两条直线段 CD 和EF (下图).
广义极坐标变换
例3 计算
∫∫ I =
dσ ,
D 1 − x2 − y2
其中 D 为圆域: x2 + y2 ≤ 1.
解 由于原点为 D 的内点, 故由 (12) 式, 有
∫∫ ∫ ∫ dσ
= 2π dθ 1 r dr
D 1 − x2 − y2 0
0 1− r2
∫=
2π 0
−
1
−
r
2

1
dθ
D
y
(12)
y

r = r (θ )
r = r(θ )
D
θ
O
x
D
β
α
O
x
(a)
(b)
图 21 − 28
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(iii) 若原点在 D 的边界上 (图21-28(b)), ∆ 则为:
0 ≤ r ≤ r(θ ), α ≤ θ ≤ β ,
DR
∆R
其中 ∆ R为 rθ 平面上矩形区域 [0 , R]× [0 , 2π ]. 由函数
F ( x , y) 的定义, (9) 式对一般的 D 也成立.
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由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时,
r2 max{ r (r cosθ ,sinθ ) ∈ D }.
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θ = θ1(r) D
θ = θ2(r)
O r1 r
r2 x
图 21 − 29
(2) ∀r ∈[r1, r2 ], 作半径为 r 的圆穿过 D, 按逆时针方
π
R cosθ
4 2 dθ
0
0
R2 − r= 2 r dr
4 3
R3

π
2
−
2 3

.
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广义极坐标变换
∫∫ 例5 计算 I = e−( x2+ y2 )dσ , 其中 D 为: x2 + y2 ≤ R2 .
卦限内的部分体积, 再乘以4,即得所求立体的体积.
在第一卦限内的立体是一
z
y
个曲顶柱体, 其底为 xy平面
内由 y ≥ 0 和 x2 + y2 ≤ Rx 所确定的区域 D (图21-32) .
Rx
图 21 − 31
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