2018高考一轮通用人教A版数学(课件)第2章 第11节 导数与函数的单调性

上一页
返回首页
下一页
第十四页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
求函数的单调区间
(2016·天津高考节选)设函数 f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中 a，b∈R. 求 f(x)的单调区间．
[解] 由 f(x)＝x3－ax－b，可得 f′(x)＝3x2－a. 下面分两种情况讨论： ①当 a≤0 时，有 f′(x)＝3x2－a≥0 恒成立， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).5 分 ②当 a＞0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝ 33a或 x＝－ 33a.
上一页
返回首页
下一页
第十五页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－∞，－
3a 3
－
3a 3
－
33a，
3a 3
3a 3
33a，＋∞
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以
f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 －
上一页
返回首页
下一页
第十二页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
[变式训练 1] (2016·四川高考节选)设函数 f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－eex，
其中 a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)证明：当 x>1 时，g(x)>0. [解] (1)由题意得 f′(x)＝2ax－1x＝2axx2－1(x>0).2 分
上一页
返回首页
下一页
第三页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有 f′(x)>0.( ) (2)如果函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则函数 f(x)在此区间上没有单调 性．( ) (3)f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充要条件．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×
上一页
返回首页
下一页
第五页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
3．(教材改编)如图 2-11-1 所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判 断中正确的是( )
图 2-11-1
上一页
返回首页
下一页
第六页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
A．函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数 C．函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数 A [当 x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则 f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不 正确．]
上一页
返回首页
下一页
第十七页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
[变式训练 2] 已知函数 f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e 为自然对数的底数，则 函数 f(x)的单调递增区间为________．
(－ 2， 2) [因为 f(x)＝(－x2＋2x)ex， 所以 f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， 因为 ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－ 2＜x＜ 2， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(－ 2， 2)．]
高三一轮总复习
[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相 应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函 数单调递减，则 f′(x)≤0”来求解．
上一页
返回首页
＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除 A，B，
D.故选 C.]
上一页
返回首页
下一页
第四页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
2．f(x)＝x3－6x2 的单调递减区间为( )
A．(0,4)
B．(0,2)
C．(4，＋∞)
D．(－∞，0)
A [f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由 f′(x)<0，得 0<x<4，∴递减区间为(0,4)．]
上一页
返回首页
下一页
第八页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则 k 的
取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
D [由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k
上一页
返回首页
下一页
第十八页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
已知函数的单调性求参数
已知函数 f(x)＝x3－ax－1. 【导学号：31222082】
若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围． [解] 因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立.5 分 因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，所以 a≤0， 即实数 a 的取值范围为(－∞，0].12 分
所以函数 f(x)在－∞，－23a，(0，＋∞)上单调递增，在－23a，0上单调递 减；7 分
当 a＜0 时，x∈(－∞，0)∪－23a，＋∞时，f′(x)＞0，x∈0，－23a时，f′(x) ＜0，10 分
所以函数 f(x)在(－∞，0)，－23a，＋∞上单调递增，在0，－23a上单调递 减.12 分
上一页
返回首页
下一页
第二页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
函数的导数与单调性的关系 函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若 f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内_单_调__递__增___； (2)若 f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内_单__调_递__减___； (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是_常__数_函__数___．
下一页
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 三十六 分。
高三一轮总复习
易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f ′(x)≥0， 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0.应注意此时式子中的等号不能 省略，否则漏解．
(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移 3 中利用了 33a∈(0,1)来求解．
当 a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当 a>0 时，由 f′(x)＝0 有 x＝
1， 2a
上ห้องสมุดไป่ตู้页
返回首页
下一页
第十三页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
当 x∈0， 12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；5 分 当 x∈ 12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增.7 分 (2)证明：令 s(x)＝ex－1－x，则 s′(x)＝ex－1－1.9 分 当 x>1 时，s′(x)>0，所以 ex－1>x， 从而 g(x)＝1x－ex1－1>0.12 分
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由 f′(x)＝0，得 x＝± 33a(a≥0).5 分
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜ 33a＜1，得 0＜a＜3，即 a 的取值范围 为(0,3).12 分
上一页
返回首页
下一页
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 三十六 分。
－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立．
由于 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1，即 k 的取值范围为[1，＋∞)．]
上一页
返回首页
下一页
第九页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
判断或证明函数的单调性
已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论 f(x)的单调性.
[解] f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，
因为－1＜x＜1，所以 3x2＜3，所以 a≥3.即当 a 的取值范围为[3，＋∞)时， f(x)在(－1,1)上为减函数.12 分
上一页
返回首页
下一页
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 三十六 分。
高三一轮总复习
[迁移探究 3] (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上不单调，求 a 的取值范围．
上一页
返回首页
下一页
第十九页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
[迁移探究 1] (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 求 a 的取值范围．
[解] 因为 f′(x)＝3x2－a，且 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以 f′(x)≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 3x2－a≥0 在(1，＋∞)上恒成立，7 分
上一页
返回首页
下一页
第十一页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
[规律方法] 用导数证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)一求．求 f′(x)； (2)二定．确认 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)三结论．作出结论：f′(x)＞0 时为增函数；f′(x)＜0 时为减函数． 易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解 集的影响进行分类讨论．
所以 a≤3x2 在(1，＋∞)上恒成立，所以 a≤3，即 a 的取值范围为(－∞，3]. 12 分
上一页
返回首页
下一页
第二十页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
[迁移探究 2] (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上为减函数， 试求 a 的取值范围．
[解] 由 f′(x)＝3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立，得 a≥3x2 在(－1,1)上恒成 立.5 分
上一页
返回首页
下一页
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 三十六 分。
高三一轮总复习
[变式训练 3] (2016·全国卷Ⅰ)若函数 f(x)＝x－13sin 2x＋asin x 在(－∞，＋
∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A．[－1,1]
B.－1，13
C.－13，13
D.－1，－13
C [取 a＝－1，则 f(x)＝x－13sin 2x－sin x，f′(x)＝1－23cos 2x－cos x，但 f′(0)
33a，
3a 3
，
单
调
递
增
区
间
为
－∞，－ 33a， 33a，＋∞.12 分
上一页
返回首页
下一页
第十六页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
[规律方法] 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求 f′(x)； (3)在定义域内解不等式 f′(x)＞0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式 f′(x)＜0，得单调递减区间．
高三一轮总复习
抓
基
础
·
自
主 学 习
第二章 函数、导数及其应用 课 时
分
第十一节 导数与函数的单调性
层
明
训 练
考
向
·
题
型
突
破
上一页
返回首页
下一页
第一页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
[考纲传真] 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
【导学号：31222081】
解得 x1＝0，x2＝－23a.2 分
当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f(x)
在(－∞，＋∞)上单调递增；4 分
上一页
返回首页
下一页
第十页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
当 a＞0 时，x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈－23a，0时，f′(x) ＜0，
上一页
返回首页
下一页
第七页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
4．(2015·陕西高考)设 f(x)＝x－sin x，则 f(x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 B [因为 f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项 A 和 C.又因为 f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项 D，故选 B.]