2001年数学分析专题研究试题

2001年数学分析专题研究试题
一、填空题
1．集合
中的关系
同时为反身的、对称的、（），则称关系
为等价关系。

2．一个集合若不能与其一个真子集建立一个（），则称该集合为有限集。

3．函数
在点
的邻域内有定义，若（），则称函数
在点
处连续。

4．设
是从
到
上的连续函数，满足：
1）（）；，
2）对于
有
,则
是以
为底的对数。

5．若函数
是定义在
上的连续函数，且满足：1）（）；
2）
，当
时，
；
3）
,则分别称
是正弦函数与余弦函数。

6．设
为从集合
到集合
中的关系，若
,有唯一的
，使（），则称
为（从
到
中的）映射。

二、单项选择题
1．
A．= B．
C．
D．
2．实数集
是（）
A．有限集 B．可列集 C．不可列集 D．空集3．
是从
到
的映射，且
，
，则
A．= B．
C．
D．
4．函数
在点
处（）
A．间断 B．连续 C．可导 D．取得极小值
5．函数
与
在
上有界，且
，则
在
上（）。

A．有界 B．无界 C．有下界而无上界 D．结论不定6．下面结论（）是正确的。

A．若
是单调函数，
也是单调函数，则
是单调函数。

B．若
在数集
上可导，且
有界，则
在
上有界
C．若
是周期函数，
，则
是周期函数
D．若
在数集
上有界且可导，则
在
上有界
三、计算题
1．求过抛物线
上的点
的切线方程。

2．已知
，求。

3．已知
，求
的最小值。

4．若
，求。

四、证明题
1．设有映射
，证明：
（1）若
是满射，则
是满射．
（2）若
是满射，且
是单射，则
是满射．
2．若
在点
处连续，则
在点
处也连续．
3．证明：方程
在区间
内有且仅有一个实根。

4．证明
不是周期函数。

参考答案：
一、填空题（每小题3分，共18分）
1.传递的；
2.双射；
3.
；4.1）
， 6.。

二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1.C；
2.C；
3.D；
4.B；
5. D；
6. A
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.解首先计算过点
的切线的斜率
4分
所求的切线方程为
即
8分
2.解已知
（1）将
代替
（2） 4分
得
8分
3.解已知在
内，
是上凸函数，由上凸函数的定义有
5分
即
而且当
时，
，故
是
的最小值。

8分
4.解设
，则
3分因
，故
8分
四、证明题（每小题8分，共32分）
1.证明（1）因
是满射，即
,进一步有
，故
是满射。

4分
（2）采用反证法。

假设
不是满射，即
，则存在
，但。

设
，使
，由于
是单射，故
，即
，这与
是满射矛盾。

说明假设矛盾，即
是满
射。

8分
2.证明
，因为
在点
连续，故存在
，当
时，有
由绝对值不等式的
4分
故对任意的
，
，当
时，有
即
在点
连
续。

8分
3.证明：设
，则
是
上的连续函数，且
由介值定理，至少存在一点
，使。

4分由
得，当
时，。

即
在
内严格单调增加。

故有且仅有一点
，使
，即方程
在
内有且仅有一实根。

8分
4.证明采用反证法。

假设
是周期函数，因
是连续函数且不是常值，故
具有最小正周期，设为。

选取自然数
，使得。

故存在
使
另一方面，对于
，有
这与
式矛盾。

故
不是周期函数。

8分数学分析专题研究期末试题（2002.1）
一、一、填空题
1.若
，则
.
2.若
，则
.
3.设
，若
，则称
到
上的 .
4.若复数
是某个整系数多项式方程的根，则称
是数.
5.设
，则
.
6.设函数
定义在开区间
内，对于
，有
，则称
是
内的函数.
二、二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1.设
，
，有
.
A.
B.
C.
D.
2.若
，且
，则
A.
B.
C.
D.
3.若
在
内连续，则
在
内（）
A. 可导
B. 单调
C. 有界
D. 对称
4.设
是超越数，则
是（）
A.有理数
B.代数数
C. 无理数
D. 超越数
5.
与
都是以
为周期的周期函数，且
，则
（）
A. A. 不是周期函数
B. B. 是以
为周期的周期函数
C. C. 是周期函数，但周期大于或等于
D. 是周期函数，但周期小于或等于
6.设
是
内充分光滑的严格下凸函数，则（）
A.
在
内必取到最小值 B.
在
内必取到最大值
C.
在
内有
D. 前三个结论都不对
三、三、计算题（每小题8分，共32分）
1.设
，求
2.设
，求
3.求函数
的极值
4.已知
重根号），求
四、四、证明题（每小题8分，共32分）
1.证明（1）
（4分）
（2）
（4分）
2.证明设数集
与
均有上界，则集合
有上界，且
3.证明设
，有
4.证明设
是从
到
的连续函数，则存在点
,使得
.
参考答案
一、一、填空题（每小题3分，共18分）
1.
，2.
，3. 满射，4.代数数，5.
，6.下凸
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1.
，2.
，3.
，4.
，5.
，6.
三、计算题（每小题8分，共32分）
1解
，
2分
，
7分故
8分
2设
，则
，
3分
代入得
8分
3．解
3分
令
，得
，
易验证
是极大值点，
是极小值点， 6分极大值
，极小值
8分
4.解显然
，且
，即数列
，单调增加且有上界，故
存在，
设
，由
可得
， 5分
即
，
解得
8分
四、证明题（每小题8分，共32分）
1. 证明：（1）若设
表示
的补集，则有
4分
（2）
8
分
2. 证明：
，有
，故
，即
是
的一个上界.
，使得
，
即存在
，使得
故
8分
3.证明：设
，则
，即
是严格下凸，根据
有
8分
4.证明：令
，则
是
上的连续函数.
若
，则选取
结论得证.
若
，则选取
结论得证. 4分
否则有
，则
，由介值定理，存在
，使得
，即
.
8分
数学分析专题研究（09春）模拟试题及参考答案
一、单项选择题
1．A，B，C是三个集合，
，则有（）成立。

A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，则
答案：D
2．设
则
是（）
A. 双射
B. 既非单射也非满射
C.单射而非满射
D. 满射而非单射
答案：B
3．下列数集（）不是可列集.
A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．实数集答案：D
4．已知函数
在
内可导，且
在
内连续，则
在
内（）.
A．连续 B．间断 C．有界 D．无界
答案：A
5．有界闭凸集
上的下凸函数
的最大值必在
的（）达到.
A．内部 B．外部 C．边界
D．可能是内部也可能在边界
答案：C
二、填空题
1．已知
，则
.。