第1章 矩阵 练习题

第1章 矩阵 练习题
1、设 f (x) = x 2 - 3x + 2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3121A ，求 f (A) 。

（ ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=0122)(A f ）
2、设矩阵 X 满足 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C O E B E O X E A O B A T ，其中⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=4231C ，E 是2阶单位矩阵，O 是2阶零矩阵，求矩阵X 。

（ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-=-3312
)(1T C E C X ）
3、计算下列矩阵的乘积（其中 m ，k ，n 均为正整数）：n
k m
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛110010001101010001100011001。

（ ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+101
001n k m n m ）
4、已知矩阵 A = BC ，其中 ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=121B ，C = ( 2, -1, 2 ) ，求 A 100。

（ ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---242121242299 ）
5、设向量 α = ( 1 , 2 , 3 , 4 )，β = ( 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 )，且 A = αT β，求 A 10 。

（ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛13/4244/312/332/13/2124/13/12/1149 ）
6、已知 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=111220300A ，求 A 的伴随矩阵 A* 。

（
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---00203
2630
）
7、求矩阵 ⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=00010011
0111
111
1
A 的逆矩阵。

（
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----0001100110
00100010001100010000
）
8、设三维列向量 α = ( 1 , 0 , -1 )T ，三阶方阵 A = 3E - ααT ，其中E 为三阶单位矩阵，求
矩阵 A 及 A 的逆矩阵 A -1。

（ ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-20101010231,
2010301021
A A ）
9、（1）设分块矩阵 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=C A B H 0可逆，其中 A 、 B 分别为 m 阶、n 阶可逆矩阵，求 H -1
； （2）利用（1）的结果，计算下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=31132
225
1100120
H 。

（ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-----002100115343222116
8011
111
A B CA B H
）
10、当 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/12/32/32/1A 时，A 6 = E ，求 A 11 。

（ ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-==-2/12/32/32/11
11A A ）
11、已知三阶方阵 A 的逆矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-3111211111A ，求 ( A* )-1 。

（ ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----==-1010221251*)(1
A A A ）
12、已知三阶方阵 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2/52/3012/10
001A ，求 ( (A*)T )-1 。

（ ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----==-1040620004det 1)*)((1
T
T A A A ）
13、已知三阶方阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A ，求 ( (A*)-1 )T 。

（ ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-2/32/12/12/112/12/12/12/1det 1
)*)((1T T A A A ）
14、求解矩阵方程 AX = B ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121112110A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=100142B 。

（
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--152/12/72/52/19 ）
15、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101410311A ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=120002011B 。

求矩阵方程 X - XA = B 。

（ ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=-=-012025120)(1
A E
B X ）
16、已知A=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-102210011，三阶矩阵X 满足A 2 X = 2E + AX ，求矩阵X 。

（ ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-=-3/23/43/13/13/23/23/43/23/2)(21
2A A X ）
17、已知 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=100110111A ，且 A 2 - AB = E （其中 E 为三阶单位矩阵），求矩阵 B 。

（ ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-=-0010020001
A A
B ）
18、设三阶方阵 A 、B 满足关系式 A -1
BA = 5A + BA ，其中⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=11/10006/1000
2/1A ，求矩阵 B 。

（ ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=--2/100010005)(51
1E A B ）
19、已知矩阵 ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111011001A ， ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=011101110B ，且矩阵 X 满足
A X A -
B X B = B X A - A X B + B -1
，求矩阵 X 。

（ ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=-+=-1010102/311))()((1B A B B A X ）
20、已知3阶矩阵100020,001 A ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
满足关系*28 A BA BA E =-（其中*A 为矩阵Ａ的伴随矩
阵）。

求矩阵 B 。

（ ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=+=-=--200040002
)(4*)2(81
1E A AA A B ）
21、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=111111111
A ，矩阵 X 满足 A* X=A -1 + 2X ，其中 A* 是 A 的伴随矩阵，
求矩阵 X 。

（ ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=-4/14/1004/14/14/104/1)2(1
A E A X ）
22、求矩阵 X ，使 AX + BA -1 - A -1
BX = 0，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120210006B 。

（ ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-=---12/102/110
003)(1
11BA A B A X ）
23、设 11)2(--=-C A B C E T ，其中E 是4阶单位矩阵，T A 是4阶矩阵A 的转置矩阵，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---=10
002100021
010
2
1,1000210032102321
C B ，求矩阵A 。

（ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=-=-1000210012100121))2((1
T B C A ）
24、设 A 、B 为 n 阶矩阵，且满足 2 B -1 A = A - 4 E ，其中 E 为 n 阶单位矩阵，
（1）证明：矩阵B - 2 E 可逆，并求 ( B - 2 E ) -1
；（2）设 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=808080808A ，求 ( B - 2 E ) -1 。

（ ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=--2/10102/10
102/1)4(81
)2(1
E A E B ）
25、设 A 为三阶方阵，detA = -1 / 3，A* 为 A 的伴随矩阵，求行列式 | ( -2A )-1 - 3A* | 之值。

（ - 3 / 8 ）
26、设4阶矩阵 ()4321,,,αααα=A ，向量 β = ( 1 , 1 , 1 , 1 )T ，又设 A i j 是矩阵 A 中元 a i j （i ，j = 1，2，3，4）的代数余子式，且 det A = 2，A 11 + A 21 + A 31 + A 41 =1， 求行列式 | 3 α1 - 2 β ，α2 ，α3 ，α4 | 之值。

（ 4 ）
27、设 α、β、γ1 、γ2 均为 3 维行向量，并且 ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2132γγαA ，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21γγβB ，已知 | A | = 6，
| B | = 1 / 2，求 | A - B | 。

（ 1 ）
28、设矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=5000740
000210012A ，求 | A 6 | 。

（ | A 6 | = | A | 6 = 1012
）
29、设 A 是 n 阶方阵，A T A = E ，且 | A | = -1，求 | A+E | 。

（ 0 ）
30、设矩阵 A* 为 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，求出 | | A*| A | 的值。

（ 1
2+-n n A ）
31、设 A 是四阶可逆矩阵，并且 | A | = 6，A* 是矩阵 A 的伴随矩阵，求 | | A*| A | 、 | | A -1 | A | 、| A* A -1 | 。

（ 613 、1 / 216、36 ）
32、计算下列行列式
（1）x
x x
D n a
a a a a a
=
（ [ x + ( n - 1 ) a ] ( x - a )n - 1 ） （2）1
11
1111111111x 111----+----+x x x （ x 4 ）
（3）
d
d b
b b
b d d
c c c
c a
a a a （ 0 ） （4）
a a
a
a
a
b a a a a
b a
a a a
b a
a a a
b a
a a a
b a a a a b a a a a a （ ( 5a+b ) ( a - b )5 ）
（5）
33
33313333233333333
13333333 -n n （ n ≥ 3 ） （ )!3(6)1(2
)1(-⨯⨯--n n n ）
（6）n
n
n
n
n
n n n n n n n b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11
1
111111
112
1
211221212
1
---------- （ n n n b b b 212
)3()
1(+- ） （7）n
21
n 21b 100b 010b 0
1
0a a a
（ ∑=+-n
i i i n b 1
1
a )
1( ）
（8）5
000104001003010
00211
1111 （ -34 ）
（9）n
32
1a 1111a 111
1
a 1
111a
，其中 a i ≠ 1，i = 1，2，…，n （ ∏∑==--+n
i i n
j j
11)1a ()1a 1
1( ）
（10）n
n 3
2
1
n 332
1
n 32
21
n 3
21
1b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a ++++
，其中 b i ≠ 0，i = 1，2，…，n （ )a 1)((1
1
∑
∏==+n
i i
i
n i i b b ） （11）c
c b b a a ------10
01100110011 （ 1 ）
（12）计算n 阶行列式
n
n n n n n n )1(0001
1)2(0020
20030020200211
000
1---------- （ ( n + 1 ) ! / 2 ）
（13）a
110
a a 11000a
a 110
0a a 11
00
a a
15---------=D （
∑=-5
)
a (i i
）
（14）x
x x n n 0
a 100a 0
01a 0
001a 1
2
1
----- （n > 1） （ a 0 x n -1 + a 1 x n -2 + … + a n -2 x + a n -1 ） （15）y y x x D -+-+=222
22222222222224 （ x 2 y 2 ）
（16）y
x y x y x y x y x y x y
x y x D -+-++-+-=00
00
000
4
（ 16 x 2 y 2 ） （17）n
n
n n n b D a 0
b a 0000
0b a 00
00
b a 11
221
1
--= （n > 1） （ a 1 a 2 … a n + ( -1) n + 1 b 1 b 2 … b n ） （18）5
200035200035200
03520
00355=D （ 665 ）
（19）600395204
300200100301199103 （ 2000 ）
33、设 n 阶行列式 D n 的元素 a ij 满足 a ij = min ( i , j ) ，求 D n 的值。

（ 1 ）
34、求出方程
03
3
2
32
1
2
11
=---λλλ的根 λ 。

（ -2，34-，34+ ）
35、当 x 、y 满足什么条件时，可使行列式 0=x
x y
x
y x y x
x。

（ y = - 2x 或 y = x ）
36、（1）设行列式 328
5527112536212----=A ，又设 A ij 是 | A | 中元素 a ij 的代数余子式（i ，
j = 1，2，3），求A 11 + A 12 + A 13 + A 14 的值。

（ 0 ）
（2）已知五阶行列式51234522211det 3124527111224315 D 0⎛⎫
⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，其中A 41 ，A 42 ，A 43 ，A 44 ，A 45
是a 41 ，a 42 ，a 43 ，a 44 ，a 45 的代数余子式， 求：① A 41 + A 42 + A 43 的值；② A 44 + A 45 的值。

（ ① -9 ； ② 18 ）
（3）设4阶行列式
1101
2114103
1031
，若 A ij 是 a ij 的代数余子式（i , j = 1, 2, 3, 4），求 1312A A 的
值 。

（ -1 ）
37、设 A = ( a i j ) 为 n （n ≥ 3）阶非零实矩阵，且已知 A i j = a i j （ i ，j = 1 , 2 , … , n ），其中 A i j 为该矩阵元素 a i j 的代数余子式，求 det A 。

（ 1 ）
38、证明题
（1）设 n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=n A a a a 2
1
，其中 a i ≠ a j （ i ≠ j ，i , j = 1，2，…，n ）。

求证：与 A 可交换的矩阵只能是对角矩阵。

（2）设 A 、B 均为 n 阶矩阵，且满足 A 2 = E ，B 2 = E （E 为单位矩阵），求证：( AB )2 = E 的充分必要条件是 A 与 B 可交换。

（3）证明：若 A 为 n 阶可逆矩阵，且与矩阵 B 可交换，则 A -1 也与 B 可交换。

（4）设 A 和 B 都是数域 F 上的 n 阶矩阵，试证：如果 E - AB 可逆，则 E - BA 也可逆，且 ( E - BA ) -1 = E + B ( E - AB ) -1 A 。

（5）设 A 为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 B 且满足 2 B -1 A = A - 4 E ，
① 证明：矩阵B - 2 E 可逆，并求 ( B - 2 E ) -1 ；② 设 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=808080808A ，求 ( B - 2 E ) -1 .
（ ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=--2/10102/10
102/1)4(81
)2(1
E A E B ）
（6）设 A 为 n 阶可逆矩阵，并且 A 2 = | A | E ，证明： A* = A 。

（7）设 A 是一个 n 阶可逆矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，试证：( A* )-1 = ( A -1 )* 。

（8）设 A 是 n 阶方阵，且 AA T = E ，证明： ( A* )T = ( A* ) -1 。

（9）设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行与第j 行对换后得到矩阵B 。

（1）证明B 可逆；（2）求1-AB 。

（ 1-AB = P ( i , j ) ）
（10）证明 011112
210a a a a a a a a 1
00000
000010
0001++++=+-------x x x x x x x x
n n n n n。

（11）设三阶行列式 D = | a ij | ，且 a ij 的代数余子式为 A ij （i ，j = 1，2，3），证明：∑∑==+=+++++++++3131333231232221131211a a a a a a a a a i j ij A x D x x x x x x x x x 。