人教A版高考数学(文)选修部分4-5-课件

热点一 含绝对值不等式的解法 【例 1】 已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
－2x＋5，x≤2， 解 (1)当 a＝－3 时，f(x)＝1，2<x<3，
2x－5，x≥3. 当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1； 当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解；
探究提高 利用待定系数法求解，如本题中：设 y＝m(x＋y)＋ n(2x－y)，
则 mn＝＝－23，13，
即 3y＝2(x＋y)－(2x－y)．
【训练 2】 设 a，b 是非负实数，求证：a3＋b3≥ ab(a2＋b2)． 证明 由 a，b 是非负实数，作差得 a3＋b3－ ab(a2＋b2)＝a2 a ( a－ b)＋b2 b( b－ a)＝( a－ b)[( a)5－( b)5]．当 a≥b 时， a≥ b，从而( a)5≥( b)5，得( a－ b)[( a)5－( b)5]≥0； 当 a<b 时， a< b，从而( a)5<( b)5，得( a－ b)[( a)5－ ( b)5]>0. 所以 a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
▪高考定位 该部分主要有三个考点，一是带有 绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式 有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运 用．对于带有绝对值不等式的求解，主要考查 形如|x|＜a或|x|＞a及|x－a|±|x－b|＜c或|x－ a|±|x－b|＞c的不等式的解法，考查绝对值的几 何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不 等式组的方法．试题多以填空题或解答题的形 式出现．对于与绝对值不等式有关的参数范围 问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函 数的值域等问题结合，试题多以解答题为 主．对于不等式的证明问题，此类问题涉及到 的知识点多，综合性强，方法灵活，主要考查
当 x≥3 时，由 f(x)≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4； 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1，或 x≥4}． (2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当 x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围是[－3,0]．
2x＋1，x>2.
所以当 x<－3 时，g(x)>5；当－3≤x≤2 时，g(x)＝5； 当 x>2 时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为 5. 从而若 f(x)＋f(x＋5)≥m，即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(－∞，5]．
法二 (1)同法一． (2)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|. 设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是 g(x)＝|x－2|＋|x＋3|. 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2 时 等号成立)，得 g(x)的最小值为 5. 从而，若 f(x)＋f(x＋5)≥m，即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立， 则 m 的取值范围为(－∞，5].
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
我们，还在路上……
热点聚焦 ·题型突破
归纳总结 ·思维升华
热点三 绝对值不等式的综合应用
【例 3】 已知 f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式 f(x)≤3 的解集为{x|
－2≤x≤1}．
(1)求 a 的值；
(2)若fx－2f
x 2
≤k 恒成立，求 k 的取值范围．
解 (1)由|ax＋1|≤3 得－4≤ax≤2.又 f(x)≤3 的解集为{x|－ 2≤x≤1}，所以当 a≤0 时，不合题意． 当 a>0 时，－4a≤x≤2a，得 a＝2. (2)记 h(x)＝f(x)－2f2x，
解 法一 (1)由 f(x)≤3 得|x－a|≤3， 解得 a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以aa－ ＋33＝ ＝－5，1， 解得 a＝2.
(2)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|，设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，
－2x－1，x<－3， 于是 g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝5，－3≤x≤2，
解析 由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为 3，而|x ＋1|＋|x－2|<a 无解，如 a≤3. 答案 (－∞，3]
热点二 不等式的证明 【例 2】 已知实数 x，y 满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<158.
证明 因为 3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由 题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16， 从而 3|y|<23＋16＝56，所以|y|<158.
规律方法 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不 等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端 点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式， 使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简＋|x－2|<a 无实数解，则 a 的取值 范围是________．
1，x≤－1， 则 h(x)＝－4x－3，－1<x<－12， －1，x≥－12，
所以|h(x)|≤1，因此 k≥1.
规律方法 解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其 转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的 值．
【训练 3】 已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立， 求实数 m 的取值范围．