江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习课件空间点、线、面之间的位置关系

基础知识梳理
3．用字母、集合语言表示点、 直线、平面的关系
(1)平面的表示 ①用一个希腊字母，如：平 面α、平面β、平面γ. ②用多边形的一条对角线的 两个端点字母表示，如平面AC， 平面BD.
基础知识梳理
(2)用集合语言描述点、直线、 平面间的关系
A①∈点α 与平面的位置关系：A∉点α A在
平面α内，记作 ；点A不在平面
规律方法总结
2．求证三点及三点以上 的点共线，主要依据公理2， 只要证明这些点都是两个平面 的公共点，那么它们都在这两 个平面的交线上；求证三条直 线或三条以上的直线共点的一 般方法：首先证明两条直线交 于一点，再证其余各直线都经 过这点．处理好这类问题是解
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第二节 空间点、线、面 之间的位置关系
基础知识梳理
1．点和直线的基本性质 连结两点的线中，最线只短有 段． 过两点有一条直线，并且 一条直线．
基础知识梳理
2．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上 有两个点在一个平面内，那么 这条直线上的所有的点都在这 个平面内． (2)公理2：如果两个平面有 一个公共点，那不么在它一条们直还线有上其 它公共点，且所有这些公共点 的集合是一条过这个公共点的
30°.直线AB、AC与l和α都成30°角，假设
三基能力强化
存在直线m过A点．若m与α 成30°角，当m在α内射影与l平行 时，则m与l所成角一定大于30°， 故满足条件的直线有且只有2 条．
答案：2
课堂互动讲练
考点一
平面的基本性质
平面的基本性质是解决立 体几何问题的基础，准确把 握有关的命题可以避免在理 解和判断点、线、面的有关 关系时作出错误的结论，能 加大空间的想象力．
课堂互动讲练
例2
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是 CC1、A1A的中点，画出平 面BED1F与平面ABCD的交 线．
课堂互动讲练
【思路点拨】 寻找D1F与底面ABCD的交 点，由两点确定一直线来找到平面BED1F与平 面ABCD的交线．
【解】 在平面AA1D1D内，延长D1F， ∵D1F与DA不平行， ∴D1F与DA必相交于一点，设为P， 则P∈平面BED1F，P∈平面ABCD. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共 点，连结PB，则PB就是平面BED1F与平 面ABCD的交线．
课堂互动讲练
2．证明共线问题的常用方 法
(1)可由两点连一条直线， 再验证其他各点均在这条直线 上；
(2)可直接验证这些点都在 同一条特定的直线上——相交 两平面的唯一交线，关键是通 过绘出图形，作出两个适当的
课堂互动讲练
3．证明共点问题 常用的方法是：先证其中 两条直线交于一点，再证交点 在第三条直线上，有时也可将 问题转化为证明三点共线．
课堂互动讲练
互动探究
在图(2)中，C1M在平面 CDD1C1内，因此与DC的延长线相 交，交点为M，则点M为平面 A1C1B和平面ABCD的公共点，又 点B也是这两个平面的公共点，因 此直线BM是两平面的交线．
课堂互动讲练
考点三
共点、共线、共面问题
1．证明共面问题的常用方 法
证明若干条线(或若干个点) 共面，一般来说有两种途径： 一是首先由题给条件中的部分 线(或点)确定一个平面，然后 再证明其余的线(或点)均在这 个平面内；二是将所有元素分
三基能力强化
3．若三个平面两两相交， 则这三个平面把空间分成 ________部分．
答案：6或7或8
三基能力强化
4．对于任意的直线l与平面 α，在平面α内必有直线，使m 与l________(位置关系)．
答案：垂直
三基能力强化
5．(2008年高考四川卷改编)直 线l⊂平面α，经过α外一点A与l、α 都_垂_足成__．解3_过0_析°_O：角_作条如的B图C．直∥由lA线且点使有作∠A且AOB⊥只O平＝有面∠αA，COO＝为
基础知识梳理
(4)公理3的推论 ①推论1：经过一条直线和 这条直线外的一点有且只有一 个平面． ②推论2：两条相交直线确 定一个平面． ③推论3：两条平行直线确 定一个平面．
基础知识梳理
我们在日常生活中所看到 的平面有各种形状，如三角 形、平行四边形、矩形、圆 形等，这种说法是否正确？
【思考·提示】 平面具 有延展性，即它是向外围无 限延伸的，因此，不能说平 面具有什么形状，生活中所 说的平面是什么形状，只是 指具体事物的形状，而不是
课堂互动讲练
跟踪训练
解析：易知①、②、④均为假 命题，对于③，可以用反证法：若 有三点共线，由推论1知，这四个 点一定共面，故逆否命题正确．
答案：1
课堂互动讲练考点二截面 Nhomakorabea题立体几何图形中构 造出的平面常常只给出 局部，而由于研究的几 何图形大都是空间立体 的，因而能清楚平面与 立体几何图形间的关系 对于解决问题非常重 要．这要求既要熟知一
课堂互动讲练
例3 (解题示范)(本题 满分8分) 如图，在四 面体ABCD中作截面 PQR，PQ、CB的延 长线交于M，RQ、 DB的延长线交于N， RP、DC的延长线交 于K.求证：M、N、K 三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】 证明三点在两平面的公共 直线上．
【证明】
PQ∩CB＝M RQ∩DB＝N ⇒ RP∩DC＝K
课堂互动讲练
②不正确，条件中另外两条直线可能共面，也可 能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能 确定一个平面，故②不正确；
③不正确，空间三个点可能不在同一条直线上， 也可能在同一条直线上．当三个点在同一条直线上时， 经过这三个点的平面有无数多个，故③不正确；
④正确，因为它们两两相交于不同的点，所以三 个交点不在同一条直线上，由公理3知，确定一个平 面．
课堂互动讲练
证明共线问题：(1)可由两点连一条直线， 再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验 证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平 面的惟一交线，关键是通过绘出图形，作出两 个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两 个平面的公共点.
课堂互动讲练
自我挑战
3 ．(本题满分14分)如图， 已知在空间四边形ABCD中，E、 F分BG别是DHAB、AD的中点，G、
1．给出下列命题： ①和同一条直线都相交的两 条直线在同一个平面内； ②三条两两相交的直线在同 一个平面内； ③有三个不同公共点的两个 平面重合； ④两两平行的三条直线确定 三个平面．
三基能力强化
2．若直线a与b是异面直线， b与c也是异面直线，则直线a 与c的位置关系为________．
答案：相交、平行或异面
MM、 、NN、 、KK∈ ∈平 平面 面BPQCDR⇒M、N、K 在 平面 BCD 与平面 PQR 的交线上，即 M、 N、K 三点共线.8 分
课堂互动讲练
【点评】 要证明M、N、K三点共 线，由公理2可知，只要证明M、N、K都 在平面BCD与平面PQR的交线上即可．此 题直接验证这些点都在同一条特定的直 线上——相交两平面的惟一交线，关键 是通过绘出图形，作出两个适当的平面 或辅助平面，证明这些点是这两个平面 的公共点.
课堂互动讲练
例1 在空间中，可以确定一个平面的条件
是________． ①两两相交的三条直线 ②三条直线其中的一条与另外两条直
线分别相交 ③三个点 ④三条直线，它们两两相交，但不交
于同一点
课堂互动讲练
【思路点拨】 根据确定平面的定 理与推论进行判定．
【解析】 ①不正确，两两相交的 三条直线，它们可能交于同一点，也可 能不相交于同一点．当三条直线相交于 同一点时，这三条直线可能不在同一个 平面内，故①不正确；
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自我挑战
设两腰EG、FH相交于一点T.10分 ∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面 ABC∩平面ACD＝AC， ∴T∈AC，∴直线EG、FH、AC相交于 一点T.14分
规律方法总结
1．图形对于分析空间元素的 位置关系，展开想象、探索解题 思路是至关重要的，因此复习时 应重视两个问题：一是画图与识 图，即能正确运用实、虚线画出 结构合理的直观示意图，能正确 识别空间元素点、线、面的位置 关系．二是要重视改变视角的非 常规位置的画法训练(如倒置或横、 竖放置等)，借助图形思考，能正
课堂互动讲练
【答案】 ④
【点评】 判断由所给元素(点或直 线)确定平面时，关键是分析所给元素是 否具备确定惟一平面的条件，即是否符 合公理3或其三个推论之一，如不具备， 则一定不能确定一个平面．
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跟踪训练
1．给出下列四个命题： ①若三条直线两两相交，则 它们组成的图形为平面图形； ②一条直线和一个点确定一 个平面； ③若四个点不共面，则每三 点一定不共线； ④三条平行线确定三个平
GC HC
H分别是BC、CD上的点， 且 ＝ ＝2.求证：直线EG、 FH、AC相交于一点.
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自我挑战
证明：连结 EF、GH. ∵E、F 分别是 AB、AD 的中点，
∴EF∥BD，且 EF=BD.4 分 又BGGC＝DHHC＝2，
∴GH∥BD，且 GH＝31BD， ∴四边形 EFHG 是梯形．
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互动探究
课堂互动讲练
互动探究 证明：在图(1)中，因为直线 EN∥BF，所以B、N、E、F四点共面， 因此EF与BN相交，交点为M. 因为M∈EF，且M∈NB，而 EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所 以M是平面ABCD与平面AEF的公共 点． 又因为点A是平面AEF和平面 ABCD的公共点，故AM为两平面的 交线．
α内，A∈记l 作
.
A∉l
②点与直线的位置关系：点A在 直线l上，记作 ；点A 不在直线l 上，记作 .
基础知识梳理
③直线与平面的位置关系：直线l在
平面lα⊂内α ，
l⊄α α∩β＝a
记作 ；直线不在平面α内，记
作
.
④平面α与平面β相交于直线a，记
作
.
⑤直线l和m相交于A，记作l∩m＝A.
三基能力强化
课堂互动讲练
互动探究 解：在图(1)中过点E作EN平行 于BB1交CD于点N，连结NB并延长 交EF的延长线于点M，连结AM，则 AM即为有阴影的平面与平面ABCD 的交线． 在图(2)中，延长DC，过点C1作 C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连 结BM，则BM即为有阴影的平面与 平面ABCD的交线．
课堂互动讲练
【点评】 几何体的截面图形的画 法，是考查学生识图及空间想象能力的 一个较好的命题动向，也是准确研究空 间图形截面性质的前提．
课堂互动讲练
互动探究
2．如图所示，ABCD－ A1B1C1D1是正方体，在图(1)中 E、F分别是D1C1、B1B的中点， 画出图(1)、(2)中有阴影的平面 与平面ABCD的交线，并给出 证明．