第二章《数列》章末综合测试A卷

第二章《数列》章末综合测试A卷
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n＋1
2．数列{a n}满足a1＝1，a n＝n≥2，则a5的值为
3．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5等于
A．16 B．27
C．36 D．－27
4．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n－2n∈N＋，则a n等于
A．2n B．2n＋1
C．2n＋1 D．2n＋2
5．在等比数列{a n}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为
A．1 B．2
C．3 D．9
6．已知{a n}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等
比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为
A．－110 B．－90
C．90 D．110
7．已知等差数列{a n}，前n项和用S n表示，若2a5＋3a7＋2a9＝14，则S13等于
A．26 B．28
C．52 D．13
8．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于A．22 B．21
C．19 D．18
9．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和为S n，且点Pa n，a n＋1n∈N*在直线－y＋1＝0上，则＋＋＋…＋等于
10．已知数列{a n}满足1＋log3a n＝log3a n＋1n∈N*且a2＋a4＋a6＝9，则log a5＋a7＋a9的值是
B．－
C．5 D．－5
二、填空题本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上
11．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{a n}的公比为________．
12．已知{a n}是等差数列，a4＝－20，a16＝16，则|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝________．
13．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________．
14．在数列{a n}和{b n}中，b n是a n和a n＋1的等差中项，a1＝2且对任意n∈N*都有3a n＋1－a n＝0，则数列{b n}的通项b n＝
________．
15．已知各项均为正数的数列{a n}满足：a1＝a3，a2＝1，a n＋a9＋a10＝________．
2＝，则
三、解答题本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
16．本小题满分10分已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a7＝13
1求数列{a n}的通项公式；
2若数列{b n}满足a n＝log4b n，求数列{b n}的前n项和T n
17．本小题满分10分等差数列{a n}中，前三项分别为，2，5－4，前n项和为S n，且S＝2550
18．本小题满分10分已知数列{log2a n－1}n∈N*为等差数列，且a1＝3，a3＝9
1求数列{a n}的通项公式；
2证明：＋＋…＋＜1
19．本小题满分10分已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}b n ≠0，n∈N*，满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0
1令c n＝，求数列{c n}的通项公式；
2若b n＝3n－1，求数列{a n}的前n项和S n
20．本小题满分10分甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为n2－n＋2万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．
1求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
2若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购如果有这种情况，将会出现在第几年？
参考答案
一、选择题
1解析：选B由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1，故选B
2解析：>0且n≥2时，＝1＋，
即－＝1，
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴＝1＋5－1×1＝5，∴a5＝故选C
3解析：2＝1－a1，a4＝9－a3，
得a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，所以＝9＝q2，
因为数列的各项都为正数，所以q＝3，＝q＝3，所以a4＋a5＝27
4解析：≥2时，S n－1＝2a n－1－2
∴a n＝2a n－2a n－1，
∴＝2
又a1＝2，
∴a n＝2n，故选A
5解析：选C因为{a n}是等比数列，
所以a3a11＝a5a9＝a，
因此a3a5a7a9a11＝a＝243，解得a7＝3，
又因为a＝a7a11，所以＝a7＝
6解析：选D由题意得a1－122＝a1－4a1－16，
解得a1＝20
S10＝10a1＋×－2＝
7解析：选A∵a5＋a9＝2a7，
∴2a5＋3a7＋2a9＝7a7＝14，
∴a7＝2，
∴S13＝＝a7×13＝
8解析：1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，
a n－4＋a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＝146，
又∵a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝a4＋a n－3＝a5＋a n－4，
∴a1＋a n＝36
又S n＝na1＋a n＝234，
∴n＝13，
∴a1＋a13＝2a7＝36，
∴a7＝
9解析：－a n＋1＋1＝0，即a n＋1－a n＝1，所以{a n}是等差数列，且a n＝1＋n－1＝n，于是S n＝，
所以＝＝2，
所以＋＋＋…＋
＝2
＝故选A
10解析：选D由1＋log3a n＝log3a n＋1n∈N*，得a n＋1＝3a n，即数列{a n}是公比为3的等比数列．设等比数列{a n}的公比为q，又a2＋a4＋a6＝9，则log a5＋a7＋a9＝log[q3a2＋a4＋a6]＝log33×9＝－5
二、填空题
11解析：由题意，知4S2＝S1＋3S3
①当q＝1时，4×2a1＝a1＋3×3a1
即8a1＝10a1，a1＝0不符合题意，∴q≠1；
②当q≠1时，应有4×＝＋3×，化简得3q2＝q，得q＝或q＝0舍去．
答案：
12解析：a16－a4＝12d＝36，
∴d＝3，a n＝3n－32
∴当n≤10时，a n<0，当n≥11时，a n>0
|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝－a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a20＝a20－a10＋a19－a9＋…＋a11－a1＝100d＝300
答案：300
13解析：设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴a1＋2d＋32＝a1＋1a1＋4d＋5，解得d＝－1，∴q＝＝＝1答案：1
14解析：∵由3a n＋1－a n＝0，可得＝n∈N*，
∴数列{a n}是公比为的等比数列．
因此a n＝2×
故b n＝a n＋a n＋1
＝
＝＝4×
答案：4×
15解析：由a n＋2＝，令n＝1，得a3＝，由a1＝a3，解得a3
＝，由a n＋2＝，求得a5＝a7＝a9＝令n＝2，得a4＝；令n＝4，得a6＝，令n＝6，得a8＝，令n＝8，得a10＝，所以a9＋a10＝＋＝答案：
三、解答题
16解：1设a n＝a1＋n－1d，
则
解得a1＝1，d＝2
所以{a n}的通项公式为a n＝1＋n－1×2＝2n－1
2依题意得b n＝4a n＝42n－1，
因为＝＝16，
所以{b n}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列，
所以{b n}的前n项和T n＝＝16n－1．
17解：1由4＝＋5－4，得＝2，
∴a n＝2n，S n＝nn＋1，
∴＋1＝2550，得＝50
2∵S n＝nn＋1，
∴＝＝－，
∴T＝＋＋…＋
＝1－＝
18解：1设等差数列{log2a n－1}的公差为d
由a1＝3，a3＝9，得log29－1＝log23－1＋2d，
所以log2a n－1＝1＋n－1×1＝n，
即a n＝2n＋1
2证明：因为＝＝，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＝1－＜1
19解：1因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0n∈N*，
所以－＝2，即c n＋1－c n＝2
所以数列{c n}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故c n ＝2n－1
2由b n＝3n－1知a n＝c n b n＝2n－13n－1，
于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋ (2)
－1×3n－1，
3S n＝1×31＋3×32＋…＋2n－3×3n－1＋2n－1×3n，
相减得－2S n＝1＋2×31＋32＋…＋3n－1－2n－1×3n＝－2－2n－23n，
所以S n＝n－13n＋1
20解：1设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a n，b n
则有a1＝a，当n≥2时，
a n＝n2－n＋2－[n－12－n－1＋2]
＝n－1a，
b n＝b1＋b2－b1＋b3－b2＋…＋b n－b n－1
＝an∈N*．
2易知b n＜3a，所以乙超市将被甲超市收购，
由b n＜a n，得a＜n－1a
∴n＋4＞7，∴n≥7，
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。