动点问题含解析

【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．
∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥．（梯形内辅助线的常用做法） ∴MC NC EC CD =．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t =
．
【解析】
（2）分三种情况讨论：
① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
∵4
sin 5DF C CD ∠==，
∴3
cos 5C ∠=，
∴310225t
t -=⨯，
解得25
8
t =．
A
B M C
N
E D
② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ． 则2CN CH =，
∴()3
21025
t t =-⨯．
∴6017
t =．
③ 当MC CN =时， 则102t t -=． 10
3
t =．
综上所述，当258t =、6017或10
3
时，MNC △为等腰三角形．
【例2】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．
（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关
系，并证明你的结论．
（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC
＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）
【解析】：
（1）结论：CF 与BD 位置关系是垂直；
A B M C
N
F D A
B M C
N H
D
证明如下： AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， ∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠ACF=∠ABD ． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．
（2）CF ⊥BD ．(1)中结论成立．
理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF ⊥BD
（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ， ①点D 在线段BC 上运动时，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ，
易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ =，∴44CP x
x =-，
2
4
x CP x ∴=-+．
②点D 在线段BC 延长线上运动时，
∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．
过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，
∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ =，∴44CP x
x =+，
2
4
x CP x ∴=+．
【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．
（1）求证：梯形是等腰梯形；
（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设
求与的函数关系式；
（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．
【解析】
（1）证明：∵是等边三角形 ∴ ∵是中点 ∴
∵
∴
ABCD 24AD BC AD BC ==∥，，，M AD MBC △ABCD P Q BC MC 60MPQ =︒∠PC x MQ y ==，，y x y PQC △MBC △60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠M AD AM MD =AD BC ∥60AMB MBC ==︒∠∠
， A
D
C
B
P M
Q
60
∴ ∴
∴梯形是等腰梯形．
（2）解：在等边中，
∴(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴ ∴(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)
（3）解：为直角三角形
∵ ∴当取最小值时，
∴是的中点，而 ∴ ∴
【例4】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连
接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，
． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；
（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的
结论是否仍然成立？（不要求证明）
60DMC MCB ==︒∠∠AMB DMC △≌△AB DC =ABCD MBC △4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠BMP QPC =∠∠BMP CQP △∽△PC CQ
BM BP
=PC x MQ y ==，44BP x QC y =-=-，444x y x -=-2144y x x =-+PQC △()2
1234
y x =
-+y 2x PC ==P BC MP BC ⊥，60MPQ =︒∠，30CPQ =︒∠，90PQC =︒∠
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。

从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。

第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。

第二问将△BEF 旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。

事实上，本题的核心条件就是G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。

连接AG 之后，抛开其他条件，单看G 点所在的四边形ADFE ，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做AD,EF 的垂线。

于是两个全等的三角形出现了。

（1）CG EG =
（2）（1）中结论没有发生变化，即CG EG =．
证明：连接AG ，过G 点作MN AD ⊥于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在DAG ∆与DCG ∆中，
∵AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，
，， ∴DAG DCG ∆∆≌．
∴AG CG =．
在DMG ∆与FNG ∆中，
∵DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，， ∴DMG FNG ∆∆≌．
∴MG NG =
在矩形AENM 中，AM EN =
在Rt AMG ∆与Rt ENG ∆中，
∵AM EN MG NG ==，
， ∴AMG ENG ∆∆≌．
∴AG EG =． ∴EG CG =
（3）（1）中的结论仍然成立．
图3
图2
图1
F
E
A
B
C
D
A
B
C D
E
F
G
G
F
E
D C B
A
M N
图2
A
B
C
D E
F
G
G
图3
F
E
A
B
C
D。