湖南省株洲市建宁中学2019-2020学年高一数学理期末试题含解析

湖南省株洲市建宁中学2019-2020学年高一数学理期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数且，则的值域是( ) A． B． C． D．
参考答案：
B
略
2. 函数的定义域为（）
A． B。

C． D．
参考答案：
D
3. 甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用甲、乙表示，则下列结论正确的是()
参考答案：
A
略
4. 下列哪组中的两个函数是同一函数（）
A f(x)=x-1， B
C D
参考答案：
C
略
5. 已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()
A．第一象限角B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角
参考答案：
C
[由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n ＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．]
6. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
A.a2B．2a2 C.a2 D.a2
参考答案：
B
7. 满足条件 {1，2}∪B={1，2，3，4，5}的所有集合B的个数为( )
A．8
B．4
C．3
D．2
参考答案：
B
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：根据并集关系进行求解即可．
解答：解：若 {1，2}∪B={1，2，3，4，5}，
则B={3，4，5}，{1，3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，共有4个，
故选：B．
点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础．
8. 若，则等于
A． B． C．
D．
参考答案：
A
9. 如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为
A．2 B．C．－2
D．－
参考答案：
D
略
10. 已知x<，则函数y＝4x－2＋的最大值是()
A．2 B．3 C．1 D.
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f（x）=+的定义域为．
参考答案：
（0，1）
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】函数f（x）=+有意义，可得2﹣2x≥0且x＞0，log3x≠0，解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：函数f（x）=+有意义，
可得2﹣2x≥0且x＞0，log3x≠0，
即为0＜x≤1且x≠1，
可得0＜x＜1，
则定义域为（0，1），
故答案为：（0，1）．
12. 方程实根个数为个．
参考答案：
1
略
13. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=______
参考答案：
3
14. 若关于x的不等式在R上恒成立,则a的最大值是_________.
1
【分析】
利用绝对值三角不等式的性质，可以求出的最小值，最后求出的最大值. 【详解】,所以,解得,所以的最大值为1.
【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式的性质解决不等式恒成立问题，解题的关键是对绝对值三角不等式性质的正确理解.
15. 已知角的终边经过点，其中，则的值等于。

参考答案：
；
16. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n﹣1=（n≥2），S n=a1?3+a2?32+…+a n?3n，则4S n﹣
a n?3n+1= ．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和．
【分析】利用S n的表达式，求出3S n的表达式，错位求和，化简可得所求表达式的结果．【解答】解：因为S n=a1?3+a2?32+…+a n?3n，
所以3S n=a1?32+a2?33+…+a n?3n+1，
所以4S n=3a1+32（a1+a2）+33（a2+a3）+…+3n（a n﹣1+a n）+a n?3n+1，
所以4S n﹣a n?3n+1=3a1+32（a1+a2）+33（a2+a3）+…+3n（a n﹣1+a n），
又因为a1=1，a n+a n﹣1=（n≥2），
所以4S n﹣a n?3n+1=3+32?+33+…+3n?
=3+1+1+…+1=3+（n﹣1）=n+2（n≥2），
又因为当n=1时，4S1﹣a1?31+1=﹣5不满足上式，
所以4S n﹣a n?3n+1=，
故答案为：．
17. 已知幂函数的图象经过点，则 ks5u 。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，设计一个小型正四棱锥形冷水塔，其中顶点在底面的射影为正方形的中心，返水口为的中点，冷水塔的四条钢梁（侧棱）设计长度均为10米。

冷水塔的侧面选用钢板，基于安全与冷凝速度的考量，要求钢梁（侧棱）与底面的夹角落在
区间内，如何设计可得侧面钢板用料最省且符合施工要求？
参考答案：
解：依题意，钢梁（侧棱）与底面的夹角．
∴，
则，
在中，，
∴
又，则，
当且仅当时，取最小值是
此时相应，，．即冷水塔的底面边长应设计为
米，高米时，侧面钢板用料最省
略
19. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，
且f（﹣+x）=f（﹣﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）函数g（x）在区间（0，1）上有两个零点，求λ的取值范围．
参考答案：
【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）由f（0）=0可得c=0，由函数对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣
x）可得函数f（x）的对称轴为x=﹣，从而可得a=b，由f（x）≥x，可得△=（b﹣1）2≤0，进而得到答案．
（2）由（1）可得g（x）的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理进行判断函数g（x）的零点情况．
【解答】（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．
∵对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣x），
∴函数f（x）的对称轴为x=﹣，即﹣=﹣，得a=b．
又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．
∵（b﹣1）2≥0，
∴b=1，a=1．
∴f（x）=x2+x．
（2）解：g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=
①当x≥时，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为x=，
若≤，即0＜λ≤2，函数g（x）在（，+∞）上单调递增；
则函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，
又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0，
故函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点．
②若＞，即λ＞2，函数g（x）在（，+∞）上单调递增，在（，
）上单调递减．
此时＜＜1，而g（0）=﹣1＜0，g（）=+＞0，g（1）=2﹣|λ﹣1|，（ⅰ）若2＜λ≤3，由于＜≤1，
且g（）=（）2+（1﹣λ）?+1=﹣+1≥0，
此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；
（ⅱ）若λ＞3，由于＞1且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此时，函数g（x）在区间（0，1）
上有两个不同的零点．
综上所述，当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．
20. 已知定义在(—1,1)上的奇函数f（x）也为减函数，且，求a的取值范围
参考答案：
解：由f（1﹣a）+f（1﹣2a）＞0，得f（1﹣a）＞﹣f（1﹣2a），
又∵f（x）在（﹣1，1）上为奇函数，
∴﹣f（1﹣2a）=f（2a﹣1），且﹣1＜1﹣2a＜1…①，
∴f（1﹣a）＞f（2a﹣1），
又∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，
∴1﹣a＜2a﹣1且﹣1＜1﹣a＜1…②，
联解①②，得＜a＜1，
所以实数a的取值范围为（，1）;
21. 等差数列的前项和记为.已知.
（1）求通项；（2）若，求；
参考答案：
（1）解：在等差数列中，
解得：
（2）解：又把代入得：
22. 已知两直线,求分别满足下列条件的、的值．（本小题满分10分）
(1）直线过点，并且直线与直线垂直；
(2）直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．参考答案：
略。