2020-2021学年吉林省长春市朝阳区七年级(上)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年吉林省长春市朝阳区七年级第一学期期末数学试
卷
一、选择题（每小题3分，共24分）.
1．若有理数a与3互为相反数，则a的值是（）
A．3B．﹣3C．D．
2．如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，其俯视图是（）
A．B．C．D．
3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（）A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元
4．若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为（）A．5B．8C．9D．10
5．如图，直线b、c被直线a所截，则∠1与∠2是（）
A．内错角B．同位角C．同旁内角D．对顶角
6．下列代数式中，次数为3的单项式是（）
A．﹣a3b B．3a2b2C．4a3﹣3D．
7．如图，点A在点B的北偏东40°方向，点C在点B的北偏东75°方向，点A在点C的北偏西50°方向，则∠BAC的大小为（）
A．80°B．85°C．90°D．95°
8．如果M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，那么M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．﹣的绝对值是．
10．如图，在数轴上，点A与点B之间表示整数的点有个．
11．若∠1＝65°，则∠1的补角的大小为．
12．一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可以表示为．
13．计算33°52′+21°54′＝．
14．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的”距离坐标”根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有个．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分）
15．计算：
（1）﹣23÷6+（﹣1）2020．
（2）1.5﹣．
16．以下是马小虎同学化简代数式（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）的过程．
（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）
＝a2b+4ab﹣3ab﹣3a2b…第一步，
＝a2b﹣3a2b+4ab﹣3ab…第二步，
＝ab﹣2a2b…第三步，
（1）马小虎同学解答过程在第步开始出错，出错原因是．
（2）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．
17．已知：图①，②，③均为5×3的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形并涂上阴影，与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，且3种方法得到的展开图不完全重合．
18．如图，AB＝10，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求AD的长．
19．先化简，再求值：6（x2﹣2x）+2（1+3x﹣2x2）﹣2x2，其中x＝．
20．补全下面的解题过程：
如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC 且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．
解：因为∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，
所以∠AOC＝°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠＝°．
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD＝∠＝°，
所以∠COD＝∠﹣∠AOD＝°．
21．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°．
（1）AB与EF
的位置关系是．
（2）对（1）中判断的AB与EF的位置关系加以证明．
22．某市自2020年1月起，对餐饮用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下表所示）：
月用水量（立方米）水价（元/立方米）第一级50立方米以下（含50立方米）
的部分
4.6
第二级50立方米﹣150立方米（含
150立方米）的部分
6.5
第三级150立方米以上的部分8（1）受疫情影响，某饭店4月份用水量为15立方米，则该饭店4月份需交的水费为元．
（2）某饭店9月份用水量为a（50＜a≤150）立方米，则该饭店9月份应交的水费为元．（用含a的代数式表示）
（3）某饭店11月份交水费1080元，求该饭店11月份的用水量．
23．【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．
24．如图，A，B，C是数轴上三点，点B表示的数为4，AB＝8，BC＝2，（1）在数轴上，点A表示是数为，点C表示是数为．
（2）动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为t （t＞0）．
①在数轴上，点P表示的数为，点Q表示是数为；（用含t的代数式表
示）
②若PB＝5QB，求t的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．若有理数a与3互为相反数，则a的值是（）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝﹣3．
故选：B．
2．如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，其俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据简单组合体三视图的意义，得出从上面看所得到的图形即可．
解：从上面看，所得到的图形有两行，其中第一行有2个小正方形，第二行有2个小正方形，
因此选项A中的图形比较符合题意，
故选：A．
3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（）A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解：根据题意，若收入80元记作+80元，则﹣50元表示支出50元．
故选：C．
4．若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为（）A．5B．8C．9D．10
【分析】先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．
解：用科学记数法表示为1.25×1010的原数为12500000000，
所以原数中“0”的个数为8，
故选：B．
5．如图，直线b、c被直线a所截，则∠1与∠2是（）
A．内错角B．同位角C．同旁内角D．对顶角
【分析】根据同位角定义可得答案．
解：直线b、c被直线a所截，则∠1与∠2是同位角，
故选：B．
6．下列代数式中，次数为3的单项式是（）
A．﹣a3b B．3a2b2C．4a3﹣3D．
【分析】利用单项式次数定义可得答案．
解：A、﹣a3b是4次，故此选项不合题意；
B、3a2b2是4次，故此选项不合题意；
C、4a3﹣3是多项式，故此选项不合题意；
D、是4次，故此选项符合题意；
故选：D．
7．如图，点A在点B的北偏东40°方向，点C在点B的北偏东75°方向，点A在点C的北偏西50°方向，则∠BAC的大小为（）
A．80°B．85°C．90°D．95°
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解．
解：∵∠DBA＝40°，∠DBC＝75°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝75°﹣40°＝35°，
∵DB∥EC，
∴∠DBC+∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝180°﹣∠DBC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ACB＝∠ECB﹣∠ACE＝105°﹣50°＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣55°﹣35°＝90°．
故选：C．
8．如果M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，那么M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【分析】先求出M﹣N的值，再根据求出的结果比较即可．
解：∵M＝x2+3x+12，N＝﹣x2+3x﹣5，
∴M﹣N
＝（x2+3x+12）﹣（﹣x2+3x﹣5）
＝x2+3x+12+x2﹣3x+5
＝2x2+17，
∵不论x为何值，2x2≥0，
∴M﹣N＞0，
∴M＞N，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．﹣的绝对值是．
【分析】根据绝对值的性质求解．
解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得||＝．
10．如图，在数轴上，点A与点B之间表示整数的点有6个．
【分析】根据点A、点B所表示的数，再根据数轴表示数的意义，得到整数的点即可．解：因为点A表示的数是﹣3.2，点B表示的数是2.8，
因此点A与点B之间的整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共6个，
故答案为：6．
11．若∠1＝65°，则∠1的补角的大小为115°．
【分析】根据互补，即两角的和为180°，由此即可得出∠1的补角度数．
解：∵∠1＝65°，
∴∠1的补角的大小为180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
12．一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可以表示为100a+10b+c．
【分析】三位数＝百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字，把相关数值代入即可．
解：∵个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，
∴这个三位数可以表示为100a+10b+c．
故答案为：100a+10b+c．
13．计算33°52′+21°54′＝55°46′．
【分析】相同单位相加，分满60，向前进1即可．
解：33°52′+21°54′＝54°106′＝55°46′．
14．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的”距离坐标”根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有4个．
【分析】到l1距离为3的直线有2条，到l2距离为2的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（3，2）的点．
解：因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个．
故答案为：4
三、解答题（本大题共10个小题，共78分）
15．计算：
（1）﹣23÷6+（﹣1）2020．
（2）1.5﹣．
【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的加法可以解答本题；
（2）根据有理数的加减法可以解答本题．
解：（1）﹣23÷6+（﹣1）2020
＝﹣8×+1
＝﹣+1
＝﹣；
（2）1.5﹣
＝1+4+3+（﹣8）
＝[1+（﹣8）]+（4+3）
＝﹣7+8
＝1．
16．以下是马小虎同学化简代数式（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）的过程．（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）
＝a2b+4ab﹣3ab﹣3a2b…第一步，
＝a2b﹣3a2b+4ab﹣3ab…第二步，
＝ab﹣2a2b…第三步，
（1）马小虎同学解答过程在第一步开始出错，出错原因是去掉括号时，没有变号．
（2）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．
【分析】（1）根据去括号法则得出答案即可；
（2）先根据去括号法则去括号，再合并同类项即可．
解：（1）马小虎同学解答过程在第一步开始出错，出错原因是去掉括号时，没有变号，故答案为：一，去掉括号时，没有变号；
（2）正确的解答过程是：
（a2b+4ab）﹣3（ab﹣a2b）
＝a2b+4ab﹣3ab+3a2b
＝4a2b+ab．
17．已知：图①，②，③均为5×3的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形并涂上阴影，与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，且3种方法得到的展开图不完全重合．
【分析】依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
解：如图所示：（答案不唯一）
18．如图，AB＝10，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求AD的长．
【分析】先根据AB＝10，点C是AB的中点，求出AC和BC的长，再根据点D是线段CB的中点，求出CD的长，然后将AC和CD相加即可．
解：∵AB＝10，点C是AB的中点，
∴AC＝CB＝AB＝×10＝5，
∵点D是线段CB的中点，
∴CD＝BC＝×5＝2.5，
∴AD＝AC+CD＝5+2.5＝7.5．
答：线段AD的长为7.5．
19．先化简，再求值：6（x2﹣2x）+2（1+3x﹣2x2）﹣2x2，其中x＝．【分析】直接去括号合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
解：原式＝6x2﹣12x+2+6x﹣4x2﹣2x2
＝﹣6x+2，
当x＝时，
原式＝﹣6×+2
＝﹣3+2
＝﹣1．
20．补全下面的解题过程：
如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC 且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．
解：因为∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，
所以∠AOC＝80°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°．
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD＝∠AOB＝60°，
所以∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°．
【分析】直接利用已知结合角平分线的定义进而分析得出答案．
解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°．
∴∠AOC＝80°．
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°．
∵OD平分∠AOB．
∴∠AOD＝∠AOB＝60°．
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°．
故答案为：80，BOC，120，AOB，60，AOC，20．
21．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°．
（1）AB与EF的位置关系是AB∥EF．
（2）对（1）中判断的AB与EF的位置关系加以证明．
【分析】（1）AB∥EF，依据平行线的性质，即可得到∠BCD＝70°，进而得出∠E+∠DCE＝180°，进而得到EF∥CD，进而得到AB∥EF；
（2）依据平行线的性质，即可得到∠BCD＝70°，进而得出∠E+∠DCE＝180°，进而得到EF∥CD，进而得到AB∥EF．
【解答】（1）解：AB∥EF，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝70°（等量代换），
∵∠BCE＝20°，
∴∠ECD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，
∵∠CEF＝130°，
∴∠CEF+∠ECD＝180°，
∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行），
故答案为：AB∥EF；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝70°（等量代换），
∵∠BCE＝20°，
∴∠ECD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，
∵∠CEF＝130°，
∴∠CEF+∠ECD＝180°，
∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
22．某市自2020年1月起，对餐饮用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下表所示）：
月用水量（立方米）水价（元/立方米）
4.6
第一级50立方米以下（含50立方米）
的部分
6.5
第二级50立方米﹣150立方米（含
150立方米）的部分
第三级150立方米以上的部分8（1）受疫情影响，某饭店4月份用水量为15立方米，则该饭店4月份需交的水费为69元．
（2）某饭店9月份用水量为a（50＜a≤150）立方米，则该饭店9月份应交的水费为（6.5a ﹣95）元．（用含a的代数式表示）
（3）某饭店11月份交水费1080元，求该饭店11月份的用水量．
【分析】（1）直接利用水价50立方米以下（含50立方米）的部分4.6元/立方米，得出答案即可；
（2）根据三级收费标准不同，分别得出分段费用，进而得出答案；
（3）根据题意得出用水量的范围，进而得出答案．
解：（1）由题意可得：15×4.6＝69（元），
故答案为：69；
（2）由题意可得：50×4.6+（a﹣50）×6.5＝6.5a﹣95（元），
故答案为：6.5a﹣95；
（3）因为50×4.6+（150﹣50）×6.5＝880（元），
1080＞880，
所以11月份用水超过150立方米，
设11月份用水x立方米，根据题意得：50×4.6+（150﹣50）×6.5+8（x﹣150）＝1080，解得：x＝175．
答：该饭店11月份用水175立方米．
23．【感知】如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．（提
示：过点P作直线PQ∥AB）
【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为∠CPD＝∠α+∠β．
（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
【分析】过P作PQ∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：点P在A、M两点之间；点P在B、O两点之间；分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．
解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠APQ＝180°﹣∠PAB＝50°，∠CPQ＝180°﹣∠PCD＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图②，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图③，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图④，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
24．如图，A，B，C是数轴上三点，点B表示的数为4，AB＝8，BC＝2，（1）在数轴上，点A表示是数为﹣4，点C表示是数为6．
（2）动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P的运动时间为t （t＞0）．
①在数轴上，点P表示的数为﹣4+2t，点Q表示是数为6﹣t；（用含t的代数式
表示）
②若PB＝5QB，求t的值．
【分析】（1）根据点B所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点C、B表示的数；
（2）①根据题意表示出AP＝2t，CQ＝t，根据两点的运动方向可得答案；
②根据PB＝|4﹣（﹣4+2t）|，BQ＝|6﹣t﹣4|，PB＝5QB列方程即可得到答案．
解：（1）∵B表示的数为4，AB＝8，BC＝2，
∴点B表示的数是4﹣8＝﹣4；
点C表示的数是4+2＝6．
故答案为：﹣4，6．
（2）①由题意得：AP＝2t，CQ＝t，
所以点P表示的数是﹣4+2t，点Q表示的数是6﹣t．
故答案为：﹣4+2t；6﹣t．
②由题意得：PB＝|4﹣（﹣4+2t）|＝|8﹣2t|，BQ＝|6﹣t﹣4|＝|2﹣t|，当PB＝5QB时，|8﹣2t|＝5|2﹣t|，
解得t＝或．。