2007年全国硕士研究生入学统一考试数学模拟试题

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学模拟试题
一、选择题（1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）设()()
()x x x g dt t x f x
43sin 02tan ,1ln +=+=⎰，则当0→x 时，()x f 是()x g 的
（ ） （A ）等阶无穷小 （B ）同阶但不等价的无穷小
（C ）高阶无穷小 （D ）低阶无穷小
（2）下列结论中正确的是 （ ）
(A) ⎰
∞++1)1(x x dx 与⎰+10)1(x x dx 都收敛. （B ）⎰∞++1)1(x x dx 与⎰+10)1(x x dx 都发散. (C)
⎰∞++1)1(x x dx 发散，⎰+10)1(x x dx 收敛. (D) ⎰∞++1
)1(x x dx 收敛，⎰+10)1(x x dx 发散. （3）设函数()y x f ,具有连续二阶偏导数，且满足条件2222y
f x f ∂∂=∂∂及()x x x f =2,，()22,x x x f x ='，则()=''x x f xx
2, （ ） （A ）x 35-
（B ）x 3
4- （C ）x 34 （D ）x 35
（4）设σd y x I D ⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D
⎰⎰
+=2223)cos(, 其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则 （ ）
(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.
(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>.
（5）设可微函数()x f 满足()0lim 0=→x
x f x ，()()x du u x f x f x x 20sin =-+'⎰，则 （ ）
（A ）()0f 是()x f 的极小值
（B ）()0f 是()x f 的极大值
（C ）()()0,0f 是曲线()x f y =的拐点
（D ）()0f 不是()x f 的极值，()()0,0f 也不是曲线()x f y =的拐点
（6）设()x f 是连续函数，()x F 是()x f 的原函数，则 （ ）
（A ）当()x f 是奇函数时，()x F 必为偶函数；
（B ）当()x f 是偶函数时，()x F 必为奇函数；
（C ）当()x f 是周期函数时，()x F 必为周期函数；
（D ）当()x f 是单调增函数时，()x F 必为单调增函数．
（7）设C B A ,,均为n 阶方阵，且满足E ABAC =，其中E 为n 阶单位矩阵，
则 （ ）
（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222
（C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2
（8）已知矩阵()4321αααα=A 经初等行变换，化为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛110021103111，则必有
（ ）
（A ）3214αααα++= （B ）321423αααα++=
（C ）32142αααα++-= （D ）4321,,,αααα线性无关
（9）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则 （ ）
(A) a =0.2, b =0.3 (B) a =0.4, b =0.1
(C) a =0.3, b =0.2 (D) a =0.1, b =0.4
（10）设随机变量ηξ,不相关，则下述选项不正确的是 （ ）
（A ）()0,cov =ηξ （B ）()()()ηξηξD D D +=+
（C ）()()()ηξξηD D D = （D ）()()()ηξξηD E E =
二、填空题（11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）
（11）()()()=++--→x x x x x x 1ln cos 11sin
cos 15sin lim 20 ．
（12）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 ．
（13）微分方程()x y x
y y ln ln 1-+='的通解为 ． （14）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则
a = ．
（15）设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10010122x A 相似于对角矩阵，则=x ．
（16）设二维正态变量()Y X ,的边缘分布为()()1,0~,4,1~N Y N X ，且0=xy ρ，
则{}=<+1Y X P ．
三、解答题（17~24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（17）（本题满分8分）
设)(u f 具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222y
g y x g x ∂∂-∂∂
（18）（本题满分9分）
设函数()x f 在区间[]1,0上连续，在()1,0内可导，且()()010==f f ，121=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ． 试证：(I)存在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈1,21η，使()ηη=f ；
(II)对任意实数λ，必存在()ηε,0∈，使得()()[]1=--'εελεf f ．
（19）（本题满分9分）
某厂生产两种产品，总收入R 与两种产品的产量x 和y 的函数关系是 ()2222150100,y xy x y x y x R ---+=
总成本C 与产量x 和y 的函数关系是
()y x y x C 5020700,++=
（I ）在产量x 和y 不受限制的情况下，该厂应如何确定两种产品的产量，才可获得最
大的利润？ 最大利润是多少？
（II ）若限于原料供应情况，要求两种产品的总产量固定为30不变时，又应如何安排
生产，才可获得最大的利润？这时的最大利润是多少？
（20）（本题满分8分）
设)(x f ，)(x g 在[0，1]上的导数连续，且0)(=x f ，0)(≥'x f ,0)(≥'x g ． 证明：对任何a ]1,0[∈,有
⎰⎰≥'+'a g a f dx x g x f dx x f x g 01
0).1()()()()()(
（21）（本题满分13分） 线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++=-++003320242143214321ax x x x x x x x x x x 与（ii ）⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+++=-++0200425332143214321x bx x x x x x x x x x
有公共的非零解，求b a ,的值和全部公共解．
（22）（本题满分13分）
设A 为三阶矩阵，321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足
3211αααα++=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A .
(I) 求矩阵B, 使得B A ),,(),,(321321αααααα=；
（II ）求矩阵A 的特征值；
（III ）求可逆矩阵P, 使得AP P 1
-为对角矩阵．
（23）（本题满分13分）
设X ，Y 相互独立，X 服从区间[]1,0上的均匀分布，Y 服从参数为2=t 的指数分布，求Y X Z +=的概率密度函数．
（24）（本题满分13分）
某公司新近生产了某种电子元件5套，其中甲等品3套．现有宏达与茂源两家企业先后来购买这种元件，宏达购买1套，源茂购买2套，设ε，μ分别表示宏达和源茂购买到的甲等品套数．求：
(I) ε与μ的联合分布律；
(II) ε与μ的相关系数ρ．。