四色定理——精选推荐

四色定理
四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。

四色定理的本质正是二维平面的固有属性，即平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。

很多人证明了二维平面内无法构造五个或五个以上两两相连区域，但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性的层面，以致出现了很多伪反例。

不过这些恰恰是对图论严密性的考证和发展推动。

计算机证明虽然做了百亿次判断，终究只是在庞大的数量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。

中文名四色定理外文名 Four color theorem 别称四色问题，四色猜想提出者格斯里（Francis Guthrie）提出时间 1852年应用学科拓扑学、图论适用领域范围地图编辑类别世界近代三大数学难题之一
四色问题简介
四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。

地图四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。

”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。

如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。

因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

发展简史
问题的提出
1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（Francis Guthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。

这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。

[1]
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教，但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。

[1]
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

[1]
从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。

肯普的研究
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。

[1]
大家都认为四色猜想从此也就解决了，但其实肯普并没有证明四色问题。

11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。

他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。

不久泰勒的证明也被人们否定了。

人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。

就是说对地图着色，用五种颜色就够了。

[2]
这是不正规的四色地图，实为五色
不过，让数学家感到欣慰的是，郝伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，郝伍德证明了较弱的五色定理。

这等于打了肯普一记闷棍，又将其表扬一番，总的来说是贬大于褒。

真不知可怜的肯普律师是什么心情。

追根究底是数学家的本性。

一方面，五种颜色已足够，另一方面，确实有例子表明三种颜色不够。

那么四种颜色到底够不够呢？这就像一个淘金者，明明知道某处有许多金矿，结果却只挖出一块银子，你说他愿意就这样回去吗？
肯普的贡献
肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。

这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。

[2] [1]
不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。

第一个概念是“构形”。

他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。

[2] [3]
肯普提出的另一个概念是“可约”性。

“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。

他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。

自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。

但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。

[2] [3]
缓慢的进展
人们发现四色问题出人意料地异常困难，曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。

后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。

于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

　进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。

四色定理的本质就是在平面或者球面无法构造有五个或者五个以上的两两相连的区域，如果有五个以上两两相连区域，第五个区域至少与一个区域同一种颜色。

这个理论在其他构造中是显然的，例如在环面上（亏格为1），需要7色，就是因为环面不能构造8个两两相连区域。

在亏格为2的双环面上，需要8色，就是不能构造9个区域两两相连。

1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。

后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。

1950年，温恩从22国推进到35国。

1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。

看来这种推进
仍然十分缓慢。

[4]
计算机证明
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。

电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。

就在1976年6月，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。

[1] [5]
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

但证明并未止步，计算机证明无法给出令人信服的思考过程。

四色定理-非正规地图
问题影响
一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。

在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。

如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。

不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

逻辑证明
理论基础
地图上任何一个区域必将存在邻域，且又通过邻域与其他非邻域发生间接联系，可以将任何一个地图以图论图形的表示出来。

假设存在一张至少需要m种着色的地图，那么决定该地图必须要用m种着色的条件有且只有一个，即该地图至少存在这样一个区域Q，与该区域相邻的所有区域必须满足m-1着色。

首先满足这个条件后，Q只能用第m种颜色，其次如果这个推论一是错误的，对于m着色地图不存在这样的区域，那么地图上任何一个区域的邻域只能满足少于m-1的着色，那么整个地图势必不需要m种颜色，这与假设相矛盾，所以这是一个充分必要条件。

（推
推论一）
假设随意取一张任意结构的至少m着色的地图M，其上满足上述条件的区域有n个，那么将图论图形中的这n 个区域及其与邻域的关系线我们可以全部去掉，这样我们就将构建一个至少m着色地图M的问题转化成了一个在至少需要m-1着色地图上添加n个满足推论一条件的区域问题。

如果五着色地图存在且能构建成功，那么必然存在构建这样五着色的四着色模型图，而要存在这样的四着色模型图必然存在构建该四着色的三着色模型图，同理要存在这样的三着色模型图必然要存在构建它的二着色模型图，那么我们来构建一下五色图是否存在。

二着色地图
二着色地图是由一着色而来的一种简单的着色地图模型，我们很容易得到满足二着色的地图仅有的两种类型的结构，一种是不闭合的链状结构；另一种是由第一种衍生出来的闭合的环状结构且环所联系的区域为偶数个，称为偶数环。

二着色结构特点是奇偶位置决定着色，任何两个区域的任何联系链条只有相隔偶数个区域才满足两区域着色不同，我们定义这两个区域为偶隔域。

三着色地图
我们随意取一张任意结构的二着色的地图M，来构建一个具有n个满足推论一条件区域的地图Q，构建方式有且只有一个，就是在图论图形中我们如何去掉的这n个区域及其与邻域的关系线，我们接怎么给它添加回去。

我们任取这n个区域中一个区域q为例，只要我们在M地图上将必须满足二着色的几个区域W直接联系到q上，这样就满足推论一中的条件而使Q必须为三着色。

而W要满足二着色则必定含有偶隔域，如果W有x个区域和q发生直接联系，则q上出去的关系线有x个，那么我们一定可以将该复杂的联系分解成x-1个不可分解关系环，其中至少有一个不可再分的关系环是M中的偶隔域与q联系的，（推论二）假设这个推论是错误的，所有不可再分的环全部是奇隔域，那么这些环拼接回去时满足每个小环的间隔区域数相加再减去共用的区域，仍旧是奇隔域，这样W便不满足二着色，所以这些不可再分环中一定有偶隔域和q发生联系而构成奇数环（环连的区域为奇数），并且导致q必须使用第三色的就是这些不可再分的奇数环。

由于满足二着色的只有偶隔域一种条件，那么构造的三着色地图中决定三着色的条件也只有一种，存在不可再分的奇数环。

四着色地图
在上面构建的三色着色地图Q基础上我们再来构建四着色地图P，假如P存在满足推论一条件的区域有k个，同样的方法，我们任取k中一个区域p，只要我们在Q地图上将必须满足三着色的几个区域R直接联系到p上，这样
就满足推论一中的条件而使P必须为四着色。

而R要满足三着色则必定含有奇数环并且组成奇数环的区域都能够与p发生联系（保证奇数环没有被包围在其他闭合环内的部分），如果R有y个区域和p发生直接联系，则p上出去的关系线有y个，那么导致p为第四色原因是可发生联系的奇数环，既只要有一个这样的奇数环存在就一定会导致p 使用第四色（推论三），假设这一推论不成立那么没有这样的奇数环存在，则由前面二着色建立三着色正经得到，除了奇数环再没有能使地图为三着色的条件了，或者当奇数环区域不能全部与p发生联系，这样p必然的不需要第四色了。

故我们的推论三成立。

由于三着色条件唯一而使得p四着色的条件唯一，我们来看四着色条件的特点，当p与R发生联系后，不管R有多少满足条件的奇数环，势必最终只能有包括p在内的三个区域能与外界区域发生联系。

因为p和R上的任何两个区域都可以构成一个封闭的三角形，而当我们选的R上这俩区域与p关系线是最外侧的关系线时，则R上其他区域一定不能在三角形外，不然或造成以上两根关系线不再是最外侧或者有关系线出现交叉，所以R上剩余区域必定在三角形内而造成四着色图最多只有三个区域能与外界发生联系。

五着色地图
那么我们在构建五着色地图时，四着色结构最多提供三种不同着色，不能满足推论一的条件，而决定将无法构建五着色地图。

拓扑证明
四色定理证明的关键可以归纳为二维平面内两条直线相交的问题。

1.将地图上不同的区域用不同的点来表示。

[6]
2.点与点之间的连线用来表示地图上两区域之间的相邻逻辑关系，所以,线与线之间不可交叉（即不可存在交叉而没有公共交点的情况），否则就超越了二维平面，而这种平面暂时称它为逻辑平面，它只反应区域之间的关系，并不反应实际位置。

[6]
通过以上的变换处理，可以将对无穷尽的实际位置的讨论，变为有条理可归纳的逻辑关系的讨论，从而提供了简单书面证明的可行性。

如果证明可以用一句话来说，那就是：“二维平面不存在交叉直线，只存在共点直线。

数学定理
A-F
▪ 15定理▪ 2π定理▪ Sun-Ni定理▪ Vizing定理
▪ 阿贝尔定理▪ 阿贝尔二项式定理▪ 阿贝尔-鲁菲尼定理▪ 阿贝尔曲线定理
▪ 阿达马三圆定理▪ 阿蒂亚-辛格指标定理▪ 阿尔泽拉-阿斯科利定理▪ 阿基米德原理
▪ 阿基米德中点定理▪ 埃尔布朗定理▪ 艾森斯坦定理▪ 安达尔定理
▪ 奥尔定理▪ 巴拿赫不动点定理▪ 巴拿赫-塔斯基悖论▪ 贝尔纲定理
▪ 贝亚蒂定理▪ 贝叶斯定理▪ 贝祖定理▪ 本迪克森-杜拉克定理
▪ 本原元定理▪ 闭图像定理▪ 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定
理
▪ 伯恩斯坦定理
▪ 伯特兰-切比雪夫定理▪ 博苏克-乌拉姆定理▪ 博特周期性定理▪ 不动点定理
▪ 布尔素理想定理▪ 布朗定理▪ 布劳威尔不动点定理▪ 布列安桑定理
▪ 采样定理▪ 陈氏定理▪ 垂径定理▪ 达布中值定理
▪ 大数定律▪ 代数基本定理▪ 单调收敛定理▪ 单值化定理
▪ 等周定理▪ 狄利克雷定理▪ 迪尼定理▪ 笛卡儿定理
▪ 笛卡儿符号法则▪ 笛沙格定理▪ 棣莫弗定理▪ 棣莫弗-拉普拉斯定理▪ 多项式定理▪ 多项式余数定理▪ 二次互反律▪ 二项式定理
▪ 法图引理▪ 法伊特-汤普森定理▪ 凡·奥贝尔定理▪ 反函数定理
▪ 范德瓦尔登定理▪ 费马大定理▪ 费马多边形数定理▪ 费马平方和定理
▪ 费马小定理▪ 芬斯勒-哈德维格尔定理▪ 弗罗贝尼乌斯定理▪ 辐角原理
以上定理按数字及中文名拼音首字母和英文名首字母顺序排列
G-L
▪ 富比尼定理▪ 高斯-卢卡斯定理▪ 高斯-马尔可夫定理▪ 高斯散度定理
▪ 哥德巴赫-欧拉定理▪ 哥德尔不完备定理▪ 哥德尔完备性定理▪ 鸽巢原理
▪ 格尔丰德-施奈德定理▪ 格林公式▪ 共轭复根定理▪ 勾股定理
▪ 古尔丁定理▪ 古斯塔夫森定理▪ 谷山-志村定理▪ 哈恩-巴拿赫定理
▪ 海涅-博雷尔定理▪ 海涅-康托尔定理▪ 亥姆霍兹定理▪ 赫尔德定理
▪ 黑林格-特普利茨定理▪ 胡尔维兹定理▪ 蝴蝶定理▪ 华勒斯-波埃伊-格维也纳定理
▪ 霍普夫-里诺定理▪ 积分第二中值定理▪ 积分第一中值定理▪ 基尔霍夫定理
▪ 吉洪诺夫定理▪ 极值定理▪ 夹挤定理▪ 嘉当-迪厄多内定理▪ 角平分线定理▪ 介值定理▪ 紧致性定理▪ 卷积定理
▪ 绝妙定理▪ 卡迈克尔定理▪ 卡诺定理▪ 开世定理
▪ 开映射定理▪ 凯莱定理▪ 凯莱-哈密顿定理▪ 戡根定理
▪ 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定
▪ 康托尔定理▪ 柯西定理▪ 柯西积分定理
理
▪ 柯西-利普希茨定理▪ 柯西中值定理▪ 可靠性定理▪ 克莱姆法则
▪ 克莱尼不动点定理▪ 克罗内克定理▪ 克罗内克-韦伯定理▪ 克纳斯特-塔斯基定理▪ 空间分割定理▪ 拉东-尼科迪姆定理▪ 拉格朗日定理▪ 拉格朗日定理
▪ 拉格朗日中值定理▪ 拉克斯-米尔格拉姆定理▪ 拉姆齐定理▪ 勒贝格控制收敛定理▪ 勒贝格微分定理▪ 勒让德定理▪ 勒文海姆-斯科伦定理▪ 雷维收敛定理
▪ 黎曼级数定理▪ 黎曼-勒贝格定理▪ 黎曼-罗赫定理▪ 黎曼映射定理
▪ 里斯表示定理▪ 良序定理▪ 林德曼-魏尔斯特拉斯定理▪ 零一律
▪ 刘维尔定理▪ 留数定理▪ 六指数定理▪ 卢津定理
▪ 吕利耶定理▪ 罗尔定理▪ 罗斯定理
以上定理按中文名拼音首字母顺序排列
M-R
▪ 马勒定理▪ 迈尔斯定理▪ 迈希尔-尼罗德定理▪ 毛球定理
▪ 梅涅劳斯定理▪ 米迪定理▪ 密克定理▪ 闵可夫斯基定理
▪ 莫尔-马歇罗尼定理▪ 莫雷角三分线定理▪ 莫雷拉定理▪ 拿破仑定理
▪ 纳什嵌入定理▪ 鸟头定理▪ 牛顿定理▪ 欧几里得定理
▪ 欧拉定理▪ 欧拉定理▪ 欧拉旋转定理▪ 帕普斯定理
▪ 帕塞瓦尔定理▪ 帕斯卡定理▪ 排容原理▪ 庞加莱-本迪克松定理▪ 庞加莱-霍普夫定理▪ 披萨定理▪ 皮卡定理▪ 皮克定理
▪ 皮亚诺存在性定理▪ 婆罗摩笈多定理▪ 普罗斯定理▪ 谱定理
▪ 齐肯多夫定理▪ 切除定理▪ 切消定理▪ 曲线基本定理
▪ 儒歇定理▪ 若尔当曲线定理
以上定理按中文名拼音首字母顺序排列
S-Z
▪ 萨维奇定理▪ 塞瓦定理▪ 三次互反律▪ 射影定理
▪ 施图姆定理▪ 舒尔正交关系▪ 斯坦纳-雷姆斯定理▪ 斯通布尔代数表示定理▪ 斯图尔特定理▪ 斯托尔兹-切萨罗定理▪ 斯托克斯定理▪ 四顶点定理
▪ 四平方和定理▪ 四色定理▪ 素数定理▪ 算术基本定理
▪ 泰博定理▪ 泰勒公式▪ 泰勒斯定理▪ 泰勒中值定理
▪ 同构基本定理▪ 图厄定理▪ 图兰定理▪ 托勒密定理
▪ 威尔逊定理▪ 微积分基本定理▪ 韦伯定理▪ 韦达定理
▪ 维纳一辛钦▪ 维维亚尼定理▪ 魏尔施特拉斯分解定理▪ 魏尔斯特拉斯逼近定理▪ 沃尔斯滕霍尔姆定理▪ 无限猴子定理▪ 五边形数定理▪ 五色定理
▪ 西尔维斯特惯性定理▪ 西尔维斯特—加莱定理▪ 西罗定理▪ 西姆松定理
▪ 线性代数基本定理▪ 线性同余定理▪ 演绎定理▪ 叶戈罗夫定理
▪ 因式定理▪ 隐函数定理▪ 友谊定理▪ 有理根定理
▪ 有限简单群分类▪ 有噪信道编码定理▪ 余弦定理▪ 圆幂定理
▪ 詹姆斯定理▪ 正切定理▪ 正弦定理▪ 秩-零化度定理
▪ 中国剩余定理▪ 中线定理▪ 中心极限定理▪ 中值定理
▪ 主轴定理▪ 祖暅原理▪ 最大流最小割定理▪ 最大模原理。