保险费制定的预测模型介绍

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保险费制定的预测模型
摘要
本文所研究的问题为政府实行安全带法规后,因司机死亡率下降及医疗费用下降,从而引起保险公司所定汽车基本保险费变化的情况。

本文要解决的问题是：保险公司是否可以降低保险费,以及在实行安全带法规后五年如何确定保险费。

针对问题一,我们根据溶液性质均衡原理,利用总投保人数增长率与居民汽车拥有量平均增长率之间的比例关系,可以求得今后五年中各类投保人的数量,继而可以求得每年的死亡赔偿费、医疗费、修理费等各种支出费用，再将其代入，
706.55百万元，即公司能盈利7０６.5５百万元。

因此,我们得出结论：保险公司可以下调基本保险费。

针对问题二，我们在问题一所建模型的基础上，改变医疗总费用，将其代入，可以分别求得实施安全法规后五年医疗费下降20%和40%情况下的总支出费用。

而在公司不亏损的情况下,总费用与最低保险费之间的关系为:。

其中，。

据此,我们可得出实施安全法规后五年的Ｗ值及医疗费分别下降2０%和４0%
关键词溶液性质均衡原理总支出费用预测模型最低保险费预测模型比例关系
一、问题重述
某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内,若客户没有要求赔偿,则给予额外补助。

所有参保人被分为0,1,2,3四类。

类别越高，从保险费中得到的折扣越多。

在计算保险费时,新客户属于0类，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别;若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别,否则为0类。

客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的,将退还其保险金的适当部分。

现在政府准备在下一年开始实施安全带法规,如果实施了该法规,虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降。

这是政府预计会出现的结果,从而期望减少保险费的数额。

这样的结果果真会出现吗？这是保险公司目前最关心的问题。

根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%,遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来,有人认为,医疗费会减少2０％到40%。

假设当前年度该保险公司的统计如下表1和表2。

保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题,并以表1和表2的数据为例，验证你的方法。

并给出在医疗费下降２0%和40%的情况下,公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。

净收入:６112百万元;支出:１４9百万元，索赔支出:6093百万元,
超支：１30百万元。

总死亡赔偿费:１894百万元，总索赔费:60９3百万元。

因此,本文要解决以下两个问题:
问题一:验证实行安全带法则后，保险费的数额是否会减少？
问题二:分析医疗费在下降20％和4０%的情况下，保险公司今后５年每年每份保险费应收多少才比较合理?
二、问题的分析
政府希望实施安全带法规使保险公司赔偿的医药费下降，而使得保险费下降。

保险公司是一个以赢利为目的企业实体,因此它所关心的问题是实行安全带法规后应该怎么制定保险费，使得自己至少不亏损。

对于保险公司的收支情况我们做出分析：收入只有保险费一个来源,由汽车保险知识我们知道,汽车保险分为基本保险和附加保险,汽车保险费由基本保险费和附加保险费两部份构成。

一般来说，对于一个保险公司,附加保险费主要用于支付保险公司的日常营业费用，这部份费用对于公司下一年的保险费决策影响很小,可假定是不变的。

因而解决问题的关键就在于求汽车保险公司下一年度基本保险费的变化。

支出可分为四类：注销退保返还费、投保人无索赔时的补贴（折扣)、保险公司的日常开销、事故赔偿费，因此支出等于以上四项之和。

当收入等于支出时,我们认为保险公司是正好没有亏损，保险公司可以通过这一点来制定最少的保险
费。

由以上分析，我们可以建立一个保险公司总支出费用的预测模型，通过对比实行法规前和实行法规后的基本保险费，就可以回答问题一。

在解决问题二时,我们只要在模型的基础上将医疗费下降20％至40％代入求解即可。

三、模型假设
1、保险公司只提供一年期的综合保险单业务，若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予补助(折扣）。

２、假设每年的新投保人数与车辆的增长有关,我们假设他们的增长率相同,并且与保险费的变化无关，颁布了法规的情况下,每个类别的死亡司机和没有颁布法规时相比都减少４0％。

3、保险注销人数、索赔人数与总投保人数比例不变，死亡司机人数与索赔人数比例不变。

４、公司每年的每类平均死亡赔偿费、平均修理费、平均注销返还金额不变。

5、假设公司每年日常支出与总投保人数成正比。

６、假设上一年的投保人会继续投保，上一年注销保险的人和死亡的人将不再投保。

同时我们认为参保人只有４类，就是说第３类的人无索赔继续投保还是第3类。

7、假设所有投保车辆都是按新车保险价值即购置价投保;所有车辆投保保险费都按一人一车投保,不考虑一人多车即车队投保下汽车保险公司的优惠。

8、题目中所给数据及通过网络查得的数据资料真实可信。

四、符号说明
：第i年、第j类总保险人数
1) n
miｊ
2） n
：第ｉ年、第j类索赔人数
sij
：第i年、第j类死亡人数
３) n
wij
：第i年、第ｊ类注销人数
4) n
zｉｊ
5) n
：第ｉ年新投保人数
xｉ
6) :医疗费用下降百分比
:第i年修理总费用
7) Q
xｉ
:第i年医疗总费用
8) Q
yi
：第i年死亡赔偿总费用
９) Q
wi
：第i年注销偿还总费用
1０) Q
cｉ
：第i年索赔总费用
１1） Q
ｓi
：保险公司的日常开消费用
12) Q
ri
：第i年总费用
1３) Ｑ
i
14) ：每年j类平均死亡赔偿费
15) : 每年j类平均修理费
16） : 每年j类平均医疗费
17) : 每年j类注销人平均所得偿还退回金额
18）：
为每年居民汽车拥有量平均增长率
19) x : 每年最低基本保险费
五、模型的建立与求解
5．１准备工作
ﻩ根据统计学原理,当物体数量超过5０时就可以作为一个统计单元。

而本题求解所用到的数据量达到百万之多，根据这一特点我们可以利用溶液性质均衡原理。

所谓溶液性质均衡原理,是指所有溶液的内部性质（浓度、密度、透明度、颜色等）处处相同。

我们所要求解的总投保人数相当于一杯溶液，注销人数、索赔人数、死亡人数均为溶液中的溶质。

因此,它们和总投保人数比为一定值ｋ(k 为比例常数）,即注销率、索赔率、死亡率为常数，因此我们可以得到下列式子：
注销比例常数：k
z =n
ｚi
/n
mi
(1）
索赔比例常数：ｋ
s =n
si
/ｎ
mi
(２）
死亡比例常数：k
w =n
wi
/ｎ
ｍi
（3）
由积分原理，在一个极小的时间段内，新增投保人增长率等于该时间段内平均增长率。

根据此原理,我们建立模型一。

在该模型中，对于汽车保险长期的企业经营,两年可看作一个小时间段。

由于每年新增投保人数的增长与居民汽车年拥有量的增长是有直接关系的,汽车拥有量的增加直接影响着新增投保人数的总和，因此居民汽车年拥有量的增加意味着新增投保人数应有相应比例的增加,在这里我们令：
（４）
５.1.1每年居民汽车拥有量平均增长率的计算
由国家统计局公布的统计数据，可以得到最近几年的居民汽车拥有情况，见表3.
为形象直观地描述近年来居民汽车拥有情况，我们将上表制成居民汽车拥有量柱状图及居民汽车拥有量增长率折线图,见图1、图2.
图1.居民汽车拥有量柱状图
图2．居民汽车拥有量增长率折线图
通过以上两图,我们可以看出，居民的汽车拥有量是逐年增加的，并且增长率总体有上升趋势。

由于前些年与最近几年的居民汽车拥有量增长率有较大差距，为更好地贴近最近几年的实际情况,我们只取后五年居民汽车拥有量增长率作为凭据,可以求得最近几年居民汽车拥有量的平均增长率约为:
(２3．1６%+１７．０1%+17．88%+17.０2%＋17.30%）/5=1８.47％（5）
5．1.2每年各类投保总人数的计算
根据题目的条件给出的条件和本文做出的假设,我们可以计算出下一年各类总投保人数的数值，具体计算方法及过程如下：
1）下一年第０类投保总人数＝下一年新投保人数＋当前年第0类索赔人数-当前年第0类死亡人数+当前年第１类索赔人数-当前年第1类死亡人数+当前年第２类索赔人数-当前年第2类死亡人数;
２）下一年第１类投保总人数=当前年第０类投保总人数-当前年第0类注销人数-当前年第0类索赔人数+当前年第3类索赔人数-当前年第3类死亡人数；
3）下一年第2类投保总人数=当前年第1类投保总人数-当前年第1类注销人数-当前年第1类索赔人数；
4)下一年第3类投保总人数=当前年第３类投保总人数-当前年第3类注销人数-当前年第3类索赔人数+当前年第2类投保总人数-当前年第2类注销人数-当前年第2类索赔人数；
即:
(6）
(7）
(8）
(9）
根据上面的公式,我们可以借助excｅｌ求出今后五年的各类投保人数量,具体结果如下表所示:
５.２模型一
５.2．1 模型一的建立
对于问题一,我们建立总支出模型。

通过比较实施安全带法规前后每年的总支出,来确定是否应该降低保险费。

首先,我们确立总支出费用与修理总费用、医疗总费用、死亡赔偿总费用、注销偿还总费用等地关系式：
（1０）
年总支出费用
i 第: ｉQ ﻩ:其中 Ｑxi ：第i 年修理总费用 Q yi :第ｉ年医疗总费用
Q wi :第i 年死亡赔偿总费用
Q ｃi :第i 年注销偿还总费用
Q si ：投保人无索赔补贴费用
Q ri ：保险公司的日常开消费用
由已知条件和假设,可得修理总费用、医疗总费用、注销偿还总费用、死亡赔偿总费用等的计算公式：
第i 年修理总费用:
（１1）
第ｉ年医疗总费用:
（12） 第i 年投保人无索赔补贴费用：
(１3）
其中，为ｊ类补贴比例 第i 年注销偿还总费用：
（14）
第ｉ年死亡赔偿总费用:
(１５) 根据假设，保险公司每年日常支出总费用与总投保人数成正比，因此第i 年日常支出总费用:
（16） ５.2.2问题一的求解
根据所建立的模型,我们可以求出未来五年公司每年的死亡赔偿总费用、医疗总费用、修理总费用、日常支出费用、注销偿还费用及总支出费用。

我们将其与未实时法规时，即第0年的数据进行对比,并列入下表。

通过求解，我们可以得出第一年的总支出为
=5６05．45百万元,
比未实行安全带法规的第０年总支出6312百万元少了706．55百万元,也就是说公司赢利7０6.55百万元。

因此，我们可以得出结论：汽车保险公司应该下调基本保险费。

５.3模型二
5.３．1 模型二的建立
根据题目所给的条件，在医疗费下降２0%和４０%的情况下，我们可以建立另一组式子来计算各项费用和最低基本保费。

而支出资金、偿还资金、死亡赔偿金、修理资金在医疗费下降的条件下是不变的,因此我们可以得出以下式子:
第i年修理总费用
(１１)
第i年医疗总费用
（1７）
其中为医疗费减少的百分比
第i年投保人无索赔补贴费用
(13)
第i年注销偿还总费用
(14)
第ｉ年死亡赔偿总费用
（15)
通过以上各式,我们可以编程求出医疗费下降20%时各项费用和医疗费下降4０%时各项费用，如表６、表7所示。

各年保险公司能接受的最低基本保险费是收支平衡时的保险费，所以保险公
决定的。

而公司的收入来源是公司向投司的年最低保险费是根据总费用支出Q
ｉ
保人收取的基本保险费，考虑到每年公司给没有索赔的投保人的额外补助,公司的实际收入计算如下：
没索赔的投保人实际交纳的基本保险费：
（18）
索赔的投保人实际交纳的基本保险费:
（１9）所以,公司的实际收入为：
(2０)
因此，公司在不亏损的情况下，总费用与最低保险费之间的关系为：
（21)
令
(２2）
则最低保险费为：
(23)
５.３.２模型二的求解
通过式(26)我们可以编程求得未来5年的W值,求解结果见表8。

下降情况下的最低基本保险费，见表9.
通过上面的求解，我们可以准确地给出实施安全带法规后,未来5年医疗费下降20％和40％情况下的最低基本保险费，从而解决问题二。

六、模型的评价及改进
6.1模型的优点
1)模型简单，易于实现和推广。

运用溶质均衡原理，将模型合理简化。

２）具有较强的可靠性。

在计算居民汽车拥有量平均增长率时,数据采样充足，计算认真准确。

3）具有一定的实践性。

根据本文所建模型,能够预测出未来５年内因医疗费的下降公司应向投保人收的最低基本保险费,在一定程度上帮助汽车保险公司做出合理的决策。

6.２模型的不足
1)假设过于理想。

在本文模型中，我们假设平均注销返回金额不变,索赔人数占总投保人数比例不变,而根据中国人民保险股份有限公司第三十三条规定,保险责任开始前,投保人要求解除保险合同的,应当向保险人支付应交保险费5％的退保手续费,保险人应当退还保险费，而且随着司机佩戴安全带意识的加强，索赔人数也会下降。

2）考虑不够周全。

新投保人数还与人们对保险的认识度、公司的宣传力度等有关,另外没有考虑到注销的时间，因为注销时间不同,公司付出的偿还费用就不同。

6.3 模型的改进
人的思想也会随着观念的转变而转变，通过网上资料可得,购车人的保险意识是逐渐增强的,即汽车购买者参加汽车保险的比例也会有相应的增加，这个比例应根据消费者的思想观念来决定，所以我们得到n xi =n x(i-1)k q k r （k r 为认识度系
数)。

根据认识度理论我们可以给出投保认识系数k ｒ=1.０１i (i 为第i 年实施安全
带法律法规);同时注销人数的比例也会随着认识度改变而相应的有所改变,及n zi =n i k z k ｚr ，同理我们也可得到注销认识系数k zr =０.99ｉ（i 同上)。

因实施了安全
带法，原死亡的一部分就会转化为受伤的人，但死亡人数转化为受伤人数对于索赔人数来说带来的影响可以忽略不记。

而司机因佩带了安全带，从而降低了司机的受伤概率,即索赔人数的减少,随着法律法规的实施,人们自觉佩带安全带的意识加强,使最近几年内的索赔人数有个下降系数，即ξ＝０.98i (ｉ同上），则有:
(24)
我们上面所做的模型求解是基于基本假设和题目所给条件下得出的,但实际情况与我们的求解过程有所出入。

根据中国人民保险股份有限公司第三十三条规定：
第三十三条: 保险责任开始前，投保人要求解除保险合同的，应当向保险人支付应交保险费５%的退保手续费,保险人应当退还保险费。

保险责任开始后,投保人要求解除保险合同的,自通知保险人之日起,保险合同解除。

保险人按短期月费率收取自保险责任开始之日起至合同解除之日止期间的保险费,并退还剩余部分保险费。

因此这就影响我们所求的偿还退回资金,所以偿还退回资金就会产生相应的变动，即
(25)
按照这个改进思路，可以对本文所建的模型进行修正,使之更趋于实际,再对
汽车保险公司未来5年得最低保险费进行预测。

七、参考文献
[1］袁新生,邵大宏,郁时炼,lingo和excel在数学建模中的应用,北京：科学出版社,2００7.９。

[2]庄俊鸿,《保险学》，广州：华南理工大学出版社，１99４.８。

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［４]姜启源，《数学模型》 ,北京:高等教育出版社, １９93.８。

[5]中人财保险股份有限公司, 《机动车辆保险条款及费率》, 网址：易保(2004.5.１）
［6]陶存文 ,《新编保险会计》，北京：立信会计出版社 ,２000.1。

［7]国家统计局网,．,２01１．8.2１。