北京师范大学第三附属中学八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结(培优提高)

一、选择题
1．()()()2483212121+++···()
32211++的个位数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8C 解析：C
【分析】
原式中的3变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】
解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2．若3a b +=-，10ab =-，则-a b 的值是（ ）
A ．0或7
B ．0或13-
C ．7-或7
D ．13-或13C 解析：C
【分析】
根据完全平方公式得出( a-b )2=( a + b )2-4ab ，进而求出( a-b )2的值，再求出 a-b 的值即可
【详解】
( a-b )2=( a + b )2-4ab ∴ ()22(3) 4(10)a b =--⨯--
∴()2
49a b -=
∴7a b -=±
故答案选：C
【点睛】
考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的特点和相应的变形，是正确解答的关键.
3．当代数式2()2020x y ++的值取到最小．．时，代数式222||2||x y x y -+-=……（ ） A ．0
B ．2-
C ．0或2-
D ．以上答案都不对A
解析：A
【分析】 由题意，当0x y +=时，代数式取到最小值，则有x y =-，根据绝对值的意义进行化
简，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵2()0x y +≥，
∴当0x y +=时，代数式2()2020x y ++的值取到最小值2020，
∴x y =-， ∴x y =-， ∴0x y --=， ∴22
,x y x y ==，
∴222||2||0x y x y -+-=；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了乘方的定义，绝对值的意义，以及求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确得到0x y +=和x y =-．
4．已知A 为多项式，且2221241A x y x y =--+++，则A 有（ ）
A ．最大值23
B ．最小值23
C ．最大值23-
D ．最小值23- A 解析：A
【分析】
利用分组分解法，变为完全平方式解答即可．
【详解】 2221241A x y x y =--+++
=2221218441184x x y y -+--+-+++
=()()222694423x x y y --+--++
=()()22
23223x y ----+
∵()2230x --≤，()220y --≤， ∴()()22
23223x y ----+≤23， ∴多项式的最大值是23，
故选A ．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键．
5．已3,2x y a a ==，那么23x y a +=（ ）
A ．10
B ．15
C ．72
D ．与x ，y 有关C
解析：C
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.
【详解】
a 2x+3y =(a x )2(a y )3=32⨯23=9⨯8=72，
故选：C
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键. 6．下列运算正确．．
的是（ ） A ．246x x x ⋅=
B ．246()x x =
C ．3362x x x +=
D ．33(2)6x x -=- A 解析：A
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．
【详解】
A 选项246x x x ⋅=，选项正确，故符合题意；
B 选项248()x x =，选项错误，故不符合题意；
C 选项3332x x x +=，选项错误，故不符合题意；
D 选项33(2)
8x x -=-，选项错误，故不符合题意． 故选：A ．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．
7．计算2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
的结果是（ ） A ．43 B ．43- C ．0.75 D ．-0.75D
解析：D
【分析】
先将20200.75化为201934
34⨯，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【详解】
2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =20192019343434⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=201934()3434⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦
⨯- =(31)4
-⨯
=34
-, 故选：D ．
【点睛】
此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．
8．如图所示，在这个数据运算程序中，如果开始输入的x 的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，那么第2次输出的结果是16，……以此类推，第204次输出的结果是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5A 解析：A
【分析】
根据数据运算程序，从第1次开始往后逐个计算输出结果，直到找出规律即可求解
【详解】
解：由数据运算程序得，如果开始输入的x 的值为10，那么：
第1次输出的结果是5
第2次输出的结果是16
第3次输出的结果是8
第4次输出的结果是4
第5次输出的结果是2
第6次输出的结果是1
第7次输出的结果是4
……
综上可得，从第4次开始，每三个一循环
由()2043367-÷= 可得第204次输出的结果与第6次输出的结果相等
故选：A
【点睛】
本题实为代数式求值问题，解题的关键是通过计算特殊结果发现一般规律
9．已知()()22113(21)a b ab ++=-，则1b a a ⎛⎫-
⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．-1D
解析：D
【分析】
先对()()22113(21)a b ab ++=-进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
进行因式分解即可．
【详解】
∵()()
22113(21)a b ab ++=-，
∴2222163a b a b ab +++=-， 22222440a b ab a b ab +-+-+=，
()()
2220a b ab -+-=， ∴a b =，2ab =， ∴1121b b a ab a a
⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭ 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．
10．已知x ，y ﹣1，则xy 的值为（ ）
A ．8
B ．48
C ．
D ．6D
解析：D
【分析】
利用平方差公式计算即可.
【详解】
当x +1，y 1时，
xy +11）
）2﹣12
＝7﹣1
＝6，
故选：D.
【点睛】
此题考查平方差计算公式，已知字母的值求代数式的值，熟记平方差公式是解题的关键. 二、填空题
11．若2330x x --=，则()()()123x x x x ---的值为______．15【分析】原式利用多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式法则化简把已知等式代入计算即可求出值【详解】∵x2−3x−3＝0∴x2＝3x ＋3则原式＝（x2−x ）（x2−5x ＋6）＝（2x
＋3）（−2x ＋
解析：15
【分析】
原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则化简，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
∵x 2−3x−3＝0，
∴x 2＝3x ＋3，
则原式＝（x 2−x ）（x 2−5x ＋6）
＝（2x ＋3）（−2x ＋9）
＝−4x 2＋12x ＋27
＝−4（3x ＋3）＋12x ＋27
＝−12x−12＋12x ＋27
＝15.
故答案为：15
【点睛】
此题考查了多项式乘多项式，以及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．已知210x x +-=，则代数式3222020x x ++的值为________．【分析】根据条件转换成x2+x=1后一个代数式化简后将条件代入即可【详解】解：由题意得：x2+x=1∴x3+2x2+2020=x(x2+x)+x2+2020=x+x2+2020=1+2020=202
解析：【分析】
根据条件转换成x 2+x =1，后一个代数式化简后将条件代入即可．
【详解】
解：由题意得：x 2+x =1，
∴x 3+2x 2+2020=[x (x 2+x )+x 2]+2020=x +x 2+2020=1+2020=2021，
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查代数式的整体代入求解，关键在于如何将代数式转换成条件中的整体． 13．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式()3
5f x mx nx =++，当3x =时，多项式的值为()32735f m n =++，若()36f =，则()3f -的值为__________．4【分析】由得到整体代入求出结果【详解】解：∵∴即∴故答案是：4【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入求值的思想
解析：4
【分析】
由()36f =得到2731m n +=，整体代入()32735f m n -=--+求出结果．
【详解】
解：∵()36f =，
∴27356m n ++=，即2731m n +=，
∴()()327352735154f m n m n -=--+=-++=-+=．
故答案是：4．
【点睛】
本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．
14．已知102m =，103n =，则32210m n ++=_______．7200【分析】根据幂的乘方法则分别求出和的值然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可【详解】解：∵∴∴故答案为：7200【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方解题的关键是掌握运算法则
解析：7200
【分析】
根据幂的乘方法则分别求出3m 10和210n 的值，然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】
解：∵102m =，103n =，
∴()33m 10108m ==，()2
2n 10109n ==， ∴3m+2n+232210101010891007200m n =⋅⋅=⨯⨯=，
故答案为：7200．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
15．对于2(34)x y --的计算，追风学习小组进行了激烈的讨论，①小杰说只能用公式()2222a b a ab b -=-+；②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即
(34)(34)x y x y ----；③小懿说可以用公式222()2a b a ab b +=++但要看准谁是a 谁是b ；④小王说口算就是22916x y +；⑤小亮说可以转化计算2(34)x y +，你认为谁的说法正确请写出序号____．①②③⑤【分析】根据多项式乘以多项式和完全平方公式计算即可【详解】①正确；②正确；③正确；④错误；⑤正确；故答案为：①②③⑤【点睛】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算熟练掌握运算法则是解答
解析：①②③⑤
【分析】
根据多项式乘以多项式和完全平方公式计算即可.
【详解】
①22222(34)(3)2(3)4(4)92416x y x x y y x xy y --=--⋅-⋅+=++，正确；
②
22222(34)(34)(34)(3)3443(4)92416x y x y x y x x y y x y x xy y --=----=-+⋅+⋅+=++，正确；
③22222(34)(3)2(3)(4)(4)92416x y x x y y x xy y --=-+⋅-⋅-+-=++，正确； ④错误；
⑤222222(34)(34)(3)234(4)92416x y x y x x y y x xy y --=+=+⋅⋅+=++，正确； 故答案为：①②③⑤
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键. 16．已知23x y -=，则432x y --=________．3【分析】把看成一个整体原式可化为2（）-3整体代入即可【详解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3故答案为：3
【点睛】本题考查了求代数式的值把看成一个整体是解题的关键
解析：3
【分析】
把2x y -看成一个整体，原式可化为2（2x y -）-3，整体代入即可．
【详解】
解：原式=2（2x y -）-3=2×3-3=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，把2x y -看成一个整体是解题的关键．
17．若a - b = 1， ab = 2 ，则a + b =______． 【分析】根据完全平方公式及开方运算即可求解【详解】解：∵∴故答案为：【点睛】本题考察完全平方公式熟练掌握完全平方公式是解题的关键
解析：3±
【分析】
根据完全平方公式及开方运算即可求解．
【详解】
解：∵()()22241429a b a b ab +=-+=+⨯=， ∴
3a b +==±
故答案为：3±．
【点睛】
本题考察完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
18．因式分解：33327xy x y -=______．【分析】根据因式分解的提公因式法找出公因式为然后再根据平方差公式求解即可；【详解】原式=故答案为：【点睛】本题考查了因式分解的提公因式法平方差公式找出公因式是是解题的关键 解析：()()333xy y x y x +-
【分析】
根据因式分解的提公因式法，找出公因式为3xy ，然后再根据平方差公式求解即可；
【详解】
原式=()()()2239333xy y x xy y x y x -=+-，
故答案为：()()333xy y x y x +-．
【点睛】
本题考查了因式分解的提公因式法、平方差公式，找出公因式是3xy 是解题的关键． 19．因式分解：24a b b -=______．【分析】直接提取公因式b 进而利用平方差公式分解因式得出即可【详解】解：4a2b-b=b （4a2-1）=b （2a-1）（2a+1）故答案为：b （2a-1）（2a+1）【点睛】本题考查了提取公因式法以及
解析：()()2121b a a -+
【分析】
直接提取公因式b ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】
解：4a 2b-b=b （4a 2-1）=b （2a-1）（2a+1）．
故答案为：b （2a-1）（2a+1）．
【点睛】
本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键． 20．若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式2008|1|m m --的值为________．1【分析】根据一元一次方程的定义可求出m 的值在将m 代入代数式计算即可【详解】原方程可整理为根据题意可知且所以所以故答案为：1
【点睛】本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值利用一元一次方程的定义求出
解析：1
【分析】
根据一元一次方程的定义，可求出m 的值．在将m 代入代数式计算即可．
【详解】
原方程可整理为22(1)(1)80m x m x --++=．
根据题意可知210m -=且10m +≠，
所以1m =． 所以2008200811111m m --=--=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义以及代数式求值．利用一元一次方程的定义求出m 的值是解答本题的关键．
三、解答题
21．如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上．分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF ，连结MD 和ME ．设AP ＝a ，BP ＝b ，且a ＋b ＝8，ab ＝6，求图中阴影部分的面积．
解析：36
【分析】
依据AP ＝a ，BP ＝b ，点M 是AB 的中点，可得AM ＝BM ＝2a b +，再根据S 阴影＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △ADM ﹣S △BEM ，即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】
解：∵a ＋b ＝8，a b ＝6，
∴S 阴影部分＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △AMD ﹣S △MBE ， ＝22112222a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ＝()2224
a b a b ++- ， =()()22+24a b a b ab +--，
＝64﹣12﹣
644
， ＝64﹣12﹣16，
＝36．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
22．（1）先化简，再求值：()()()22m n m n m n m ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中1m =，3n =-．
（2）已知：1x y -=，2xy =，求32232x y x y xy -+的值． 解析：（1）m n -，4；（2）()2
xy x y -，2 【分析】
（1）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，化简后代入求值进行计算求值； （2）将原式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】
解：（1）()()()2
2m n m n m n m ⎡⎤-++-÷⎣⎦
=2222(2)2m n m mn n m -+-+÷ =2(22)2m mn m -÷
m n =-
当1m =，3n =-时，原式1(3)4=--=
（2）3223
2x y x y xy -+
=22(2)xy x xy y -+
()2
xy x y =-，
∵1x y -=，2xy = ∴原式=2×12=2． 【点睛】
本题考查因式分解和整式的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
23．阅读材料：把形2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即()2
222a ab b a b ±+=±．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：244a a -+=__________．
（2）先化简，再求值：()()(
)3
3
242a b a b a b ab
ab +-+-÷，其中a b 、满足
2226100a a b b ++-+=．
（3）若a b c 、、分别是ABC ∆的三边，且222426240a b c ab b c ++---+=，试判断
ABC ∆的形状，并说明理由．
解析：（1）()2
2a -；（2）25-；（3）△ABC 为等边三角形，理由见解析． 【分析】
（1）根据完全平方公式即可因式分解；
（2）先将原式化成最简式，然后将2226100a a b b ++-+=，分成两个完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出a 、b 的值，代入最简式中计算即可； （3）将已知等式化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】
解：（1）∵()2
2442a a a -+=-， 故答案为：()2
2a -；
（2）()()(
)3
3
242a b a b a b ab
ab +-+-÷
=(
)22
22
222a b ab a b
ab -+-÷
=222222223a b a b a b -+-=- ∵2226100a a b b ++-+=， ∴()()2
2
130a b ++-=，
∴13a b =-=，，
把13a b =-=，代入上式得：()2
22223213322725a b -=⨯--⨯=-=-； （3）△ABC 为等边三角形，理由如下： ∵222426240a b c ab b c ++---+=， ∴()()()2
2
2
1310a b c b -+-+-=，
∴01010a b c b -=-=-=，，， ∴1a b c ===， ∴△ABC 为等边三角形． 【点睛】
此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点与非负数的应用．
24．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出2()a b +、2
()a b -、ab 之间的等量关系是________；
（2）根据（1）中的结论，若9
5,4
x y x y ⋅+==
，则x y -=________； （3）拓展应用：若22
(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)m -(2020)m -的值．
解析：（1）（a +b ）2-（a -b ）2＝4ab ；（2）±4；（3）-3 【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为（a +b ）2-（b -a ）2＝（a +b ）2-（a -b ）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，将x+y＝5，x•y
9
4
代入计算即可
得出答案；
（3）将等式（2019-m）+（m-2020）＝-1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2-（a-b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2-（a-b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x•y＝9
4
，
∴52-（x-y）2＝4×9
4
，
∴（x-y）2＝16
∴x-y＝±4，
故答案为：±4；
（3）∵（2019-m）+（m-2020）＝-1，
∴[（2019-m）+（m-2020）]2＝1，
∴（2019-m）2+2（2019-m）（m-2020）+（m-2020）2＝1，
∵（2019-m）2+（m-2020）2＝7，
∴2（2019-m）（m-2020）＝1-7＝-6；
∴（2019-m）（m-2020）＝-3．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．25．在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的规律，表①是2020年12月份的日历牌．
28 29 30 31
（表①）
（1）在表①中，我们选择用如表②那样22⨯的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．如：用正方形框圈出3,4,10,11四个数，然后将它们交叉相乘，再相减，即3114107⨯-⨯=-或4103117⨯-⨯=．请你用表②的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)． （2）在用表②的正方形框任意圈出的22⨯个数中，将它们先交叉相乘，再相减．若设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字，列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)．
（3）若选择用表③那样33⨯的正方形方框任意圈出33⨯个数，将正方形方框四角．．．．位置上的4个数先交叉相乘，再相减，你发现了什么．选择一种情况说明理由． 解析：（1）91710167⨯-⨯=-或10169177⨯-⨯=，（2）+1n ,n+7，n+8，
()()()+178n n n n +-+，7，或()()()8+17n n n n +-+，-7；（3）1×17-3×15=-28或
3×15-1×17=28，发现：它们最后得结果是28或-28，n ，+2n ，n+14，n+16，
()()()+21416n n n n +-+，28，()()()16+214n n n n +-+，-28，它们的结果与n 的值
无关，最终结果保持不变，值是28或-28． 【分析】
（1）先画出选出的各数，再计算即可；
（2）设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为
+1n+7n+8n ，，,列出算式()()()+178n n n n +-+或()()()8+17n n n n +-+，求出即
可；
（3）先圈出各个数，列出算式，设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+2n+14n+16n ，，，列出算式，求出即可． 【详解】
（1）圈出的数如图，9,10；16,17，
91710161531607⨯-⨯=-=-或10169171601537⨯-⨯=-=，
（2）设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为，+1n+7n+8n ，，,
()()()+178n n n n +-+，
=22878n n n n ++--， =7，
或()()()8+17n n n n +-+， =22887n n n n +---， =-7；
（3）圈出的数为1,2,3；8,9,10；15,16,17四角数位1,3,15,17 1×17-3×15=17-45=-28或3×15-1×17=35-17=28， 发现：它们最后得结果是28或-28，
理由是：设设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为
+2n+14n+16n ，，,
()()()+21416n n n n +-+，
=22162816n n n n ++--， =28，
()()()16+214n n n n +-+，
=22161628n n n n +---， =-28．
结论：它们的结果与n 的值无关，最终结果保持不变，值是28或-28． 【点睛】
本题考查整式的混合运算的应用，掌握整式的混合运算法则，能理解题意，会按要求列式是解题关键，培养阅读能力和计算能力． 26．观察下列各式：
2(1)(1)1x x x -+=-；()23(1)11x x x x -++=-；()
324
(1)11x x x x x -+++=-；
请根据这一规律计算： （1）(
)1
2(1)1n n n x x x
x x ---+++⋅⋅⋅++；
（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++． 解析：（1）11n x +-；（2）1621-． 【分析】
（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；
（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可． 【详解】
（1）(
)1
2(1)1n n n x x x
x x ---+++⋅⋅⋅++
11n x +=-；
（2）1514132222221+++⋅⋅⋅+++
1514132(21)(222221)=-+++⋅⋅⋅+++
16
=-．
21
【点睛】
本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
27．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
请解答下列问题：
（1）写出由图②可以得到的数学等式；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac 的值；
（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．
解析：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）11；（3）15
【分析】
（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，由此可得出等式；
（2）将a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14代入（1）中所得的等式，计算即可；
（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，将等式左边展开，再比较系数即可得出x，y，z的值，然后求和即可．
【详解】
解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，
∴62＝14+2（ab+ac+bc），
∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．
（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，
∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2，
∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2，
∴x＝2，y＝9，z＝4，
∴x+y+z＝2+9+4＝15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景及多项式乘法等知识点，数形结合并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
28．计算：
（1）2a(4a2-2a+1)
（2）(2x -1)(2x+2)-(-2x)2
（3）(-x-2y)(x-2y)-(2y-x)2
（4）
11
99100
22
⨯（用简便方法计算）
解析：（1）8a3-4a2+2a；（2）2x-2；（3）-2x2+4xy；（4）
3 9999
4
.
【分析】
（1）利用单项式乘多项式法则计算即可；
（2）根据多项式乘多项式和积的乘方展开，再合并同类项即可；
（3）根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可；
（4）原式先变形，再利用平方差公式计算即可.
【详解】
（1）2a(4a2-2a+1)= 2a⋅4a2-2a⋅2a +2a⋅1=8a3-4a2+2a；
（2）(2x -1)(2x+2)-(-2x)2=4x2+4x-2x-2-4x2=2x-2；
（3）(-x-2y)(x-2y)-(2y-x)2= (-2y-x)( -2y+x) -(2y-x)2=4y2-x2-4y2-x2+4xy=-2x2+4xy；
（4）
11
99100
22
⨯=22
11113 (100)(100)100()100009999
22244
-⨯+=-=-=.
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解答此题的关键.。