发电机机组最优组合

发电机机组最优组合数学模型
本文主要讨论如何合理计划使用发电机，使得每天发电机的总成本达到最少，是一个分段优化的问题。

鉴于题目的要求，我们建立了两个最优化模型。

对于问题一，是通过找出发电机最优组合来求每天电力生产总成本的最小值，以每天电力生产总成本作为目标函数，并建立整数规划模型。

在模型一中，我们根据题目的条件及相关数据，通过分析各时段的成本得出：各时段的电力生产总成本min *()**i ij j ij j j j ij w w T x p p M x =++-，然后对各时段成本求和得到目标成本函数w 。

根据题目所给的已知条件进行合理的假设下，分析确定模型的约束条件。

通过lingo10.0软件编程求解，确定不同型号发电机在不同时段的使用数量，找出最优解，得到电力生产过程中每天的最小成本1463430w =元。

不同型号的发电机组在不同时段最优组合结果如下：（单位：台）
本文是一个通过合理计划使用发电机，使得每天发电机的总成本达到最少的优化问题。

电力生产供电时要满足用电需求且不宜造成过大浪费。

本文需满足的条件：
为满足每日电力需求（单位：兆瓦（MW ）），每日电力需求如下表1-1：
发电机只能从以下给出的四种不同类型的发电机（型号一、型号二、型号三和型号四）中选用。

每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。

所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。

具体数据均列于下表1-2：
四种型号的发电机均只能在每个时段开始时允许启动或关闭。

启动发电机需
要启动成本，与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。

本文需解决的问题：
在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？
2. 模型的假设与符号说明
2.1模型的假设
假设1：发电机工作时的输出功率不变；
假设2：同一时段同一种型号的发电机输出功率相同；
假设3：发电机在每个时段启动或关闭时的时间不计；
假设4：发电机在发电过程中自身的功率损耗不计；
假设5：发电机组在传输电的过程中消耗的功率不计；
2.2符号说明
3. 问题分析
本题研究的是发电机最优组合问题。

题目中有四种不同型号的发电机，每种发电机都有启动成本、固定成本和边际成本，并且规定了七个不同的供电时段。

题目要求每个时段发电机组合既能够满足用电需求，同时也使得成本费用最小，不造成过多浪费。

其中固定成本和边际成本较容易确定，而启动成本（电机启动时所花费的代价）则难于有效地确定。

鉴此，我们不能将各个时段分开分别求最优解。

因为各时段的启动成本不能独立的由本时段各变量确定，在要求每天的电力生产成本最小的大前提下，还受到前后处于工作状态的发电机数量的影响，它是一个动态确定问题，由于动态规划方法反映了过程逐段演变的前后联系和动态特征，在计算中可以较好的解决此问题，提高结果的准确性。

因此，我们将这七个时段作为一个整体，考虑前后两相邻时段发电机开启的数量，尽量在前一时段的基础上减少启动成本。

因为如果后一个时段某种型号的电机数量减小，则只需要关闭电机即可，它不需要付出任何代价，这样就可以大大减少时段的启动成本。

当然，每种发电机成本都是由启动成本、固定成本和边际成本三部分组成，
的条件。

而电力生产过程中优化的发电机组合，就是能使得电力生产成本费用最小。

各种型号的发电机成本都是由启动成本、固定成本和边际成本三部分组成，故我们所建立的模型需在综合考虑到影响这三种成本的因素。

可以分别设出各个时段不同型号发电机的数量和输出功率，然后分别表示出七个时段的成本，再累
加求和即为电力生产每天的总成本。

考虑到各种约束条件及启动成本的动态确定，我们可以使用动态规划模型，最终求解。

4．问题的解答
4.1模型的建立
4.1.1确定目标函数
电力生产的总成本是由发电机的启动成本、固定成本及边际成本组成。

为了提出一种发电机的最优组合使得电力成本最小的数学模型，本文通过分析局部优化因素，通过求解各时段发电机的最小成本i w ，再进行累加求和得到最小成本
w 。

而总成本中的启动成本ij
w （i 表示时段,j 表示发电机的型号, ,i j 均为
自然数）是动态的，我们建立了动态整数规划模型。

①ⅰ)不同型号的发电机在不同时间段的启动成本为ij w ，在第一时段，发电机的启动不受其它影响，按正常成本计算，其数学表达式为：
j *(1)ij ij
w q x i ==
ⅱ) 在i （16i ≤≤）后面的时段，如果后一时段相同型号发电机的使用个数小于相邻的前一时段，由于正确的关闭发电机不需要付出任何代价，则其启动成本为0，反之，按正常发电机的启动成本来计算，其数学表达式如下：
11(1)(1)0
(16)()*i j ij i j
i j ij j
i j ij
x x w i x x q x x ++++≤⎧⎪=≤≤⎨-≥⎪⎩（）（）
② 第i 时段发电机的总成本i w 由发电机的启动成本ij w 、固定成本j T 及边际成本j M 组成，其数学表达式为：
min *()**i ij j ij j j j ij w w T x p p M x =++-
③ 最终我们建立了目标函数，发电机组每天的总成本：
74
i 11
min
(),
i
j w w i j N ===∈∑∑
4.1.2确定约束条件
ⅰ)各种型号的发电机的输出功率不应低于其最小输出功率，高于最大输出功率，故在不同时段的发电机的输出功率
ij p 有上、下限约束:
min max j ij j p p p ≤≤,14j ≤≤
ⅱ) 而4种不同发电机的数量是固定的，其数学表达式为：
min max 0..(17,14)
ij j j ij j x s t i j p p p K ≤≤⎧⎪≤≤≤≤⎨≤≤⎪⎩
ⅲ) 电力生产是为了满足需要，根据题目要求有：
4
1*(17,14)i ij ij i
j Q p x i j δ==≥≤≤≤≤∑
其中：,
,ij i j x 均为自然数；
i Q 表示每天第i 时段电力的供应量；
i δ表示每天第i 时段电力的需求量。

4.1.3综上所述，得到问题一的多目标优化模型：（,
,ij i j x 均为自然数）
7
4
min 11
min [*()**]
ij j ij j j j ij i j w w T x p p M x ===++-∑∑j 11min max 1(41()1)*(10(17,14,,,)*)0
(16).()*.ij ij i j ij i j i j ij j i ij j
j ij j ij i ij ij i j j ij w q x p p p i j x i j N Q p x s x i x x w i x x t q x x δ=++++==⎧⎪
≤⎧≤≤K ⎧⎪⎪
≤≤⎪⎪⎪⎪≤≤≤≤∈⎨
⎪=≥⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎨⎪=≤≤⎨
⎪-≥⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩
⎩∑（）（） 4.2模型的求解
根据题意，将各个时段各种不同型号发电机的成本进行累加，然后写出相应的约束条件，使用Lingo10.0软件对模型一进行求解，得出发电机机组的最优组合结果如下表： （一）发电机机组组合优化结果，即不同时段不同型号的发电机处于工作状态的数量
表4-1：不同时段不同型号的发电机处于工作状态的数量（单位：台）
这个值我们仍然按计算结果处理。

（二）由于不同型号的发电机在不同时段的输出功率不相同，只要其输出功率在此发电机额最小功率与最大功率之间，适当的调整输出功率，也会达到减小电力生产成本的效果。

通过模型计算求解，得出不同型号发电机在不同时段的输出功率如下表：
表4-2：不同型号发电机在不同时段的输出功率（单位：兆瓦）
（三）利用lingo10.0软件编程（运行程序见附录一），求解模型一，找出最优解（见附录程序一的运行结果），得到每天发电机机组的最小总成本为：
1463430w 元
4.3结果分析
在这种发电机机组组合的方案下，我们可以发现，启动成本对电力生产总成本的影响极大，减小发电机重复启动次数，可以节省电力生产成本。

另外，结合固定成本与边际成本的大小，有效的分配组合发电机同样也是需要考虑的因素之一。

从上述表三中可以看出，各型号的发电机从第一到第七时段，处于工作状态的发电机数量大多保持不变或减小，只有少数型号发电机因固定成本极高，而使中间时段的发电机有增启的情况。

其不同型号发电机各时段的开启与关闭情况的结果直观柱状图如下：
图4-1：模型一各时段不同型号发电机启动情况
模型一中所有结果如下：
从上图可以看出，每个时段型号为二和型号为三的发电机开启数量基本达到最大值，而型号为一和四的发电机开启数量则较小。

将这一结果与不同型号发电机单位成本作比较，发现发电机单位成本小的在各时段的开启数量多。

两种结果比较具有一致性。

而单位成本的计
算如下：其中t 为选定时段；
min {*[()*]}/1j 4,j j j j j j j q t p p M T p j N s =+-+≤≤∈,
利用MATLAB 编程（程序见附录一），画出四种不同型号发电机的单位成本如下图：
500
10001500
2000250030003500
1.82
2.22.42.62.83
3.23.4
5
四种不同型号发电机单位成本
发电功率
单位成本
图4-2：模型一四种不同型号发电机的单位成本
从上图可以明显看出型号为二的发电机单位成本最小，而当大于某一功率值时，型号三的成本为最低，故在使用发电机时，型号二和型号三的发电机开启数量要尽可能多，型号一和四的发电机开启数量要尽可能小。

4.4结果检验
（1）发电机组的发电量必须满足每天各时段的电力需求量，且需尽量减小无用功，下图为实际发电量与需求量的对比图：
图4-3：模型一电力需求量与发电机组实际发电量对比图
（2）为检验结果的正确性，通过Matlab 软件编程得出结果：发电机的最小总成本值为： 1463429.500000元。