《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)基础巩固第4章第7节解三角形应用举例

第四章第七节
一、选择题
1．(文)(2014·济南模拟)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为()
A．19km B．(6－1)km
C．(6＋1)km D．7km
[答案] B
[解析]由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，
设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x cos120°，
∵x>0，∴x＝6－1.
(理)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()
A．a B．3a
C．2a D．2a
[答案] B
[解析]由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝3a，故选B．2．一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min 后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()
A．102n mile B．103n mile
C．202n mile D．203n mile
[答案] A
[解析]如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，
由正弦定理得BC
sin30°＝20
sin45°，∴BC＝102，故选A．
3．海上有A 、B 两个小岛相距10n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 的距离是( )
A ．103n mile
B ．106
3n mile
C ．52n mile
D ．56n mile
[答案] D
[解析] 在△ABC 中由正弦定理得10sin45°＝BC sin60°，
∴BC ＝5 6.
4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 B ．2sin10° C ．2cos10° D ．cos20° [答案] C
[解析] 如图，BD ＝1，∠DBC ＝20°，∠DAC ＝10°，
在△ABD 中，由正弦定理得1sin10°＝AD
sin160°
， ∴AD ＝2cos10°.
5．(文)如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )
A ．
32
B ．2－ 3
C ．3－1
D ．
22
[答案] C
[解析] 在△ABC 中，由正弦定理可知，
BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin15°sin (45°－15°)
＝50(6－2)，
在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBD
CD
＝
50(6－2)·sin45°
50
＝3－1.
由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.
(理)(2014·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km ，速度为1 000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)( )
A ．11.4
B ．6.6
C ．6.5
D ．5.6
[答案] B
[解析] AB ＝1 000×160＝50
3(km)，
∴BC ＝AB sin45°·sin30°＝50
32(km)．
∴航线离山顶h ＝
50
32
×sin75°≈11.4(km)． ∴山高为18－11.4＝6.6(km)．
6.如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A 、B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )
A ．5n mile
B ．23n mile
C ．13n mile
D ．32n mile
[答案] C
[解析] 连接AC ，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5，则AC ＝5.在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.
7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )
A ．237
B ．227
C ．247
D ．257
[答案] A
[解析] 解法1：如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°，
∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，
∴AB ＝AC ·sin60° ＝
100·sin45°·sin60°
sin15°
＝
100×22×32
6－24
≈237.∴选A ．
解法2：在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ， ∴BC ＝AB －100.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°， ∴AB AB －100＝3，∴AB ＝150＋503≈237. 二、填空题
8．(2014·镇江月考)一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
[答案] 30 2
[解析] 如图，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在三角形AMB 中，由正弦定理得60
sin45°＝BM sin30°
，
解得BM
＝302(km)．
9.(2014·潍坊模拟)如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.
[答案] 32
[解析] 设航速长为v n mile/h ，
在△ABS 中，AB ＝1
2v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，
由正弦定理得：82
sin30°＝12v sin45°，∴v ＝32.
三、解答题
10．(文)港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20n mile 后到达D
处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile ，问此时轮船离港口A 还有多远？
[解析] 在△BDC 中，由余弦定理知， cos ∠CDB ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD ＝－17，
∴sin ∠CDB ＝43
7.
∴sin ∠ACD ＝sin(∠CDB －π
3
)
＝sin ∠CDB cos π3－cos ∠CDB sin π3＝53
14.
在△ACD 中，由正弦定理知
AD
sin ∠ACD ＝CD
sin A
⇒AD ＝5314×21÷3
2＝15(n mile)．
∴此时轮船距港口还有15n mile.
(理)在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 为(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 为2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方
向能最快追上走私船？
[解析] 如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD ．
设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ， 在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理得
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6， ∴BC ＝6，
∵cos ∠CBA ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB
＝6＋(3－1)2－426·(3－1)＝2
2，
∴∠CBA ＝45°，即B 在C 正东． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得
sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝1
2，
∴∠BCD ＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
[点评] 本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
一、选择题
11．(2015·江西乐安一中月考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
[答案] D
[解析] ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )， ∵sin C ＋sin(B －A )＝sin2A ， ∴sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝sin2A ， ∴2sin B cos A ＝2sin A cos A ， ∴cos A ＝0或sin A ＝sin B ， ∴A ＝π
2
或A ＝B ，故选D ．
12．(2014·四川雅安中学月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．正三角形
[答案] C
[解析] 由正弦定理可把原式化为a 2＋b 2－c 2<0，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c
2
2ab
<0，
所以C 为钝角，因此△ABC 为钝角三角形．
13．(2014·山西长治二中、康杰中学等四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则b 等于( )
A ．5
B ．25
C ．41
D ．5 2
[答案] A
[解析] 根据正弦定理知a sin A ＝b sin B ，故b sin A ＝22，∵S △ABC ＝2，即12bc sin A ＝2，∴c ＝4 2.
根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×cos45°＝25，可得b ＝5.故选A ．
二、填空题
14．(2014·皖北协作区联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a cos C ＋3a sin C －b ＝0，则∠A ＝________.
[答案] π
6
[解析] 由a cos C ＋3a sin C －b ＝0得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即3sin A sin C ＝cos A sin C ，
∵sin C ≠0，∴tan A ＝
33，∴A ＝π6
. 15.(2013·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A 离地面21
2m ，树上另一
点B 离地面112m ，某人在离地面3
2m 的C 处看此树，则该人离此树________m
时，看A ，B 的视角最大．
[答案] 6
[解析] 过C 作CF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝α，∠BCF ＝β，由已知得AB ＝212－11
2＝5(m)，
BF ＝112－32＝4(m)，AF ＝212－32＝9(m)．则tan(α＋β)＝AF FC ＝9FC ，tan β＝BF FC ＝4
FC ，∴tan α＝[(α
＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝9FC －4
FC 1＋36FC 2＝5
FC ＋36FC ≤
5
2FC ·
36FC ＝512
.当且仅当FC ＝36
FC ，即FC
＝6时，tan α取得最大值，此时α取得最大值．
三、解答题
16．(文)如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走10m 到B ，在B 处测得山顶P
的仰角为γ＝60°，求山高h (单位：m)．
[解析] 在三角形ABP 中， ∠ABP ＝180°－γ＋β， ∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α. 在△ABP 中，根据正弦定理得
AP
sin ∠ABP ＝AB
sin ∠APB ，
∴AP sin (180°－γ＋β)＝10
sin (γ－α)， ∴AP ＝10sin (γ－β)sin (γ－α)
.
又γ＝
60°，α＝30°，β＝15°，
∴山高为h ＝AP sin α＝10sin αsin (γ－β)
sin (γ－α)
＝52(m)．
(理)在海岛A 上有一座海拔1 km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B 处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C 处．
(1)求船的航行速度；
(2)求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离． [解析] (1)设船速为x km/h ，则BC ＝x
6km.
在Rt △P AB 中，∠PBA 与俯角相等为30°， ∴AB ＝1tan30°
＝ 3.
同理，Rt △PCA 中，AC ＝1tan60°＝3
3.
在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°， ∴由余弦定理得 BC ＝(3)2＋(
33)2－2×3×33cos60°＝21
3
， ∴x ＝6×
21
3
＝221km/h ，∴船的航行速度为221km/h. (2)作AD ⊥BC 于点D ，连接PD ，
∴当航行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小．
此时，AD ＝AB ·AC ·sin60°
BC
＝
3×
33×3221
3
＝37
14.
∴PD ＝
1＋(3714)2＝25914
.
∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为
259
14
km. 17．(文)如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ(θ＝arctan 1
2
)的方向做匀速直线航行，速度为105n mile/h.
(1)求出发后3h 两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？ (3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．
[解析] 以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系． 设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)， Q (x 2，y 2)，
则x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝x 1＝15t ， 由θ＝arctan 12可得，cos θ＝255，sin θ＝55
，
故x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40， (1)令t ＝3，则P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)， |PQ |＝
(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534.
即两船出发后3h ，相距534n mile. (2)由(1)的求解过程易知： |PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2
＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2 ＝
50t 2－400t ＋1600＝
50(t －4)2＋800≥202，
∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.
即两船出发后4h ，相距最近，距离为202n mile.
(3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为202n mile ，故两船不可能相遇．
(理)(2014·南京盐城二模)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
[解析] 设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，
MN sin60°＝AM sin (120°－θ)
. 因为MN ＝2，所以AM ＝433
sin(120°－θ)． 在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．
AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP
＝
163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633
sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203
＝203－163
sin(2θ＋150°)，θ∈(0,120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，当θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.。