新高考数学一轮复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法增分练

新高考数学一轮复习第6章不等式第2讲一元二次不等
式及其解法增分练
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1．[2018·潍坊模拟]函数f(x)＝的定义域是( )
A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B ．(1,3)
C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D ．(1,2)∪(2,3) 答案 D
解析 由题意知即⎩⎪⎨⎪⎧
1<x<3，x≠2， 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．
2．关于x 的不等式x2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为
( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 B
解析 依题意得q,1是方程x2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即
p ＋q ＝－1.选B.
3．[2018·郑州模拟]已知关于x 的不等式>0的解集是(－∞，－
1)∪，则a 的值为( )
A ．－1 B. C ．1 D ．2
答案 D
解析 由题意可得a≠0且不等式等价于a(x ＋1)x －>0，由解集的
特点可得a>0且＝，故a ＝2.故选D.
4．[2018·福建模拟]若集合A ＝{x|ax2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a
的取值范围是( )
A ．(0,4)
B ．[0,4)
C ．(0,4]
D ．[0,4]
答案 D
解析 由题意知a ＝0时，满足条件．
a≠0时，由得0<a≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．
5．[2018·梧州模拟]不等式<1的解集是( )
A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－1,1)
答案 A
解析 ∵<1，∴－1<0，即<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，
∴x<－1或x>1.
6．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( )
A ．x>1或x<
B ．x>1或－1<x<12
C ．－1<x<
D ．x<－1或x>12 答案 B
解析 原不等式等价于或⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1<0，1－|x|>0. ∴或⎩⎪⎨⎪⎧
x<12
，－1<x<1. ∴x>1或－1<x<.故选B. 7．[2018·重庆模拟]关于x 的不等式x2－2ax －8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a ＝( ) A. B. C. D.152
答案 A
解析 由条件知x1，x2为方程x2－2ax －8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a ，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－
4×(－8a2)＝36a2＝152，得a ＝.故选A.
8．[2018·青岛模拟]不等式2x2－3|x|－35>0的解集为
________．
答案 {x|x<－5或x>5}
解析 2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|
＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－(舍)⇔x>5或x<－5.
9．已知关于x 的不等式ax2＋2x ＋c>0的解集为，则不等式－cx2
＋2x －a>0的解集为________．
答案 (－2,3)
解析 依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧
－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ， ∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx2＋2x －a>0，即为－2x2＋2x ＋12>0，即x2－x －6<0，解得－2<x<3.所以不等式的解集为(－
2,3)．
10．对于任意a∈[－1,1]，f(x)＝x2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大
于0，那么x 取值范围是________．
答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 令g(a)＝x2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x2－4x ＋4，由
题意得g(－1)>0且g(1)>0，即解得x<1或x>3.
[B 级 知能提升]
1．[2018·保定模拟]若不等式x2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，
则a 的取值范围是( )
A. B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)
D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 答案 A
解析 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积
为负，所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1,5]上有解，只需满足f(5)>0，即a>－.
2．[2018·辽宁模拟]若不等式2kx2＋kx －<0对一切实数x 都成
立，则k 的取值范围为( )
B．[－3,0)
A．(－3,0)
D．(－3,0]
C．[－3,0]
答案D
解析当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2
＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－3<k<0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值
范围是(－3,0]．3．[2018·西安质检]在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对
任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
答案3
2解析原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，
即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，
x2－x－1＝2－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
4．[2018·池州模拟]已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.
解(1)∵函数f(x)＝的定义域为R，
∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有解得0<a≤1，
综上，a的取值范围是[0,1]．
(2)∵f(x)＝＝，
∵a>0，∴当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意，得＝，∴a＝.
∴x2－x－2－<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，－<x<.故不等式的解集
为. 5．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－
3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.当x∈(－3,2)时，f(x)>0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)若ax2＋bx ＋c≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．
解 (1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－
3,2)时，f(x)>0，
所以－3,2是方程ax2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得所以a ＝
－3，b ＝5，f(x)＝－3x2－3x ＋18＝－32＋18.75，
函数图象关于x ＝－对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]
上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12，
故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)由(1)知，不等式ax2＋bx ＋c≤0化为－3x2＋5x ＋c≤0，因为二次函数y ＝－3x2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x2＋5x ＋c≤0的
解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3<0，Δ＝b2－4ac≤0， 即25＋12c≤0⇒c≤－，所以实数c 的取值范围为.。