第三章对数函数的运算法则(全)
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
教案：幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = x^a，其中a 是实数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，随着a 的不同取值，曲线的形状也会发生变化。
当a > 1 时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在x > 0 的区间上是减函数；当a = 0 时，函数是常数函数；当a < 0 时，函数在x >0 的区间上是增函数。
1.2 幂函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的幂函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x > 0 的区间上有定义；当a < 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x < 0 的区间上有定义；当a 为正整数时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当a 为负整数时，函数在x < 0 的区间上是增函数。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a 是正实数。
性质：指数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
指数函数的图像经过点(0, 1)，并且随着a 的增大，曲线的斜率也会增大。
2.2 指数函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的指数函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 1 时，函数在整个实数域上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在整个实数域上是减函数；指数函数的图像具有反射性，即f(x) = a^x 和f(x) = a^(-x) 的图像关于y 轴对称。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = log_a(x)，其中a 是正实数。
性质：对数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
对数函数计算全
§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 (1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)②log a MN＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R ) 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．2．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____.1．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，7) B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞)2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg24．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞)5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.136．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.1357．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 8．log (2－1)(2＋1)＝________.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 365.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．2．2.1 对数与对数运算(一)自学导引 1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(1)1的对数为零； (2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3.变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝52．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( ) A ．log 6a ＝a B ．log 6b ＝a C ．log a b ＝6 D ．log b a ＝63．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 54．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．3105．2·log 25＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．25 5C ．2＋52D ．1＋52二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值； (2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．10．求x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.对数与对数运算(二)自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c.。
对数函数基础运算法则及例题答案
对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞．对数的四则运算法则：若a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0,则1log ()log log a a a MN M N =+; 2 log log log a a a M M N N=-; 3log log ()n a a M n M n R =∈. 4N nN a n a log 1log =例1．已知x =49时,不等式 log a x 2 – x – 2＞log a –x 2 +2x + 3成立,求使此不等式成立的x 的取值范围.解：∵x =49使原不等式成立. ∴log a 249)49(2--＞log a )3492)49(1[2+⋅+⋅即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜1639. 所以y = log a x 为减函数,故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x , 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25,2( 例2．求证：函数f x =xx -1log 2在0, 1上是增函数.解：设0＜x 1＜x 2＜1,则f x 2 – f x 1 = 212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1,∴12x x ＞1,2111x x --＞1. 则2112211log x x x x --⋅＞0, ∴f x 2＞f x 1. 故函数f x 在0, 1上是增函数例3．已知f x = log a a – a x a ＞1.1求f x 的定义域和值域； 2判证并证明f x 的单调性.解：1由a ＞1,a – a x ＞0,而a ＞a x ,则x ＜1. 故f x 的定义域为 -∞,1, 而a x ＜a ,可知0＜a – a x ＜a , 又a ＞1. 则log a a – a x ＜lg a a = 1. 取f x ＜1,故函数f x 的值域为–∞, 1.2设x 1＞x 2＞1,又a ＞1, ∴1x a ＞2x a ,∴1x a a -＜a-2x a ,∴log a a –1x a ＜log a a –2x a ,即f x 1＜ f x 2,故f x 在1, +∞上为减函数.。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为y = x^a，其中x是变量，a是常数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，取决于指数a的值。
当a为正整数时，函数在x轴的正半轴上递增。
当a为负整数时，函数在x轴的正半轴上递减。
当a为分数时，函数的图像呈现出特殊的变化规律。
1.2 幂函数的图像与性质绘制幂函数的图像，观察不同指数a对图像形状的影响。
分析幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为y = a^x，其中a是底数，x是变量。
性质：指数函数的图像是一条递增的曲线，底数a大于1时，曲线向上弯曲；底数a 小于1时，曲线向下弯曲。
指数函数的渐近线是y轴。
指数函数的值域是正实数集。
2.2 指数函数的应用分析指数函数的增长速度，比较不同底数的指数函数。
应用指数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为y = log_a(x)，其中a是底数，x是变量。
性质：对数函数的图像是一条递减的曲线，底数a大于1时，曲线向下弯曲；底数a 小于1时，曲线向上弯曲。
对数函数的渐近线是x轴。
对数函数的定义域是正实数集。
3.2 对数函数的应用分析对数函数的单调性，比较不同底数的对数函数。
应用对数函数解决实际问题，如测量、数据压缩等。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本性质回顾对数的定义，巩固对数函数的基本性质。
学习对数的换底公式、对数的反对数等基本性质。
4.2 对数的运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等运算法则。
运用对数的运算法则进行复杂对数表达式的化简和求值。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用分析实际问题，识别可以用对数函数表示的关系。
应用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
对数函数运算法则(Logarithmic function algorithm)
对数函数运算法则（Logarithmic function algorithm）对数函数运算法则(Logarithmic function algorithm)F971 pairs of conceptsIf a (a>0, and a = 1) of the power of B is equal to N, ab=N, B to a that the number is called N for the end of logarithm, recorded aslogaN=b a, which is called the logarithmic base, N is natural.From the definition of knowledge:The negative and zero no log;The a>0 and a = 1, N>0;The loga1=0, logaa=1, alogaN=N, logaab=b.In particular, the base 10 logarithm is the common logarithm of, denoted as log10N, abbreviated as lgN; the irrational number e (e=2.718 28... To the end of the log) is called the natural logarithm, denoted as logeN, abbreviated as lnN.The 2 logarithmic and exponential.The name abN formula indices ab=N (base) (index) (logarithmic power value) logaN=b (base) (log) (count)3 pairs of operation propertiesIf a>0 = 1, a, M>0, N>0, then(1) loga (MN) =logaM+logaN.(2) logaMN=logaM-logaN.(3) logaMn=nlogaM (n, R).Q: why should add formula a>0, a = 1, M>0, N>0?The logaan= (n, R)?The comparison of the logarithmic and exponential (studentform).The ab=NlogaN=b name a - power.B-The base of N - A - logB-N.countnatureAm - an=am+nAm / an=(AM) n=(a>0 and a = 1, n = R) logaMN=logaM+logaNLogaMN=LogaMn= (n, R)(a>0, a = 1, M>0, N>0)Difficult questions and breakthroughsThe log definition, why the provisions of a higher than 0, and a = 1?The reasons are as follows.If the A is less than 0 N, some of the values do not exist, such aslog-28?If a=0, N = 0 B N=0 B does not exist; not only, can be any positive number?If a=1, N = 1 B N=1 B does not exist; not only, can be any positive number?In order to avoid the above situation, so the provisions of logarithmic base is a positive number is not equal to 1?Problem solving skillsOne(1) the following index type written log type:54=625; 3x=27; 2-6=164 2; 4 13m=5 73.?(2) the following logarithmic exponential:Log1216=-4; log2128=7;The log327=x and lg0.01=-2;Ln10=2.303; LG PI =k.Analysis by the log definition: ab=N logaN=b.?Answer: (1) log5625=4. log2164=-6..The log327=x. and log135.73=m.Problem Solving StrategiesThe exponential and logarithmic type, and must only seize the log definition: ab=N? LogaN=b. (2) 12-4=16. 2 27=128. 3 3x=27.The 10-2=0.01. and e2.303=10. 10k= PI.TwoX is obtained according to the following conditions:(1) log8x=-23; (2) log2 (log5x) =0;(3) logx27=31+log32; (4) logx (2+3) =-1.Analytic (1) logarithmic index type: x=8-23=?(2) log5x=20=1. x=?(3) 31+log32=3 * 3log32=? 27=x?(4) 2+3=x-1=1x. x=?Answer (1) x=8-23= (23) -23=2-2=14.(2) log5x=20=1, x=51=5.(3) logx27=3 * 3log32=3 * 2=6,* x6=27=33= (3) 6, so x=3.(4) 2+3=x-1=1x, x=12+3=2-3. RProblem solving skillsThe thought of transformation is an important mathematical thought, logarithmic and exponential type are closely related, in addressing problems, often with conversion of two forms.The skilled application of formula: loga1=0, logaa=1, alogaM=M, logaan=n.3Logax=4 logay=5, known for A=, x, 3x-1y2 value of 12.A solution of a known, logarithmic value requires exponential value can be transformed into the logarithmic exponential, the exponent type operation evaluation;The ideas of the two pairs, on both sides of exponential as the bottom, then use logarithmic arithmetic of evaluation?Answer for a logax=4 logay=5 dreams,* x=a4, y=a5,* A=x512y-13= (A4) 512 (A5) -13=a53 - a-53=a0=1.For the solution of the two index type on both sides to take the logarithm base aLogaA=loga (x512y-13)=512logax-13logay=512 * 4-13 * 5=0,* A=1.Problem solving skillsSometimes the logarithmic ratio index operation more convenient, so in the form of index formula, can use the method of logarithm, the index operation into logarithmic.4Let X and y are positive, X and y1+lgx=1 (x = 110), LG (XY) range.Y two X, with a variable analytic equation, corresponding to each identified by positive x equation has only positive and y, so y is a function of X and LG (XY) is a function of X. So LG (XY) range is actually a function domain problems, how to establish the function relationship? Whether on both sides of the equation is known to have logarithmic?Answer y>0, X dreams x>0, y1+lgx=1,On both sides of the logarithm: lgx+ (1+lgx) lgy=0.Lgy=-lgx1+lgx (x = 110, lgx = -1).Lgx=t, lgy=-t1+t (t = -1).* LG (XY) =lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.Problem solving rulesOn one side of the equation is the effective method to solve the common logarithm with exponential and logarithmic problems; and the variable substitution is complex problem into simpler problems. LetS=t21+t, about t t2-St-S=0 equation has a real solution.Star delta =S2+4S = 0, S = -4 or S solution was more than 0,The LG (XY) in the range (- - -4, 0 u, ~ +).FiveEvaluation:(1) lg25+lg2 lg50+ (LG2) 2;(2) 2log32-log3329+log38-52log53;(3) lga+lgb=2lg (a-2b), find the value of log2a-log2b;(4) for 7lg20. The value of 12lg0.7.Analysis of relationship between 25=52,50=5 (1) * 10. to LG2 and lg5.(2) into the relation log32.(3) the log2a-log2b=log2ab equation is given by the known a, the relationship between B, whether it can calculate the value of AB?(4) 7lg20 12lg0.7 two index of power of the product, and the indexwith the common logarithm,Let x=7lg20 and 12lg0.7 can lgx find the first, then the X?Answer (1) original =lg52+lg2 LG (10 x 5) + 2 (LG2)=2lg5+lg2 (1+lg5) + (LG2) 2=lg5 (2+lg2) +lg2+ (LG2) 2=lg102 (2+lg2) +lg2+ (LG2) 2= (1-lg2) (2+lg2) +lg2+ (LG2) 2=2-lg2- (LG2) 2+lg2+ (LG2) 2=2.(2) the original =2log3FC12- (log325-log332) +log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3) from the known lgab=lg (a-2b) 2 (a-2b>0),* ab= (a-2b) 2, a2-5ab+4b2=0.L ab=1 or ab=4, where a>0, b>0.If ab=1, a-2b<0, ab=1 (round). ** ab=4,* log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4) x=7lg20 - 12lg0.7, thenLgx=lg20 * lg7+lg0.7 * LG12= (1+lg2) lg7+ (lg7-1) - (-lg2)=lg7+lg2=14,L x=14, so the original =14.Problem solving rulesThe algorithm is logarithmic logarithmic with the bottom of the basis of the algorithm is logarithmic identities on both sides of the equation have meaning, using the law of logarithmic deformation to the attention of the natural logarithm range is changed, so as to prevent extraneous roots need to be inspected, such as (3).According to a formula first for its common to the value for the original value is a method commonly used in algebraic operations, such as (4).6Proof of (1) logaN=logcNlogca (a>0, a = 1, c>0 = 1, C, N>0);(2) logab - logbc=logac;(3) logab=1logba (b>0, B = 1);(4) loganbm=mnlogab.Analysis of logaN=b ab=N (1) arranged on both sides, taking a logarithm base C for B may permit.(2) Logbc can also change with the logarithm of a to the end.(3) application (1) will be replaced logab in logarithm base B.(4) application (1) will be replaced loganbm in logarithm base a.Answer (1) logaN=b, ab=N,Both sides to take logarithm base C: B - logca=logcN,B=logcNlogca. * logaN=logcNlogca. *(2) by logbc=logaclogab. (1)So logab - logbc=logab - logaclogab=logac.(3) by logab=logbblogba=1logba. (1)Problem solving rules(1) in logaN=logcNlogca is called the logarithm of the formula, (2) (3) (4) (1) is that they are in logarithmic and logarithmic equation containing proof is often used. The formula for the logarithm, should be good at using, but also be good at reverse. (4) by (1) loganbm= logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.SevenLog67=a 3b=4 log127., known for.According to the analysis of a, B is a constant, is to use a forlog127, B log127 and 3b=4 log34=b said, that is, whether the log127 can be transformed to log base 6, and then into the base 3?Answer the known log67=a, log34=b,* log127=log67log612=a1+log62.Log62=log32log36=log321+log32,By log34=b, 2log32=b.* log32=b2, * log62=b21+b2=b2+b.* log127=a1+b2+b=a (2+b) 2+2b.Problem solving skillsLogarithm using the known conditions, the general use of the formula and logarithmic algorithms, the logarithm with known conditions that come out, this is the 8 techniques commonly used method?Known x, y, Z, R+, and 3x=4y=6z.(1) to meet the 2x=py P value;(2) to the nearest integer and p;(3) confirmation: 12y=1z-1x.The analytical conditions are given in the known exponent even equation, can introduce middle dose of M, m and X respectively, y, Z? Think again, for exponential can use the logarithmic method to solve?Answer (1) a solution of 3x=4y? Log33x=log34y? X=ylog34?2x=2ylog34=ylog316,* p=log316.For two 3x=4y=m, the logarithm to:X, lg3=lgm, ylg4=lgm,L x=lgmlg3, y=lgmlg4,2x=2lgmlg3, py=plgmlg4.By 2y=py, 2lgmlg3=plgmlg4,* p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2) 2=log39 * 2 3-p=log327-log316=log32716 dreams,P-2=log316-log39=log3169,2716<169,* log327163-p.Integer and P is the most close to the star 3.Problem solving ideasAdvocates of a given problem. Different ideas, different methods, application of different knowledge or flexibility in the use of the same knowledge, both divergent thinking, and improve the ability to analyze and solve problems, Why not??2 (2) to compare two log size. This is two log with the bottom than the size. Because the bottom of 3>1, so the natural logarithm is a large problem into two natural size, here application of advanced monotonicity of the logarithmic function, to encourage students to advance learning, active learning of conscious learning. (3) the solution of a 3x=4y=6z=m, y, Z, from X, R+,L k>1, x=lgmlg3, y=lgmlg4, z=lgmlg6,So 1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm, 12y=12, lg4lgm=lg2lgm,So 12y=1z-1x.For two 3x=4y=6z=m,There are 3=m1x, 4=m1y 2, 6=m1z 3,Third, 1, m1z-1x=63=2=m12y.* 1z-1x=12y.NineKnown positive a, B meet a2+b2=7ab. prove that logma+b3=12 (logma+logmb) (m>0 and M = 1).Analysis of the known a>0, b>0, a2+b2=7ab. in natural proof type only containing a, a type, B think: can a type of log into two times, and then the application of a2+b2=7ab?The solutions of logma+b3=logm (a+b3) 212=Problem solving skillsThe a+b3 to the two conversion to facilitate application ofa2+b2=7ab is one of the skills.The application of a2+b2=7ab to count and into a product of AB, to facilitate the application oflogarithmicoperationalproperty technique istwo.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.A2+b2=7ab dreams,?logma + B3 = 12logm7ab + 2ab9 = 12logmab = 12(logma + logmb)，即logma + B3 = 12(logma + logmb)。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
教学内容：第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质1.2 幂函数图像的特点1.3 幂函数的应用第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质2.2 指数函数图像的特点2.3 指数函数的应用第三章：对数函数3.1 对数的定义与性质3.2 对数函数图像的特点3.3 对数函数的应用第四章：对数及其运算法则4.1 对数的换底公式4.2 对数的运算法则4.3 对数函数的图像与性质第五章：实际问题中的应用5.1 利用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题5.2 练习题及解答教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义、性质及应用。
2. 利用数形结合法，引导学生观察函数图像，加深对函数性质的理解。
3. 通过例题和实际问题，培养学生的应用能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解程度。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
3. 进行单元测试，评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT，展示幂函数、指数函数和对数函数的图像及性质。
2. 教材和辅导书，提供相关知识点的详细讲解和例题。
3. 网络资源，查阅实际问题中的应用案例。
教学时间安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案（续）教学内容：第六章：指数与对数的互化6.1 指数与对数的关系6.2 指数与对数的互化方法6.3 指数与对数互化在实际问题中的应用第七章：对数函数的图像与性质7.1 对数函数的图像特点7.2 对数函数的性质7.3 对数函数图像与性质的应用第八章：对数函数在实际问题中的应用8.1 对数函数解决生长、衰减问题8.2 对数函数在几何问题中的应用8.3 对数函数在其他领域的应用第九章：对数方程与对数不等式9.1 对数方程的解法9.2 对数不等式的解法9.3 对数方程与对数不等式的应用第十章：总结与拓展10.1 幂函数、指数函数和对数函数的总结10.2 数学思想与方法的拓展10.3 课后习题与思考题教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数与对数的关系、互化方法及其应用。
对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解
§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a(MN)＝log a M＋log a N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n·log a M (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如log a[(－3)×(－4)]是存在的，但是log a(－3)与log a(－4)均不存在，故不能写成log a[(－3)×(－4)]＝log a(－3)＋log a(－4)．②防止出现以下错误：log a(M±N)＝log a M±log a N，log a(M·N)＝log a M·log a N，log a M N＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二 原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评 方法一是先将括号换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，数x 的值．错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解 由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2答案 C解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案 －1解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a. 11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解 令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z ＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可． 解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值． 解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x ＝4，∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8， 即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的． 点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a 3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， 则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c .证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c. 2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y＝ln x.实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1；(2)y ＝11－log a (x ＋a ) (a >0，a ≠1)．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的围． 解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba<log b a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小． 已知log a 12<1，那么a 的取值围是________．分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．解析 由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1；(2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三 函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，数a 的取值围． 解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减． 又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评 原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，数a的取值围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值围为[0,1]．本节容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(高考)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案 C2．(高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数 答案 D解析 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析 方法一 若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二 注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D 解析 已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数， 因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值． 解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2， 又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评 函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系：(1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n.答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1. ∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎨⎧ x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析 从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值围． 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解 －1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a ，解得⎩⎨⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。
《对数运算法则》课件
logb(mn) = n * logb(m)
2 除法法则
logb(m/n) = logb(m) - logb(n)
4 对数的换底公式
loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a,b,c为正实 数，且a≠1，c≠1
对数函数的图像
对数函数的图像
对数函数在坐标系中呈现出一种 规律的பைடு நூலகம்斜向上的曲线，图像的 特点和性质对于研究对数函数的 应用和本质具有重要意义。
对数函数也在计算机科学中有着 广泛的应用，例如在算法分析、 图像处理、热力学建模等领域都 有着节约时间、节省成本的效果。
对数函数在金融学和商业领域中 也十分常见。例如在利率计算、 财务分析、股票投资中扮演着重 要的角色。
自然对数以e（自然常数）为底数，广泛应用于科 学计算和理论推导中，有着方便的性质和简单的应 用。
• ln 1 = 0 • ln e = 1 • ln e^2 = 2 • ...
对数的性质
1
对数的基本性质
对数满足一些有趣的性质，例如 log(a*b) = log(a) + log(b)、log(a/b) = log(a) - log(b)。这 些性质使得对数的运算变得更加简便。
2
对数函数在坐标系中的位置
对数函数的图像通常表现为一条斜向上的曲线，且经过与x轴交点（1, 0），随着自变量的增 大而不断上升。
3
对称性和反函数
对数函数的反函数是指数函数，它们具有互为反函数的特点。它们的对称轴为y=x直线。
对数的运算法则
1 乘法法则
logb(m*n) = logb(m) + logb(n)
对数函数作为一个重要的函数 类别，也在微积分和微分方程 的求解中发挥着重要的作用。 例如，在连续复利计算和蒙特 卡洛积分中都需要对数函数。
必修对数函数的运算法则全
【一.教学内容：对数运算、对数函数二.重点、难点：1.对数运算（1）x N a =log N a x =⇔（2）01log =a（3）1log =a a[例215151515（3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626；（4）=⋅81log 16log 329； （5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384；（6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：（1）原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2）原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅= （5）原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=[例2]若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。
解：log 2〔log 21(log 2x)〕＝0⇒log 21(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301.11[例[例C 1，C 2[例[例（1）1log 2-=x y（2）)82(log 221--=x x y解：（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,(∴)(x f y =在（+∞,1）↑（2）↓=t y 21log 822--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(∴)(x f y =在↑--∞)2,([例7]研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。
对数函数的性质与计算方法
对数函数的性质与计算方法随着科技的进步和计算机的普及，数学在各个领域的应用也变得越来越广泛。
对数函数作为数学中的一种重要函数，在实际问题的建模和解决过程中起到了关键的作用。
本文将讨论对数函数的性质以及计算方法，旨在帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义与基本性质对数函数是指满足以下条件的函数：对于任意的正数a和大于1的实数x，存在唯一的实数y，使得a的y次方等于x，即y = logₐ(x)。
其中，a被称为对数函数的底数。
对数函数的基本性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集（x > 0），值域为实数集。
2. 当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。
3. 对数函数存在反函数，即幂函数。
即logₐ(x)的反函数为a的x次方函数。
4. 特殊情况下，底数为e（自然对数）时的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。
二、对数函数的计算方法对数函数的计算方法主要包括对数的换底公式、对数的运算法则以及特殊常用对数的计算。
1. 换底公式对于任意底数a、b和正实数x，换底公式表达为：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)利用换底公式，可以将对数函数的底数转化为常见的底数，从而简化计算过程。
2. 对数的运算法则（1）对数的乘法法则：logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)（2）对数的除法法则：logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)（3）对数的幂法法则：logₐ(x^m) = m·logₐ(x)（4）对数的换底法则（已在前文提及）通过运用对数的运算法则，可以对对数函数进行合并、拆分和化简，使得计算更加灵活和高效。
3. 特殊常用对数的计算（1）10为底的常用对数：log₁₀(x)常用记作log(x)，表示10的几次方等于x。
在计算过程中，可以直接利用计算器或者查表得到对应的数值。
对数函数运算法则
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解题方法
指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解题规律
对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.
1对数的概念
如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
由定义知：
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.
设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?
对数的基本性质和运算公式
对数的运算性质
复习重要公式
⑴ 负数与零没有对数
⑵ loga 1 0 ， loga a 1
a loga N N ⑶对数恒等式
对数四则运算公式
loga (MN ) loga M loga N
对数实际上就是指数，把真数化 成指数幂的形式就明显啦！乘积 与加法运算联系起来了（降级）。 注意既能从左到右，又能从右到 左。 除法与减法联系起来了（降级）。
计算
(1)lg14-2lg
7 +lg7-lg18 3
32 ×2) lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(
lg 243 (2) lg 9
=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg 3 +lg2)
=0 lg 27 lg 8 3 lg 10 (3) lg1.2
lg 243 lg 35 5 lg 3 5 2 lg 9 lg 3 2 lg 3 2
log2 8 3
1 log 3 9
-2
23 8
定义 一般地，如果a 的b次幂等于N, 就是: ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数
记作： loga N b 对数符号 底数 以a为底N的对数 真数
对数的值 和底数，真数有关。
常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 记作 lgN 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数 记作 lnN
对数的基本性质和运算公式对数运算公式对数函数运算公式对数的运算公式对数的运算性质对数运算性质对数的性质与运算法则对数函数运算性质对数基本公式对数运算法则
对
数
对数定义公式
对 数 运 算 法 则
对数函数对数函数对数函数对数的性质对数函数的运算法则指数函数与对数函数指数函数和对数函数恰似青梅竹马，形影不离，讲完了指数函数，不讲对数函数，似乎有点不厚道，同时，对数函数和指数函数互为反函数，简单说其中一个是用x来表示y，那么反过来便是用y表示x，请看下面的数学表达式y=axy=a^xy=ax两边取以a为底的对数，即logay=logaaxlog_ay=log_a a^xloga?y=loga?ax得到 logay=xlog_ay=xloga?y=x【后面运算法则会证明等式右边】，只是习惯上，我们喜欢用x来表示自变量，y表示因变量，而用什么字母符号来表示无所谓，于是改写成y=logaxy=log_axy=loga?x，刚开始接触这个是有点别扭不适应，回去照着多写几遍就自然理解了。
对数函数一般的把形如y=logaxy=log_axy=loga?x叫做对数函数，其中a叫做对数函数的底数，a0，且a≠1。
通常我们把以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），即log10xlog_{10}xlog10?x，简记为lgxlgxlgx，把以自然数e=2.71828···为底的对数称为自然对数（natural logarithm），即logexlog_e xloge?x，简记为lnxln xlnx，因为这两个在自然科学研究和对数变换方面经常用到，所以单独拎出来给一个简便记号。
对数的性质为了描述对数的性质，我们还是先把对数的图像画出来，然后直接看图说话比较简单些。
分a1 和 0a1两种情况(1) 当 a1时从图像看到此时指数函数定义域为（0，+∞），值域为全体实数单调增函数，即随着自变量 x 的增加，函数值也跟着增大，最后趋向无穷大过固定点（1，0）函数图像向右上倾斜，且越来越平缓左端无限接近Y轴，但是不相交（2）当0a1时从图像看到此时指数函数定义域为（0，+∞），值域为全体实数R单调减函数，即随着自变量 x 的增加，函数值反而减小，最后趋向负无穷大过固定点（1，0）函数图像向右下倾斜，且越来越平缓左端无限接近Y轴，但始终不相交知道对数函数有哪些基本性质之后，我们就要来进一步探究其运算法则对数函数的运算法则若根据指数函数，定义ab=xa^b=xab=x，则 b=logaxb=log_a xb=loga?x，对数函数有如下运算法则（0）alogax=xa^{log_a x}=xaloga?x=x（1）logaxc=c?logaxlog_a x^c=c*log_a xloga?xc=c?loga?x（2）logaM+logaN=logaMNlog_a M+log_a N=log_a MNloga?M+loga?N=loga?MN（3）logaM?logaN=logaMNlog_a M-log_a N=log_a frac{M}{N}loga?M?loga?N=loga?NM?（4）logax=logqxlogqalog_a x= frac{log_q x}{log_q a}loga?x=logq?alogq?x?其中（0）称为恒等式，结论非常直观，（1）称为对数函数线性变换，（2）和（3）称为对数函数的加减法，（4）称为对数函数换底公式，现在先来证明（1）,（2）和（4）。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义：f(x) = x^a，其中a为常数。
探讨幂函数的性质，如奇偶性、单调性等。
1.2 幂函数的图像与解析式绘制常见的幂函数图像，如f(x) = x^2，f(x) = x^-1等。
学习如何从图像得出幂函数的解析式。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义：f(x) = a^x，其中a为正常数。
探讨指数函数的性质，如单调性、特殊点等。
2.2 指数函数的图像与解析式绘制常见的指数函数图像，如f(x) = 2^x，f(x) = 3^x等。
学习如何从图像得出指数函数的解析式。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义：f(x) = log_a(x)，其中a为正常数。
探讨对数函数的性质，如单调性、特殊点等。
3.2 对数函数的图像与解析式绘制常见的对数函数图像，如f(x) = log_2(x)，f(x) = log_3(x)等。
学习如何从图像得出对数函数的解析式。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法和除法法则。
4.2 对数的复合运算法则学习对数的乘方和除方法则。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用探讨对数函数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
5.2 对数函数在其他数学领域的应用探讨对数函数在其他数学领域的应用，如微积分中的对数微分等。
第六章：指数函数的应用6.1 指数函数在实际问题中的应用探讨指数函数在实际问题中的应用，如复利计算、生物种群增长等。
6.2 指数函数在其他数学领域的应用探讨指数函数在其他数学领域的应用，如概率论中的指数分布等。
第七章：幂函数和指数函数的综合应用7.1 幂函数和指数函数在实际问题中的应用探讨幂函数和指数函数在实际问题中的应用，如物理学中的能量公式、经济学中的需求函数等。
7.2 幂函数和指数函数在其他数学领域的应用探讨幂函数和指数函数在其他数学领域的应用，如图论中的指数时间算法等。
第3章+第6讲+对数与对数函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的 底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到 右底数逐渐增大．
1．(2020·全国Ⅰ卷)设 alog34＝2，则 4－a＝( )
1 A.16
B．19
C．18
D．16
解析 由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19.故选 B.
程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正
是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才
数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 ab＝N⇔b＝logaN.现已知 a＝
log26,3b＝36，则1a＋2b＝______1_____2ab＝_____3___. 解析 a＝log26,3b＝36，则 b＝log336＝2log36，则1a＋2b＝log62＋log63
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
解析 由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，∵y＝ln t为增 函数，∴要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增 区间．∵当x∈(4，＋∞)时，函数t＝x2－2x－8为增函数，∴函数f(x)的单调 递增区间为(4，＋∞)．故选D.
解析 答案
6．函数 y＝
的定义域是________.
答案 12，1 解析 由 log23(2x－1)≥0 得 log23(2x－1)≥log231，所以 0<2x－1≤1，解
得12<x≤1.故原函数的定义域为12，1.
对数运算法则及推论
对数运算法则及推论1.对数函数定义：对于正实数a>0，且a≠1，以b为底的对数函数Lg(x)定义为：Lg(a)=c，当且仅当b^c=a。
这里，b称为对数的底，x称为真数，c称为对数。
2.对数函数的基本性质：a)Lg(1)=0：以任何正数为底的对数函数，对数1等于0。
b)Lg(a)=1，当且仅当a=b：对数等于1，当且仅当真数等于底。
c)Lg(a*b)=Lg(a)+Lg(b)：对数函数的乘法法则，两个数的乘法的对数等于对应的对数相加。
d)Lg(a/b)=Lg(a)-Lg(b)：对数函数的除法法则，两个数的除法的对数等于对应的对数相减。
e)Lg(a^n)=n*Lg(a)：对数函数的幂法则，一个数的n次幂的对数等于对应的对数乘以n。
3.推论1：对数的负值和倒数a)Lg(1/a)=-Lg(a)：一个数的倒数的对数等于对应的对数相反数。
b)Lg(a^(-n))=-n*Lg(a)：一个数的负指数的对数等于对应的对数相反数乘以n。
4.推论2：对数函数的换底公式对数函数的换底公式允许我们在计算时将底数换成其他值，比如以10为底换成以e为底。
Lg(x)=Ln(x)/Ln(b)：以b为底的对数等于以e为底的对数除以以b为底的对数。
5.推论3：对数函数的对数积性Lg(a*b)=Lg(a)+Lg(b)：对数函数的乘法法则反过来，两个数的乘法等于对应的对数相加。
Lg(a^n)=n*Lg(a)：对数函数的幂法则反过来，一个数的n次幂等于对应的对数乘以n。
6.推论4：对数函数的对数分解Lg(ab) = Lg(a) + Lg(b)：对数函数的乘法法则反过来，两个数的乘法等于对应的对数相加。
Lg(a/b)=Lg(a)-Lg(b)：对数函数的除法法则反过来，两个数的除法等于对应的对数相减。
7.推论5：对数函数的对数幂Lg(a^n)=n*Lg(a)：对数函数的幂法则反过来，一个数的n次幂等于对应的对数乘以n。
8.推论6：对数函数的对数中的对数Lg(Lg(x))=Ln(Ln(x))/Ln(b)：对数函数中的对数等于以e为底的对数除以以b为底的对数。
对数函数的计算与应用
对数函数的计算与应用一、引言对数函数是数学中重要的一类函数，在很多实际问题中都有广泛应用。
它可以用来描述指数增长、解决指数方程以及进行数据压缩等。
本文将介绍对数函数的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算。
常用的对数函数有自然对数函数（以e为底）和常用对数函数（以10为底）。
对数函数有以下几个重要性质：1. 对数函数的定义：对于任意正数a、b（a≠1），b^x=a成立的充分必要条件是x=loga(b)，其中loga(b)表示以a为底b的对数。
2. 对数函数的性质：a) loga(1)=0，即任何底数对数函数的1的对数都是0。
b) loga(a)=1，即任何底数对数函数的底数的对数都是1。
c) loga(b*c)=loga(b)+loga(c)，即底数为a的对数函数满足对数运算的乘法法则。
d) loga(b/c)=loga(b)-loga(c)，即底数为a的对数函数满足对数运算的除法法则。
e) loga(b^c)=c*loga(b)，即底数为a的对数函数满足对数运算的幂运算法则。
三、对数函数的计算方法对数函数的计算可以通过计算器或计算软件进行，也可以手动计算。
以下是常用对数函数的计算方法：1. 自然对数函数的计算：自然对数函数（以e为底）可通过计算器或软件使用ln函数进行计算。
例如，ln(2)≈0.693。
2. 常用对数函数的计算：常用对数函数（以10为底）可以通过计算器或软件使用log函数进行计算。
例如，log(100)=2。
3. 其他底数对数函数的计算：对于其他底数的对数函数，可以使用换底公式进行计算。
换底公式为loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中c为任意正数。
例如，计算log5(25)，可以使用换底公式将其转化为常用对数函数：log5(25)=log10(25)/log10(5)。
四、对数函数的应用对数函数在许多实际问题中有重要的应用。
对数函数乘法运算法则
对数函数乘法运算法则
与乘除法相比较：
（1）对于乘法有a*p+a*q=a*(p+q)，
（2）令a*p=M，a*q=N，则有p=M/a，q=N/a，上式：M+N=a*（p+q）
（3）两边同时除以a：M/a+N/a=p+q=（M+N）/a
幂运算里指数之间的加减关系作用于底数之后就是乘除关系。
因而两个幂相乘所对应的指数就是分别两个幂的指数相加。
运用a?=M 的方式直观理解：?M 个a相乘得M，?N 个a相乘得N，那么要得M*N，需有?M+?N个a相乘才行，所以就是?M+?N = ?M∗N ，也就是logaM+logaN=loga(M∗N)
（2）logaM−logaN=loga(M/N)
其原理与（1）类似，把减法看作“加上负数”，除法看作“乘以倒数”就可以，请自行推导、比较。
（3）logaMn=nlogaM
原理：（1）Mn=M∗M∗M∗......∗M （n个M相乘）
（2）两边同时取以a为底的对数：
左边= logaMn
右边= loga(M∗M∗M∗......∗M) （n个M相乘），
（3）根据loga(M∗N)=logaM+logaN
右边= logaM+loga(M∗M∗......∗M) （n-1个M相乘）
= logaM+logaM+loga(M∗......∗M) （n-2个M相乘）
......
= logaM+logaM+logaM+......+logaM （n个logaM 相加）
= nlogaM
此外：logamN=logaN1/m=(1/m)logaN
证明：令p=logamN ，于是(am)p=N ，
所以logaN=m∗p=m∗logamN。
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y log a b x
（ 10） log a b log b a 1
2. 对数函数 y log a x ， a 0 且 a 1 定义域 （ 0, ）
值域 R
单调性 a (0,1)
a (1, )
奇偶性 过定点 图象
非奇非偶 （ 1，0）
y log a x 与 y
log 1 x 关于 x 轴对称
a
精品资料
综上所述， log a (1 x) log a (1 x)
[ 例 9] 函数 y f ( x) log 2 (kx2 4kx 3)
（ 1）若定义域为 R，求 k 的取值范围。
（ 2）若值域为 R，求 k 的取值范围。
解：
（ 1） k 0 时， y log 2 3 x R
k0
0k 3
16k 2 12k 0
7. 研究函数 y f (x) log a ( ax 1) （ a 0 且 a 1 ）的定义域及单调性。
【试题答案】
1.
（ 1） 5 3( log 5 2) 5log 5 8 8
（ 2）原式
lg 2 lg 2
1
（ 3） (1 log 2 3)(1 log 3 2) (log 2 3 log 3 2) 2
；
（ 4） lg 2 lg 3 (lg 6) 2 lg 6 6 2 lg 6
。
2. 正实数 x, y 满足 3 x 4 y 6 z
（ 1）求证： 1 1 1 z x 2y
（ 2）比较 3x,4y,6 y 的大小关系
3. 已知 log 3 2 a ， log 5 2 b 试用 a,b 表示 log 30 90
D. 4 , 3, 1 , 3 3 10 5
答案： A
[ 例 5] 求下列函数定义域
（ 1） y lg[lg(lg x)]
（ 2） y lg( x 2 3x 4)
（ 3） y
log 1 ( x 1)
2
解：
（ 1） lg[lg x] 0 lg 1 ∴ lg x 1 ∴ x (10, ) （ 2） x 2 3x 4 0 x ( , 1) ( 4, ) （ 3） 0 x 1 1 x (1,2]
log 6 2 log 6 18
log 6 36
2
4
4
8
( log 3 2) ( log 2 3)
2
5
5
5
3
3
15
( log 2 3) ( log 3 5) ( log 5 2)
6
2
2
8
lg 25 lg 2(lg 50 lg 2)
lg 25 2 lg 2
lg 100
2
[例 2] 若 x, y, z 满足 log 2[log 1 (log 2 x)] log 3[log 1 (log 3 y)] log 5[log 1 (log 5 z)]
4
k0
（ 2）
16k 2 12k 0
3 k [,
4
∴k )
3 [ 0, )
4
【模拟试题】（答题时间： 30 分钟）
1. 求值：
精品资料
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（ 1） ( 1 ) log 5 2 125
（ 2） lg 4 lg 5 1 2 lg 0.5 lg 8
； ；
（ 3） (log 2 6)(log 3 6) (log 2 3 log 3 2)
4. x
(1,d ) ， a
log
2 d
x，b
log d x 2 ， c
log d (log d x) ，试比较 a,b, c 大小关系。
5. 若 a 2
b
a
b
a 1，则 log a ,log b ,log b a, log a b 的大小关系是
。
b
a
6. n m 1 ，试比较 log m n 与 log 2m 2n 的大小关系。
∴b a 0 c
a 5. log a 1 log a b 0
b
1 l o gb a ( ,1)
2
l o ga b
b
1
l o gb 1 l o gb a 0 (0, )
a
2
(1, 2)
b ∴ log a b log b a log b
a
a log a
b
6. log m n log 2m 2n log 2 n 1 log 2 n
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【典型例题】
[ 例 1] 求值
（ 1）
1 (
)
log 3 7
；
9
（ 2） log15 2
3 log 15
log 15 20
log15 4
；
2
（ 3） (log 6 2) 2 log 6 2 log 6 3 log 6 18
；
（ 4） log 9 16 log 32 81
；
（ 5） (log 4 3 log 8 3)(log 3 5 log 9 5) (log 5 2 log 25 2)
∴ y f ( x)
l o ga t
log 2 n log 2 m
0
log 2 m 1 log 2 m log 2 m(1 log 2 m)
7.
（ 1） a (0,1)
x
0
a 1a
∴ 定义域为 ( ,0) y
t ax 1
∴ y f (x)
（ 2） a (1, ) a x 1 a 0
∴ 定义域为 (0, )
y log a t
t ax 1
2
3
5
0 ，试比较 x、 y、z 的大小关系。
解： log2〔 log 1 (log 2x) 〕＝ 0 log 1 (log 2x) ＝ 1
2
2
1
同理可得 y＝ 3 3 ＝ (310) 30 ,z＝ 5 5 ＝ (56) 1
1
log2x ＝
2
1
30
.
1
x ＝ 2 ＝ (215) 30 .
∵ 310>215>56，由幂函数
（ 4） lg 2 lg 3 (lg 6 1)2 lg 6 1 lg 6 1
2.
（ 1）令 3x 4 y 6 z 10 k 0
k ∴x
k y
k z
lg 3
lg 4
lg 6
1 1 1 (lg 6 lg 3) 1 lg 2
zxk
k
1 lg 4 1 lg 2
2y 2k k
∴ 成立
（ 2） 3x 4 y 3k 4k k 3lg 4 4 lg 3
1 log 2 5
b
log 30 90
log 2 90 log 2 30
1 2 l o g2 3 l o g2 5 1 l o g2 3 l o g2 5
12 a 1
1
1 b 1
ab
ab a 2b ab a b
4. a log d x log d x b 2 l o gd x
∵ log d x ( 0,1)
30
y＝ x 在(0， +∞ )上递增知， y>x>z.
[ 例 3] 若 log a1 b1 log a2 b2 …… log an bn
，则 log ( a1a2 a n ) (b1 b2 bn )
。
解： 由已知 b1 a1 ， b2 a 2 bn a n
∴ (b1 bn ) (a1 ∴ log ( a1 an ) ( b1b2
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年级 内容标题
高一
学 科 数学
对数运算、对数函数
版 本 人教实验 A 版
【 本讲教育信息 】
一 . 教学内容： 对数运算、对数函数
二 . 重点、难点：
1. 对数运算
a 0, b 0, a 1,b 1, M 0, N 0 （ 1） log a N x a x N
（ 2） log a 1 0
an ) bn )
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[ 例 4] 图中四条对数函数 y
C1， C2 ，C3， C4 的值依次为（
A. 3, 4 , 3 , 1
B.
3 5 10
43 1 log a x 图象，底数 a 为 3, , , 这四个值，则相对 , 3 3 10 5
C. 4 , 3, 3 , 1 3 5 10
lg 3 lg 4
lg 3 lg 4
k [lg 64 lg 81] 0
lg 3 lg 4
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4k 6k
k
4y 6z
[ 4lg 6 6 lg 4]
lg 4 lg 6 lg 4 lg 6
2k [lg 36 lg 64] 0
lg 4 lg 6 ∴ 3x 4 y 6 z
1 a log 2 3
3.
（ 3） log a a 1 （ 4） a log a N N
（ 5） log a (M N ) log a M log a N
M （ 6） log a
N （ 7） log a M x
log a M log a N x log a M
（ 8） log a M log b M / log b a
（ 9） log x b y a
解：
（ 1） a (0,1) 时， log a (1 x) log a (1 x) log a (1 x) log a (1 x) log a (1 x 2 ) 0
（ 2） a (1, ) 时， log a (1 x) log a (1 x 2 ) 0
log a (1 x)
log a (1 x) log a (1 x)
；