广东省广州市天河区2023-2024学年高二上学期期末数学试题

13．若方程 x2 y2 2x m 0 表示一个圆，则实数 m 的取值范围是
．
14．已知数列an 满足 a1 1 an1 3an 2，则an 的通项公式为
．
15．已知点 A(0, 2) 和 B(0, 2) ，椭圆 y2 x2 1上一点 P 满足| PA | | PB | 2 ，则
4 PB 平面 ABCD ．
(1)求证： AP CD ； (2)若平面 PCD 与平面 PCB 夹角的余弦值为 3 ，求四棱锥 P ABCD 的体积．
3 21．甲乙两家新能源汽车企业同时量产，第一年的全年利润额均为 p 万元根据市场分析
和预测，甲企业第
n
年的利润额比前一年利润额多
3
p
2 3
n
B．[4, 2]
C．[3, 3]
二、多选题 9．已知直线 l1 : ax y 1 0, l2 : 2x (a 1) y 2a 0 ，且 l1//l2 ，则（ ）
A． a 2
B． a 1
C． l1 与 l2 间的距离为 5
D． l1 的一个方向向量为 (1, 2)
10．若动点 P(x, y) 与两定点 M (2,0), N(2,0) 的连线的斜率之积为常数 k（ k 0 ），则点
Can满足 a5a7 5 ，若 a2a4a8am 25 ，则正整数 m 的值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
3．直线 l : x cos y sin 2 0 与圆 O : x2 y2 1的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
A．5
B．6
C．7
D．8
8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : (x 1)2 ( y 2)2 2，若圆
D : (x a)2 ( y 1)2 2 上存在点 P，由点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M，且满足
| PM | 2 | PO | ，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．[ 7 1, 7 1] D．[2, 4]
试卷第 5页，共 5页
试卷第 1页，共 5页
A． 3 4
B．1
C． 5 4
D． 3 2
7．已知抛物线 y ax2 bx c( a 0)可由抛物线 y ax2 平移得到，若抛物线
E : y 1 (x 2)2 3 的焦点为 F ，点 P 在抛物线 E 上且 | PF | 5 ，则点 P 到 x 轴距离为（ ） 4
广东省广州市天河区 2023-2024 学年高二上学期期末数学试 题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线 l 经过点 A1, 0 和 B 1, 2 3 ，则 l 的倾斜角为（ ）
A． π 6
B． π 4
P(x, y) 的轨迹可能是（ ）
A．除 M，N 两点外的圆 C．除 M，N 两点外的双曲线
B．除 M，N 两点外的椭圆 D．除 M，N 两点外的抛物线
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，
则下列说法正确的是（ ）
A．点 D1 到直线 A1C 的距离为 2 2
B．点 D1 到平面 A1BD 的距离为
3 3
试卷第 2页，共 5页
C．若点 P(x, y, z) 在直线 A1C 上，则 x y 1 z
D．若点 P(x, y, z) 在平面 A1BD 内，则 x y z 1
12．已知数列 an 的通项公式为
an
(2n 1)π 4
, bn
tan
an
，记 Sn
4．图 1 是一个水平摆放的小正方体木块，图 2，图 3 是由这样的小正方体木块叠放而
成的，按照这样的规律放下去，第 6 个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
图1
图2
图3
A．61
B．66
C．90
D．91
5．已知双曲线 C ：
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的一条渐近线与直线 2x
y 1 0 垂直，则
16 12
PA PB
．
16．如图，正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，且它们所在的平面所成的二面
角 D AB F 的大小是 60 ，则直线 AC 和 BF 夹角的余弦值为
．若 M , N 分
别是 AC, BF 上的动点，且 AM BN ，则 MN 的最小值是
．
四、解答题
万元，乙企业前
n
年的总利
润额为 p n2 n 1 万元，记甲，乙两企业第 n 年利润额（单位：万元）分别为 an ,bn ．
(1)求 an ,bn ； (2)若其中某一新能源汽车企业的年利润额不足另一企业的年利润额的 50% ，则该企业
试卷第 4页，共 5页
将被另一企业收购，判断哪一家新能源汽车企业有可能被收购？如果有这种情况，至少
17．设an是公差不为 0 的等差数列， a1 2 ， a3 是 a1 ， a11 的等比中项.
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 bn
3 an an 1
，求数列 bn 的前
n
项和 Sn
.
18．如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2, AA1 4 ．点 E，F，G，H 分别在
会出现在第几年？
22．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的短轴长为
2，点
P
在椭圆
C
上且与两焦点围成
的三角形面积的最大值为 3 ．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)过椭圆 C 内一点 T (m,0) 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，是否存在定值 m，使得 | AB | 4 | AT | | BT | 恒成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．
试卷第 3页，共 5页
棱 AA1, BB1,CC1, DD1 上， AE 1, BF DH 2,CG 3 ．
(1)证明： FG / /EH ； (2)求直线 AA1 与平面 EGH 所成角的正弦值．
19．已知圆 C : x2 ( y 1)2 4 ，直线 l 过点 M (2, 4) ． (1)若直线 l 的斜率为 2 ，求直线 l 被圆 C 所截得的弦长； (2)若直线 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程． 20．己知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形，AD//BC, BAD π , AD 2BC 4 ，
为数列 an 的前
n
项和，
则下列说法正确的是（ ）
A． bn (1)n
B． b1 b2 b3 L
bn
1 (1)n1 2
C．若 cn anbn ，则 c1 c2 c3 L
cn
(1)n1nπ 4
D．若 dn bnSn ，则 d1 d2 d3 L d40 205π
三、填空题
该双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 5
2
B． 3
C．2
D． 5
6．如图，在三棱台 ABC - A1B1C1 中， A1B1 2AB ， N 是 B1C1 的中点， G 是 CN 的中点， uuur uuuur uuuur uuur
若 A1G x A1B1 y A1C1 z A1A ，则 x y z （ ）