2017-2018学年浙江省杭州市临安市八年级(上)期末数学试卷

2017-2018 学年浙江省杭州市临安市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题有10 个小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项最符合题目要求．
1．（3 分）已知a＝3cm，b＝6cm，则下列长度的线段中，能与a，b 组成三角形的是（）
A ．2cm
B ．6cm C．9cm D．11cm
2
2．（3 分）在平面直角坐标系中，点P（a +1，﹣3）所在的象限是（）
A ．第一象限
B ．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3 分）正比例函数y＝（k﹣2）x 中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（）
A ．k≥2
B ．k≤2 C．k＞2 D．k＜2
4．（3 分）不等式1﹣x＞0 的解集在数轴上表示正确的是（）
A ．B．
C．D．
5．（3 分）下列判断正确的是（）
A ．两边和一角对应相等的两个三角形全等
B．一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D．三个内角对应相等的两个三角形全等
6．（3 分）已知a＞b，则下列四个不等式中，不正确的是（）
A ．a﹣3＞b﹣3
B ．﹣a+2 ＞﹣b+2 C．a＞ b D．1+4a＞1+4b
7．（3 分）已知（﹣1，y1），（1.8，y2），（﹣，y3 ）是直线y＝﹣3x+m （m 为常数）上
的三个点，则y1，y2，y3 的大小关系是（）
A ．y3＞y1＞y2
B ．y1＞y3＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1
8．（3 分）如图，给出下列四个条件，AB＝DE ，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F ，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF 的共有（）
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A ．4 组
B ．3 组C．2 组D．1 组
9．（3 分）如图，直线y＝3x+6 与x，y 轴分别交于点A，B，以OB 为底边在y 轴右侧作等腰△OBC，将点 C 向左平移 5 个单位，使其对应点C′恰好落在直线AB 上，则点 C 的坐标为（）
A ．（3，3）
B ．（4，3）C．（﹣1，3）D．（3，4）
10．（3 分）如图，∠AOB ＝30°，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是（）
A ．6
B ．12 C．16 D．20
二、填空题：本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分．
2 2
11．（4 分）命题“如果a＝b ，那么a＝b”的逆命题是命题．（填写“真”或“假”）
12（．4 分）如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x＝1 的对称点的坐标为．
13．（4 分）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
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14．（4 分）已知点M（4﹣2t ，t﹣5），若点M 在x 轴的下方、y 轴的右侧，则t 的取值范围是．
15．（4 分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离为1cm，若等腰直角三角形ABC 的直角顶点 C 在l1 上，另两个顶点A、B 分别在l 3、l2 上，则AB 的长是．
16．（4 分）如图，已知直线y＝﹣x+3 与x 轴、y 轴分别交于点A、B，线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC，∠BAC＝90°．点P 是x 轴上的一个动点，设P（x，0）．（1）当x＝时，PB+PC 的值最小；
（2）当x＝时，|PB﹣PC|的值最大．
三、解答题：本题有7 小题，共66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8 分）已知：如图，点E，F 在BC 上，BE＝CF ，∠A＝∠D ，∠BED＝∠AFC，AF 与DE
交于点O．求证：OA＝OD．
18．（8 分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B 两种型号家用净水器160 台，A 型号家用净水器进价是1500 元/台，售价是2100 元/ 台，B 型号家用净水器进价是3500 元/ 台，售价是4300 元/ 台．为保证售完这160 台家用净水器的毛利润不低于116000 元，求A 型号家用净水器最多能购进多少台？（注：
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毛利润＝售价﹣进价）
19．（10 分）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）．
（1）当x＝﹣1 时，y＝2，求此函数的表达式；
（2）函数图象与x 轴、y 轴的交点分别为A、B，求出△AOB 的面积；
（3）利用图象求出当y≤3 时，x 的取值范围．
20．（10 分）如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A（0，3），点B（，0），连接AB．若对于平面内一点C，当△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形时，称点C 是线段AB 的“等长
点”
（1）在点C1（﹣2，3+2 ），点C2（0，﹣2），点C3（3+ ，﹣）中，线段
AB 的
“等长点”是点；
（2）若点D（m，n）是线段AB 的“等长点”，且∠DAB ＝60°，求m 和n 的值．
21．（12 分）在直线上顺次取A，B，C 三点，分别以AB ，BC 为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为 D ，E．
（1）如图①，连结CD ，AE，求证：CD＝AE；
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（2）如图②，若AB＝1，BC＝2，求DE 的长；
2 2
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC 绕B 点作适当的旋转，连结AE，若有DE +BE ＝AE2，试求∠DEB 的度数．
22．（12 分）如图①，已知直线y＝﹣2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A、C，以OA、OC 为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C 的坐标；
（2）将△ABC 对折，使得点A 的与点C 重合，折痕交AB 于点D，求直线CD 的解析式（图
②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B 外），使得△APC 与△ABC 全等？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2017-2018 学年浙江省杭州市临安市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10 个小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项最符合题目要求．
1．（3 分）已知a＝3cm，b＝6cm，则下列长度的线段中，能与a，b 组成三角形的是（）
A ．2cm
B ．6cm C．9cm D．11cm
【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
【解答】解：∵a＝3cm，b＝6cm，
∴3cm＜第三边＜9cm，
∴能与a，b 组成三角形的是6cm，
故选：B．
【点评】考查了三角形三边关系，利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的
边比较大小．两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．
2．（3 分）在平面直角坐标系中，点P（a2+1，﹣3）所在的象限是（）
A ．第一象限
B ．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先判断出点P 的纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P 所在象限即可．
【解答】解：∵a2 为非负数，
2
∴a +1 为正数，
∴点P 的符号为（+，﹣）
∴点P 在第四象限．
故选：D ．
【点评】本题考查了象限内的点的符号特点，注意a2 加任意一个正数，结果恒为正数．牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．
3．（3 分）正比例函数y＝（k﹣2）x 中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（）
A ．k≥2
B ．k≤2 C．k＞2 D．k＜2
【分析】在正比例函数y＝ax 中，当a＜0 时，y 随x 的增大而减小，据此判断即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x 中，y 随x 的增大而减小
∴k﹣2＜0
第6 页（共25 页）
∴k＜2
故选：D ．
【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，在正比例函数y＝kx（k≠0）中，k＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．4．（3 分）不等式1﹣x＞0 的解集在数轴上表示正确的是（）
A ．B．
C．D．
【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示
方法，可得答案．
【解答】解；1﹣x＞0，
解得x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心
圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3 分）下列判断正确的是（）
A ．两边和一角对应相等的两个三角形全等
B．一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D．三个内角对应相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，
∴选项A 不符合题意；
∵斜边与一锐角相等的两个直角三角形全等或一直角边与一锐角相等的两个直角三角形
全等，
∴选项B 不符合题意；
∵顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等，利用ASA 证两个等腰三角形全等，
∴选项C 符合题意；
∵三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，
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∴选项D 不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是熟记判定三角形全等的方法．6．（3 分）已知a＞b，则下列四个不等式中，不正确的是（）
A ．a﹣3＞b﹣3
B ．﹣a+2 ＞﹣b+2 C．a＞ b D．1+4a＞1+4b
【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断后求解．
【解答】解：A、不等式两边都﹣ 3 可得a﹣3＞b﹣3，此选项正确；
B、不等式两边都乘﹣ 1 可得﹣a＜﹣b，再两边都加 2 可得﹣a+2＜﹣b+2，此选项错误；
C、不等式两边都乘以，可得a＞b，此选项正确；
D 、不等式两边都乘 4 可得4a＞4b，再两边都加 1 可得1+4a＞1+4b，此选项正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（?或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!?这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．
7．（3 分）已知（﹣1，y1），（1.8，y2），（﹣，y3 ）是直线y＝﹣3x+m （m 为常数）上的三个点，则y1，y2，y3 的大小关系是（）
A ．y3＞y1＞y2
B ．y1＞y3＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1
【分析】由y＝﹣3x+m （m 为常数）可知k＝﹣3＜0，故y 随x 的增大而减小，由﹣ 1 ＜﹣＜1.8，可得y1，y2，y3 的大小关系．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵﹣1＜﹣＜1.8，
∵y1＞y3＞y2，
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
8．（3 分）如图，给出下列四个条件，AB＝DE ，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F ，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF 的共有（）
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A ．4 组
B ．3 组C．2 组D．1 组
【分析】要使△ABC≌△DEF 的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【解答】解：第①组AB＝DE ，∠B＝∠E，∠C＝∠F ，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF ．
第②组AB＝DE ，∠B＝∠E，BC＝EF 满足SAS，能证明△ABC ≌△DEF ．
第③组∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F 满足ASA，能证明△ABC≌△DEF ．
所以有3 组能证明△ABC≌△DEF ．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL ．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参
与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（3 分）如图，直线y＝3x+6 与x，y 轴分别交于点A，B，以OB 为底边在y 轴右侧作等腰△OBC，将点 C 向左平移 5 个单位，使其对应点C′恰好落在直线AB 上，则点 C 的坐标为（）
A ．（3，3）
B ．（4，3）C．（﹣1，3）D．（3，4）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点 C 的纵坐标，代入y＝3 可求出点C′的坐标，进而可求出点 C 的坐标．
【解答】解：当x＝0 时，y＝3x+6＝6，
∴点B 的坐标为（0，6）．
∵△OBC 为等腰三角形，
∴OC＝BC，
∴点C 的纵坐标为3．
当y＝3 时，有3x+6＝3，
解得：x＝﹣1，
∴点C′的坐标为（﹣1，3），
∴点C 的坐标为（4，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及平移，利用
等腰三角形的性质结合一次函数图象上点的坐标特征求出点C′的坐标是解题的关键．10．（3 分）如图，∠AOB ＝30°，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是（）
A ．6
B ．12 C．16 D．20
【分析】先画出图形，作PM⊥OA 与OA 相交于M，并将PM 延长一倍到E，即ME ＝PM．作PN⊥OB 与OB 相交于N，并将PN 延长一倍到F，即NF ＝PN．连接EF 与OA 相交于Q，与OB 相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR 即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR＝EF ，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF 的形状即可求解．
【解答】解：设∠POA＝θ，则∠POB＝30°﹣θ，作PM ⊥OA 与OA 相交于M，并将
PM 延长一倍到E，即ME ＝PM ，
作PN⊥OB 与OB 相交于N，并将PN 延长一倍到 F ，即NF ＝PN，
连接EF 与OA 相交于Q，与OB 相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR 即为周长最短的三角形，
∵OA 是PE 的垂直平分线，
∴EQ＝QP；
同理，OB 是PF 的垂直平分线，
∴FR＝RP，
∴△PQR 的周长＝EF ，
∵OE＝OF＝OP＝12，且∠EOF ＝∠EOP+∠POF ＝2θ+2（30°﹣θ）＝
60°，∴△EOF 是正三角形，
∴EF＝12，即在保持OP＝12 的条件下△PQR 的最小周长为12．故
选：B．
【点评】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点
的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
二、填空题：本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分．
11．（4 分）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题．（填写“真”或“假”）【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．
【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”
“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错
误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于直线x＝1 的对称点的坐标为（3，2）．
【分析】先求出点P 到直线x＝1 的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x＝1 的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．
【解答】解：∵点P（﹣1，2），
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∴点P 到直线x＝1 的距离为1﹣（﹣1）＝2，
∴点P 关于直线x＝1 的对称点P′到直线x＝1 的距离为2，
∴点P′的横坐标为2+1＝3，
∴对称点P′的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线x＝1 的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．
13．（4 分）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：AC＝AD （写出一个条件即可），可使Rt△ABC 与Rt△ABD 全等．
【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL 证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC＝BD 或AC＝AD．
【解答】解：条件是AC＝AD ，
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC 和Rt△ABD 中
，
∴Rt△ABC≌Rt △ABD
（HL ），故答案为：AC＝
AD ．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角
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14．（4 分）已知点M（4﹣2t ，t﹣5），若点M 在x 轴的下方、y 轴的右侧，则t 的取值范围是t＜2 ．
【分析】直接利用点的位置得出关于t 的不等式组进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
∵点M（4﹣2t，t﹣5），点M 在x 轴的下方、y 轴的右侧，
∴，
解得：t＜2．
故答案为：t＜2．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键．
15．（4 分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离为1cm，若等腰直角三角形ABC 的直角顶点 C 在l1 上，另两个顶点A、B 分别在l 3、l2 上，则AB 的长是．
【分析】过点A 作AD ⊥l1 于D，过点B 作BE⊥l1 于E，根据同角的余角相等求出∠CAD ＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD 和△CBE 全等，根据全等三角形对应边相等可
得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，然后利用锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点 A 作AD ⊥l1 于D ，过点 B 作BE⊥l1 于E，设l1，l 2，l 3 间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD ＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC 中，AC＝BC，
在△ACD 和△CBE 中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD ＝BE＝1，CE＝AD＝2，
∴BC＝AC＝＝
∴AB＝BC＝，
故答案为．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数
的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
16．（4 分）如图，已知直线y＝﹣x+3 与x 轴、y 轴分别交于点A、B，线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC，∠BAC＝90°．点P 是x 轴上的一个动点，设P（x，0）．（1）当x＝ 3 时，PB+PC 的值最小；
（2）当x＝﹣21 时，|PB﹣PC|的值最大．
【分析】（1）过C 点作CE⊥x 轴，垂足为D，且CD＝ED ，由直线y＝﹣x+3 得出OA、OB，根据△ABC 为等腰直角三角形证明△OAB≌△DCA，得出CD＝OA，AD ＝OB，确定C 点坐标；连接BE，交x 轴于P1，则此时P1B+P1C 最小，根据 C 的坐标求得对称点
E 的坐标，然后根据待定系数法求得直线BE 的解析式，令y＝0，求得x＝3，即可得出
结论；
（2）在Rt△OPB ，Rt△PCD 中，利用勾股定理求PB2、PC2，当PB 与PA 成一直线时，|PC﹣PB|的值最大，然后根据待定系数法求得直线BC 的解析式，令y＝0，求得x＝﹣21 即可得出结论．
【解答】解：（1）过C 点作CE⊥x 轴，垂足为 D ，且CD＝ED，
由直线y＝﹣x+3，令y＝0，得OA＝x＝4，令x＝0，得OB＝y＝3，
∵∠BAO+∠CAD＝90°，∠ACD +∠CAD ＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
又∵AB＝AC，∠AOB ＝∠CDA ＝90°，
∴△OAB≌△DCA，
∴CD ＝OA＝4，AD ＝OB＝3，则OD＝4+3 ＝7，
∴C（7，4）；
连接BE，交x 轴于P1，则此时P1B+P1C 最小，
设直线BE 的解析式为y＝kx+3，
∵C（7，4），
∴E（7，﹣4），
代入y＝kx+3 得，﹣4＝7k+3，
解得k＝﹣1，
∴直线BE 的解析式为y＝﹣x+3，令
y＝0，则x＝3，
∴P1（3，0）；
故当x＝3 时，PB+PC 的值最小；
（2）延长BC 交x 轴于P2，此时|P2B﹣P2C|的值最大，
∵C（7，4），
∴P2D ＝|7﹣x|，
2 2 2 2
在Rt△OP 2B 中，P2B ＝OP 2 +OB ＝x +9，
2 2 2 2 2
Rt△PCD 中，P2C ＝P2 D +CD ＝（7﹣x）+16＝x ﹣14x+65，
设直线BC 解析式为y＝kx+b，将B、C 两点坐标代入，得，解得，
所以，直线BC 解析式为y＝x+3，
令y＝0，得P2（﹣21，0），此时|PC﹣PB|的值最
大，故当x＝﹣21 时，|PB ﹣PC|的值最大．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形求C 点坐标．
三、解答题：本题有7 小题，共66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8 分）已知：如图，点E，F 在BC 上，BE＝CF ，∠A＝∠D ，∠BED＝∠AFC，AF 与DE
交于点O．求证：OA＝OD．
【分析】根据BE＝CF 推出BF＝CE，然后利用“角角边”证明△ABF 和△DCE 全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【解答】证明：∵BE＝CF，∠BED＝∠AFC
∴BE+EF＝CF+EF，∠AFB ＝∠CED
即BF ＝CE，
在△ABF 和△DCE 中，
∵，
∴△ABF ≌△DCE （AAS），
∴AF＝DE （全等三角形对应边相
等）．∵∠AFB ＝∠CED ，
∴OE＝OF，
∴AF﹣OF ＝DE ﹣OE，即OA＝OD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据BE＝CF 推出BF＝CE，从而得到三角形全等的条件是解题的关键．
18．（8 分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B 两种型号家用净水器160 台，A 型号家用净水器进价是1500 元/台，售价是2100 元/ 台，B 型号家用净水器进价是3500 元/ 台，售价是4300 元/ 台．为保证售完这160 台家用净水器的毛利润不低于116000 元，求A 型号家用净水器最多能购进多少台？（注：毛利润＝售价﹣进价）
【分析】设能购进 A 型号净水器x 台，根据“A 型号净水器的毛利润+B 型号净水器的毛利润≥116000”列不等式求解可得．
【解答】解：设能购进 A 型号净水器x 台，
根据题意知，600x+800（160﹣x）≥116000，
解得：x≤60，
答：A 型号家用净水器最多能购进60 台．
【点评】此题考查一元一次不等式的实际运用，找出题目蕴含的不等关系是解决问题的
关键．
19．（10 分）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）．
（1）当x＝﹣1 时，y＝2，求此函数的表达式；
（2）函数图象与x 轴、y 轴的交点分别为A、B，求出△AOB 的面积；
（3）利用图象求出当y≤3 时，x 的取值范围．
【分析】（1）根据当x＝﹣1 时，y＝2，可以求得k 的值，从而可以解答本题；
（2）根据函数解析式可以求得点A 和点B 的坐标，从而可以解答本题；
（3）根据题意，画出函数图象，利用函数图象即可解答本题．
【解答】解：（1）∵当x＝﹣1 时，y＝2，
∴2＝﹣k+4 ，得k＝2，
∴此函数的解析式为y＝2x+4；
（2）当x＝0 时，y＝4，
当y＝0 时，x＝﹣2，
∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（0，4），
∴△AOB 的面积是：；
（3）由图象可知，当y＝3 时，x＝﹣0.5，
该函数图象y 随x 的增大而增大，
∴当yy≤3 时，x≤﹣0.5，
即x 的取值范围是x≤﹣0.5．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数图象上点
的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形
结合的思想解答．
20．（10 分）如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A（0，3），点B（，0），连接AB．若对于平面内一点C，当△ABC 是以AB 为腰的等腰三角形时，称点C 是线段AB 的“等长点”
（1）在点C1（﹣2，3+2 ），点C2（0，﹣2），点C3（3+ ，﹣）中，线段
AB 的
“等长点”是点C1，C3 ；
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【分析】（1）直接利用线段AB 的“等长点”的条件判断；
（2）分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（，0），
∴AB＝2 ，
∵点C1（﹣2，3+2 ），
∴AC1＝＝2 ，
∴AC1＝AB，
∴C1 是线段AB 的“等长点”，
∵点C2（0，﹣2），
∴AC2＝5，BC2＝＝，
∴AC2≠AB，BC2≠AB，
∴C2 不是线段AB 的“等长点”，
∵点C3（3+ ，﹣），
∴BC3＝＝2 ，
∴BC3＝AB，
∴C3 是线段AB 的“等长点”；
（2）如图1，在Rt△AOB 中，OA＝3，OB＝，
∴AB＝2 ，tan∠OAB ＝＝，
∴∠OAB＝30°，
当点D 在y 轴左侧时，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAO＝∠DAB ﹣∠BAO＝30°，
∵点D（m，n）是线段AB 的“等长点”，
∴AD＝AB，
∴D（﹣，0），
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∴m＝，n＝0，当点
D 在y 轴右侧时，∵∠
DAB＝60°，
∴∠DAO＝∠BAO+∠DAB＝90°，
∴n＝3，
∵点D（m，n）是线段AB 的“等长点”，
∴AD＝AB＝2 ，
∴m＝2 ．
故答案为：C1，C3．
【点评】主要考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，
对称性，解（1）的关键是理解新定义，解（2）的关键是画出图形，是一道中等难度的中
考常考题．
21．（12 分）在直线上顺次取A，B，C 三点，分别以AB ，BC 为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为 D ，E．
（1）如图①，连结CD ，AE，求证：CD＝AE；
（2）如图②，若AB＝1，BC＝2，求DE 的长；
2 2
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC 绕B 点作适当的旋转，连结AE，若有DE +BE ＝AE2，试求∠DEB 的度数．
【分析】（1）欲证明CD ＝AE，只要证明△ABE ≌△DBC 即可．
（2）如图②中，取BE 中点F，连接DF ，首先证明△BDE 是直角三角形，再利用勾股
定理即可．
（3）如图③中，连接DC，先利用勾股定理的逆定理证明△DEC 是直角三角形，得∠DEC ＝90°即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图①中，∵△ABD 和△ECB 都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD ，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝
60°，∴∠ABE＝∠DBC ，
在△ABE 和△DBC 中，
，
∴△ABE≌△DBC ，
∴AE＝DC ．
（2）解：如图②中，取BE 中点F，连接DF ．
∵BD＝AB＝1，BE＝BC＝2，∠ABD ＝∠EBC＝
60°，∴BF＝EF ＝1＝BD ，∠DBF ＝60°，
∴△DBF 是等边三角形，
∴DF ＝BF＝EF ，∠DFB ＝
60°，∵∠BFD ＝∠FED +∠
FDE ，∴∠FDE ＝∠FED ＝30°
∴∠EDB＝180°﹣DEB ∠DBE﹣∠DEB ＝90°，
∴DE＝＝＝．
（3）解：如图③中，连接DC ，
∵△ABD 和△ECB 都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD ，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝
60°，∴∠ABE＝∠DBC ，
在△ABE 和△DBC 中，
，
∴△ABE≌△DBC ，
∴AE＝DC ．
2 2 2
∵DE +BE ＝AE ，BE＝CE，
∴DE2+CE2＝CD2 ，
∴∠DEC＝90°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝∠DEC﹣∠BEC＝30°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理逆定理、等边三角
形的性质等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键，学会添加辅助线的方法，属于中
考常考题型．
22．（12 分）如图①，已知直线y＝﹣2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A、C，以OA、OC 为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C 的坐标；
（2）将△ABC 对折，使得点A 的与点C 重合，折痕交AB 于点D，求直线CD 的解析式（图
②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B 外），使得△APC 与△ABC 全等？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知直线y＝﹣2x+4 与x 轴、y 轴分别交于点A、C，即可求得A 和C 的坐标；
（2）根据题意可知△ACD 是等腰三角形，算出AD 长即可求得D 点坐标，最后即可求出CD
的解析式；
（3）将点P 在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P 的坐标．
【解答】解：（1）A（2，0）；C（0，4）（2 分）
（2）由折叠知：CD ＝AD ．设AD ＝x，则CD＝x，BD ＝4﹣x，
2 2 2 根据题
意得：（4﹣x）+2 ＝x解得：
此时，AD ＝，（2 分）
设直线CD 为y＝kx+4，把代入得（1 分）
解得：
∴直线CD 解析式为（1 分）
（3）①当点P 与点O 重合时，△APC≌△CBA ，此时P（0，0）
②当点P 在第一象限时，如图，
由△APC≌△CBA 得∠ACP＝∠CAB，
则点P 在直线CD 上．过P 作PQ⊥AD 于点Q，
在Rt△ADP 中，
AD＝，PD＝BD ＝＝，AP＝BC＝2
由AD ×PQ＝DP×AP 得：
∴
∴，把代入得
此时
（也可通过Rt△APQ 勾股定理求AQ 长得到点P 的纵坐标）
③当点P 在第二象限时，如图
同理可求得：
∴
此时
综合得，满足条件的点P 有三个，
分别为：P1（0，0）；；．
（写对第一个（2 分），二个（3 分），3 个且不多写（4 分），写对4 个且多写得（3 分）．）
【点评】本题主要考查对于一次函数图象的应用以及等腰三角形和全等三角形的判定的
掌握．。