高中数学选修本(理科)函数的极值ppt
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y=ln2x+2lnx+2 的极小值为（
）
A.e－1
B.0
C.－1
D.1
函数 f ( x ) = ax3 + ( a – 1 )x2 + 48( b – 3 )x + b 的
图象关于原点中心对称，则 f ( x) (D )
A．在[–4 3 ，4 3 ]上为增函数
B． 在[–4 3 ，4 3 ]上非单调
2.已 知a为 实 数 ，f ( x) ( x2 4)(x a) (1)求f '( x) (2)若f '(1) 0， 求f ( x)在[2,2]上 的 最 大 值 和最小值 (3)若f ( x)在( ,2]和[2, )上 是 递 增 的 ， 求 a的 取 值 范 围
C． 在[4 3 ，+∞)上为增函数, 在 (– ∞, –4 3 ]为减函数
D． 在 (– ∞, –4 3 ]为增函数，在[4 3 ，+∞)上也为增函数,
设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于零的可导函数，且
f (x)g(x) f (x)g(x) 0 ，则当 a<x<b 时有 ( C )
a=2，b=3或a=-2，b=-29
函数 f(x)=x+ a +b 有极小值 2， x
求 a、b 应满足的条件.
解：
1.设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴交点为 P， 且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0，若函数 在 x=2 处取得极值 0，试确定函数的解析式。
无极值
极小
a b c 4 a 3
a b c 0 b 5
5a 3b
c 2
练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1
时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若a<0,y' 5ax2( x2 1).由x，y，y' 的变化得
a -3 b -5 c 2
求函数（ f x） x p （1- x）p的值域
提示：由f ’（x）=0得x=1/2
而f（0）=f（1）=1
函数的值域为[
1 2 p-1
，1]
题型三、综合运用
例3：已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是
否存在实数a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最
大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值； 若不存在，请说明理由。
练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在
x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0 , 试求a,b,c的值 .
提示：y' 5ax4 3bx2 .由y' 0.得
x2( 5ax2 - 3b ) 0
x 1是极值点，5a - 3b 0
又 x2 0
x=0，x= 1可能是极值点。
练习3：
求函数y x3 - 3ax 2(a 0)的极值,并问方程
x3 - 3ax 2 0何时有三个不同的实根?
何时有连个根?有唯一的实根?
a>0,y' 3x2 3a.由x，y，y' 的变化得
x （ ， a） a ( a , a ) a
f (x) +
0
-0
( a , )
+
f (3;ax2+x在区间[-1,1] 上有极大值和极小值，求常数a的取值 范围.
利用导数证明不等式
利用极值证明不等式
-1
当0<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0 所以当x=1时，f(x)有极小值，这也是最小值
所以当x>0时，f(x)≥f(1)=0 所以原不等式成立
极大
极小
x （ ， a） a ( a , a ) a
f (x) +
0
-0
( a , )
+
f (x)
极大
极小
3
y
极大值f ( a ) 2 2a 2 0
3
当f( a） 2 2a2 0,
即a>1时，
方程有三个不同的根；
a
a
x
当a=1时，有两个根。
当0<a<1时，有唯一根
题型二、求值域 例2：设p 1,0 x 1,
A．f(x) g(x)> f(b) g(b) C．f(x) g(b)> f(b) g(x)
B．f(x) g(a)> f(a) g(x) D．f(x) g(x)> f(a) g(a)
设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数， y f (x) 的图象 如图所示，则 y f (x) 的图象最有可能的是（ C ）
练习:
如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若a>0,y' 5ax2( x2 1).由x，y，y' 的变化得
x （，1） -1 (-1,0) 0 （0，1） 1 (1,+∞)
f (x) +
0
-0
-0
+
f (x)
极大
已知 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1 有极大值和极小值， 则 a 的取值范围为( D )
( A) －1<a<2 (B) －3<a<6
(C ) a<－1 或 a>2 (D) a<－3 或 a>6
作业：
1.已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx在点x=1处有 极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的 单调区间。
）
A.e－1
B.0
C.－1
D.1
函数 f ( x ) = ax3 + ( a – 1 )x2 + 48( b – 3 )x + b 的
图象关于原点中心对称，则 f ( x) (D )
A．在[–4 3 ，4 3 ]上为增函数
B． 在[–4 3 ，4 3 ]上非单调
2.已 知a为 实 数 ，f ( x) ( x2 4)(x a) (1)求f '( x) (2)若f '(1) 0， 求f ( x)在[2,2]上 的 最 大 值 和最小值 (3)若f ( x)在( ,2]和[2, )上 是 递 增 的 ， 求 a的 取 值 范 围
C． 在[4 3 ，+∞)上为增函数, 在 (– ∞, –4 3 ]为减函数
D． 在 (– ∞, –4 3 ]为增函数，在[4 3 ，+∞)上也为增函数,
设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于零的可导函数，且
f (x)g(x) f (x)g(x) 0 ，则当 a<x<b 时有 ( C )
a=2，b=3或a=-2，b=-29
函数 f(x)=x+ a +b 有极小值 2， x
求 a、b 应满足的条件.
解：
1.设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与 y 轴交点为 P， 且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0，若函数 在 x=2 处取得极值 0，试确定函数的解析式。
无极值
极小
a b c 4 a 3
a b c 0 b 5
5a 3b
c 2
练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1
时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若a<0,y' 5ax2( x2 1).由x，y，y' 的变化得
a -3 b -5 c 2
求函数（ f x） x p （1- x）p的值域
提示：由f ’（x）=0得x=1/2
而f（0）=f（1）=1
函数的值域为[
1 2 p-1
，1]
题型三、综合运用
例3：已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是
否存在实数a,b，使f(x)在[-1,2]上取得最
大值3，最小值-29,若存在，求出a,b的值； 若不存在，请说明理由。
练习: 如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在
x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0 , 试求a,b,c的值 .
提示：y' 5ax4 3bx2 .由y' 0.得
x2( 5ax2 - 3b ) 0
x 1是极值点，5a - 3b 0
又 x2 0
x=0，x= 1可能是极值点。
练习3：
求函数y x3 - 3ax 2(a 0)的极值,并问方程
x3 - 3ax 2 0何时有三个不同的实根?
何时有连个根?有唯一的实根?
a>0,y' 3x2 3a.由x，y，y' 的变化得
x （ ， a） a ( a , a ) a
f (x) +
0
-0
( a , )
+
f (3;ax2+x在区间[-1,1] 上有极大值和极小值，求常数a的取值 范围.
利用导数证明不等式
利用极值证明不等式
-1
当0<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0 所以当x=1时，f(x)有极小值，这也是最小值
所以当x>0时，f(x)≥f(1)=0 所以原不等式成立
极大
极小
x （ ， a） a ( a , a ) a
f (x) +
0
-0
( a , )
+
f (x)
极大
极小
3
y
极大值f ( a ) 2 2a 2 0
3
当f( a） 2 2a2 0,
即a>1时，
方程有三个不同的根；
a
a
x
当a=1时，有两个根。
当0<a<1时，有唯一根
题型二、求值域 例2：设p 1,0 x 1,
A．f(x) g(x)> f(b) g(b) C．f(x) g(b)> f(b) g(x)
B．f(x) g(a)> f(a) g(x) D．f(x) g(x)> f(a) g(a)
设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数， y f (x) 的图象 如图所示，则 y f (x) 的图象最有可能的是（ C ）
练习:
如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1 时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c 的值 .
若a>0,y' 5ax2( x2 1).由x，y，y' 的变化得
x （，1） -1 (-1,0) 0 （0，1） 1 (1,+∞)
f (x) +
0
-0
-0
+
f (x)
极大
已知 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1 有极大值和极小值， 则 a 的取值范围为( D )
( A) －1<a<2 (B) －3<a<6
(C ) a<－1 或 a>2 (D) a<－3 或 a>6
作业：
1.已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx在点x=1处有 极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的 单调区间。