高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等

二 绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
1．理解绝对值的几何意义．
2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义．
3．三个实数的绝对值不等式及应用．
1．绝对值的几何意义
(1)实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为____的点A 到______的距离．
(2)对于任意两个实数a ，b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a －b |的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的______，即线段AB 的______．
(1)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，当a >0时，0，当a ＝0时，
－a ，当a <0时.
(2)对任意实数a ，都有|a |＝a 2
.
(3)实数积和商的绝对值运算法则： |ab |＝|a |×|b |，|a b |＝|a ||b |
(b ≠0)． 2．绝对值三角不等式
(1)如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当________时，等号成立．
(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a ，b 换成向量a ，b ，当向量a ，b 不共线时，由向量加法的三角形法则，向量a ＋b ，a ，b 构成三角形，因此有向量形式的不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |，它的几何意义是______________．
【做一做】 若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )
A ．|x －y |＜2h
B ．|x －y |＜2k
C ．|x －y |＜h ＋k
D ．|x －y |＜|h －k |
3．三个实数的绝对值不等式
如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．
答案：1．(1)a 原点
(2)距离 长度
2．(1)ab ≥0
(2)三角形两边之和大于第三边
【做一做】 C |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|a －y |＜h ＋k .
3．(a －b )(b －c )≥0
1．对绝对值三角不等式的理解
剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：
|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.
和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．
2．对绝对值三角不等式几何意义的理解
剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|.当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．
绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：
|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.
我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a ＋b |是不小于||a |－|b ||的，|a |－|b |不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确．
题型一 绝对值三角不等式的性质
【例1】 若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：
①|x lg n n ＋1|＜5|lg n n ＋1
|； ②|x |lg
n n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1
|； ④|x |lg n n ＋1＜5|lg n
n ＋1|. 其中，能够成立的有______．
反思：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了．
题型二 用绝对值三角不等式的性质证明不等式
【例2】 设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋b x 2|＜2. 分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.
反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．
题型三 绝对值三角不等式的综合应用
【例3】 已知函数f (x )＝lg x 2－x ＋1x 2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．
(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310
. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．
反思：此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在．
答案：
【例1】 ④ ∵0＜
n n ＋1＜1， ∴lg n
n ＋1＜0.
由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，
∴可以否定①②③，而|x |lg n
n ＋1＜0，故④成立．
【例2】 证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，
∴|x |2＞|b |，
∴|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |
2＝2. ∴|a x ＋b x
2|＜2.
故原不等式成立．
【例3】 解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数． 证明：令u ＝x 2－x ＋1x 2＋1＝1－x x 2＋1
. 取－1≤x 1＜x 2≤1.
则u 1－u 2＝x 2－x 1
1－x 1x 2x 2
1＋1x 22＋1
， ∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，
∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.
由u ＞0，lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，
∴f (x )在[－1,1]上是减函数．
(2)∵|t －16|－|t ＋16
|
≤|(t －16)－(t ＋16)|＝13. |t ＋16|－|t －16
| ≤|t ＋16－(t －16)|＝13
， ∴－13≤|t －16|－|t ＋16|≤13
. 由(1)的结论，有
f (1
3)≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤f (－13)．
而f (13)＝lg 710，f (－13)＝lg 1310
， ∴lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310
.
1．设ab ＞0，下面四个不等式①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )
A ．①和②
B ．①和③
C ．①和④
D ．②和④
2．已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是( )
A ．|a ＋b |＞|a －b |
B ．|a ＋b |＜|a －b |
C ．|a －b |＜||a |－|b ||
D ．|a －b |＜|a |＋|b |
3．不等式||||||
a b a b +-≥1成立的充要条件是________． 4．设|a |≤1，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，证明|f (x )|≤54
.
答案：1．C ∵ab ＞0，∴a ，b 同号．∴|a ＋b |＝|a |＋|b |.∴①④正确．
2．B
3．|a |＞|b | ||||||a b a b +-≥1||(||||)||||
a b a b a b +---≥0(|a |－|b |)[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.
而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.
∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.
4．证明：|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－x 2＋|x |＝
215(||)24x --+ ≤54，即|f (x )|≤54
.。