2复合材料力学及层板强度

柔量分量

将上述广义虎克定律写成矩阵形式：
EL、ET、nLT、nTL、GLT是一组工程材料弹性常数 。 将应力-应变关系中的系数简记成 ：
22
这些量称作柔量分量。
单向层合板的正轴应力-应变关系

用柔量分量表示单向层合板的正轴应力-应变关系：
把上式变换成以应变为已知量，应力为未知量的应力-应变关系式为：
正轴应力与偏轴正应力的互相转换

如果正轴坐标与偏轴坐标夹角为q，
偏轴应力表示：
正轴应力：
正轴正应力与偏轴正应力可以互相转换 ：
m cos q ( 1 cos 2 q ) / 2
2 2
二、 单向层 合板应变




应变是对弹性体变形的度量。以 e表示正应变， g表示剪应变。 ey表示方向与y轴平行的正应变； gyz表示发生在与坐标面yoz平行的一个平面内的剪应变，是一个角度; 有3个正应变 ex、 ey、 ez 三个剪应变 gxy 、 gyz 、 gzx 一点的应变状态也可用6个分量来描述。 正应变以伸长为正，剪应变以使直角变小为正。 和应力的下标类似，有时把x、y、z分别记作1、2、3。正应变表示 为e1、 e2、 e3 ，剪应变表示为g12 、 g23 、 g31 。
各面上的正应力分量为σ11、σ22、σ33 σ1、σ2、σ3
或
有时还可把正应力分量记作 省去第二个下标。
sx、 sy、sz
剪应力分量为σ12、σ13、σ21、σ23、σ31、σ32。
剪应力分量记作：txy、txz、tyx 、tyz、tzx、tzy。 或：t12、t23、t31 、t21、t32、t13。
3、蔡-希尔失效判据

该失效判据是由各向同性材料的形状改变比能 理论推广而来的.各向同性材料的形状改变比 能理论失效判据，也称Mises判据，形式为
6
式中ss为各向同性材料单轴应力状态下的屈服强度。 在平面应力状态下， 因此，
蔡—希尔判据

现将上式中的sx、sy和txy，分别改写成s1、s2和t12。 考虑到单向层合板的正轴向为单轴应力或纯剪应力状 态，其极限应力分别为基本强度X(x方向)、Y(y方向)、 S(面内剪切)，而失效判据也成立。 故将sx、sy和txy 下的分母分别用各向极限应力X、Y 和S代替，并用X2、Y2和S2代替ss2，则可写出蔡—希 尔判据
m´＝(1- nLT· nTL)－1
模量分量

上式中关于应变的各个系数也可简记为 ：
这些量称作模量分量， 则应力为未知量的应力-应变关系可写成矩阵形式：
模量和柔量的对称性


无论用工程弹性常数，还是用柔量分量或模量分量来描述 单向层合板正轴刚度，都有五个量，这五个量不是独立的， 独立的只有四个，模量和柔量都存在对称性： S12=S21, Q12=Q21 由S12=S21, Q12=Q21可得： =

蔡－希尔判据特点




应当指出：各向同性材料的形状改变比能理论只考虑了形状改变， 而未考虑体积变化。用于正交各向异性材料的单向层合板中时，由 于偏轴时拉剪耦合和剪拉耦合的存在，形状与体积变化无法分离， 所以这一判据已不再属于形状改变比能判据了。 优点：1）蔡－希尔失效判据中，将基本强度X、Y和S联系在一个公 式中，因此考虑了它们之间的相互作用；而在前二个判据中它们是 完全独立的。 2）蔡－希尔判据能说明单轴应力或纯剪应力状态下的失效，即当 单轴或纯剪应力时，蔡—希尔失效判据得到的极限应力即为相应基 本强度。 缺点：但单向层合板偏轴受力时，由于拉剪或剪拉耦合存在，仅考 虑形状改变比能已不足以说明复合材料的失效，还需考虑其他能量 组分。同时，对于拉压强度不同的材料，该表达式不能用一个表达 式同时表述拉、压应力的判据，因此还需进一步改进。
4、蔡-吴失效判据

该失效判据表达式为
F s s F 1 is ij i j i
得到麦克斯韦尔定理。
n / E n / E / E n / n LT T TL L E L T TL LT
可知独立的材料常数为四个，因此一般只需测四个工程弹性常数。 EL、ET、 nTL （nLT）、GLT 由于
nLT nTL
因此通常测nTL
第三节 单向层合板的强度

一、基本强度指标 单向层合板是正交各向异性的，纵向（Longitudinal)强度与横 向(Transverse)强度不同，拉伸和压缩强度也不同，剪切强度 与单轴强度无一定关系，因此必须引进五个强度指标，即
正轴正应变和偏轴正应变矩阵互相转换

应变也有六个独立分量， 用矩阵表示为式：
e ij
同应力一样，正轴正应变和偏轴正应 变也可用矩阵互相转换 ：
e x g xy g xz g yx e y g yz g g e zx zy z

e x e y g xy
应力与拉伸



按照上述关于应力符 号的规定， 对于正应力来说，引 起拉伸的正应力是正 的，引起压缩的正应 力是负的，这与材料 力学中的规定相同。 但对于剪应力的正负 号的规定，其结果正 好与材料力学规定结 果相反。
应力分量标记

为了方便，把x、y、z有时记作1、2、3，其一般项记 为 sij，i和j分别为1、2、3，
最大应变失效判据

由于上述判据中的极限应变与单轴应力或纯剪应力状态下的基 体强度相对应，所以可得
由广义虎克定律
与麦克斯韦尔定理
n / E n / E LT T TL L
E ex s L Lt
E Ley s Tt
及
最大应变失效判据

得到：
优点：与最大应力失效判据相比，最大应变失效判据中多 考虑了另一个弹性主方向应力的影响。如果泊松比较小， 这一影响也较小。

假定复合材料处于线弹性和小变形。这一假设使我们利 用叠加原理，即所有的应力分量引起某一方向的应变量， 等于各个应力分量引起该方向的应变分量的代数和，与 应力作用的顺序无关。
当复合材料受到与纤维 同向的纵向拉伸试验、 横向拉伸试验（与纤维 垂直）、纯剪切试验时， 三种作用力共同作用时， 利用叠加原理，可建立 平面应力状态下的应力应变关系，即广义虎克 定律。
第二章 复合材料力学 与层板金属基复合材料
复合材料力学与层板金属基复合材料

层板复合材料：将两种或两种以上优化设计和选择 的层板相互完全粘结在一起组成层板复合材料。

它具有单一板材所难以达到的综合性能，如抗腐蚀、 耐磨、抗冲击、高导热、导电性、高阻尼等性能特点。
层板复合材料可由金属与金属板、金属与非金属板组 合而成，品种多，可满足各种应用的需求。

物体内各个点在各个方向上具有不同性能的材料 各向异性材料：


考虑材料是否均质，这与所观察对象的尺度有关。例如，从原子尺 度来看，任何材料都不是均质的，但是当观察对象的尺度大到一定 程度时，原子结构已失去其重要性，可以将其视作均质的。 复合材料与传统材料〈例如金属材料、高分子材料、陶瓷材料等〉 的一个重要区别是，前者是非均质、各向异性材料，而后者是均质 各向同性材料。 就弹性力学研究来说，两者的平衡方程和几何方程都是一样的，但 是应力应变间的关系，即物理方程却不是一样的，前者比后者复杂 得多。
一、单向层合板应力


为了讨论变形体内任意 一点P的应力状态，围 绕P点切出一个微小的 正六面体，称之为单元 体。 此单元体的各面上外法 线均与坐标轴平行。
应力的一些规定
规定外法线方向与坐标轴正向一致的面称为正面，否则为负面。 垂直于作用面的应力分量称为法向应力或正应力，它们是
sxx、 syy、szz
研究单向层合连续纤维增强复合材料强度四条基本假设






本章研究的对象主要是层合连续纤维增强复合材料。为研究方便，作如下四 条基本假设： 〈1〉层合板是连续的。复合材料是密实的，内部充满物质，略去内部的空 隙和缺陷，不考虑层间部分，认为各层直接相连，即应变连续，并符合数学 中连续性的概念。 〈2〉单向层合板是均匀的，认为单向层合板任意一小单元，其力学性能都 完全相同，即都有相同的宏观力学参数，多向层合板每一层都是均匀的。 〈3〉单向层合板是正交各向异性的。视单向层合板具有一对互相垂直的弹 性对称面，即正交各向异性，多向层合板或单向层合板坐标系方向不与材料 主方向重合时，则是各向异性的。 〈4〉层合板是小变形，线弹性的。在外力作用下，层合板的变形与外力呈 直线关系，卸载后层合板恢复原状，即材料变形符合虎克定律。变形与层合 板相比尺寸很小，所以在研究其平衡、受力、变形时，均可按构件原始尺寸 和形状进行计算。 上述四项基本假设，除多向层合板的分层均匀性和各向异性与材料力学中的 均匀性和各向同性假设有区别外，其他均相同。因此材料力学中凡与这两点 无关的原理和方法，均可适用。


其中金属层板复合材料、金属—聚合物层板复合材料 发展迅速，已有批量生产，逐渐发展成一类工程材料， 在汽车、船舶、化工、仪表等工层板)，以不 同方向层合而成多向层合板。如果每一铺层都处 于同一方向，则称为单向层合板。


在工程实际中，层合板和复合材料结构件是一次完成的， 也就是将铺层按实际结构件的形状及规定的铺层方向进行 铺设，然后固化粘接制成。 所以，层合板是复合材料结构件的基本单元，而铺层又是 层合板的基本单元。
平行于作用面的应力分量称为剪应力
sxy、 syz、szx、 syx、 szy、 sxz
双下标中第一个字母表示作用面的外法线方向，第二个表示应力分量的指向。
应力的正负： 在正面上的应力分量，如果其方向与坐标轴的正向一致就是 正的，如果其方向与坐标轴的正向相反，则是负的。 对于负面上的应力分量，若其方向与坐标轴的正向相反是正 的，而同向的则是负的。
e 1 T (s ) e 2 g 12
m2 n2 mn 2 m2 mn T（s）= n 2 2 2mn 2mn m n
第二节 单向层合板应力-应变关系
本章内容

第一节

预备知识
一、 单向层合板应力 二、 单向层合板应变

第二节 第三节
单向层合板应力-应变关系 单向层合板的强度
第一节 预备知识
材料 均质材料： 物体内各点性能都相同的材料 物体内各点性能不相同的材料 非均质材料： 物体内各个点在每个方向上都表现出相同性能的材料 各向同性材料： 材料
蔡吴失效判据中的应力应变符号由于单向层合板正轴向受力时其强度不受剪应力影响也就是说剪应力为正或负对单向层合板的强度应该没有影响所以上式中含s的一次方项应去掉得到失效判据中有六个强度参量f11以上二式联立求解得纵向拉压试验横向拉压试验所以时失效所以0得到面内剪切试验0则得到将上面求得的f11当复合材料在线弹性小变形范围内受到与纤维同向的纵向拉伸横向拉伸及纯剪切应力时其应力应变关系如何用广义虎克定律表示
特点：失效判据实际上由三个判据组成，它们互相不影响而各自独立。
2、最大应变失效判据





最大应变失效判据是由各向同性材料的最大伸长线应变理论推广而 来的。 由于正交各向异性的单向层合材料，纵向和横向及剪切性能不同， 所以复合材料的 最大应变失效判据认为：无论什么应力状态，当单向层合板正轴向 的任何一个应变分量达极限应变时，材料就失效。 这个极限应变在单轴应力或纯剪应力状态下，即是基本强度所对应 的应变。 因此，只要满足下式中的一个，材料就失效。
s
Lt
－纵向拉伸强度 －纵向压缩强度 －横向拉伸强度 －横向压缩强度
s Lc
s Tt
s Tc
－面内剪切强度 s 单向层合板正轴向受力时，某一单轴应力或纯剪应力状态达到其相应的极限 应力时，层合板就失效。这种失效的概念既包含屈服破坏又包含断裂破坏。
t
二、单向层合板的失效判据




1、最大应力失效判据 最大应力失效判据是由各向同性材料的最大拉应力理论推广而来 的。由于正交各向异性的单向层合板材料强度指标不止一个。 该判据认为：无论什么应力状态，单向层合板正轴向的任何一个 应力分量到达极限应力时，材料就失效。 这个极限应力在单轴应力或剪应力状态下即是测得基本强度。 因此，只要满足如下等式中的任一个，材料就失效。
应力分量的矩阵形式

剪应力互等定理：作用于相邻两个相互垂直平面上的剪应 力是相等的， σ12＝σ21、 σ13＝σ31、 σ23＝σ32 应力分量中独立的只有六个，可写成矩阵形式
正轴坐标系与偏轴坐标系



如果作用力与作用面法向有夹角，则可通过应力变换。 一个坐标系通常选用材料主轴，称作正轴坐标系，相应应 力为正轴应力。 另一坐标系为任意方向，此坐标系称为偏轴坐标系，相应 的应力分量称作偏轴应力。