平面与平面垂直的判定课件

又因为 DB⊥平面 ABC， 所以 DA＝ DB2＋AB2＝ 5a， 所以 DE＝DA. (2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN，
则 MN 綊12CE 綊 DB.
所以四边形 MNBD 为平行四边形，所以 MD∥BN. 又因为 EC⊥平面 ABC，所以 EC⊥BN，EC⊥MD. 又 DE＝DA，M 为 EA 中点，所以 DM⊥AE.又 EC∩AE＝E， 所以 DM⊥平面 AEC，所以平面 BDM⊥平面 ECA. (3)由(2)知 DM⊥平面 AEC，而 DM⊂平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 、面面垂直、二面角的求法等诸多 知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂 直⇒线面垂直⇒面面垂直．
[活学活用] 已知△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE， 且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点．求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA. 证明：(1)设 BD＝a，作 DF∥BC 交 CE 于 F， 则 CF＝DB＝a.因为 CE⊥平面 ABC， 所以 BC⊥CF，DF⊥EC， 所以 DE＝ EF2＋DF2＝ 5a.
[提出问题]
二面角
随手打开一本书，发现每两书页之间所在的平面也形成一个角
度；修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适
当的角度
问题 1：根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点？ 提示：可以是锐角、直角、钝角、平角．
问题 2：两平面形成的角可以为 0°角吗？ 提示：可以． 问题 3：两平面成角 θ 的范围是什么？ 提示：0°≤θ≤180°.
(2)二面角的平面角：
①定义：在二面角 α -l -β 的棱 l 上任取一点 O，如图所示， 以点 O 为垂足，在 半平面 α 和 β 内 分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做 二面角的平面角．
②直二面角：平面角是 直角 的二面角．
[化解疑难] 对于二面角及其平面角的理解 (1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形， 二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面 图形转化的思想． (2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条 直线的夹角，因此，二面角 θ 的取值范围是 0°≤θ≤180°.
因而，所求二面角即为二面角 D-C1F-A1. ∵A1D∥B1E，且 A1D＝2B1E， ∴E，B1 分别为 DF 和 A1F 的中点． ∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝B1F，∴FC1⊥A1C1. 又∵CC1⊥平面 A1B1C1，FC1⊂平面 A1B1C1， ∴CC1⊥FC1. 又∵A1C1，CC1 为平面 AA1C1C 内的两条相交直线， ∴FC1⊥平面 AA1C1C. ∵DC1⊂平面 AA1C1C， ∴FC1⊥DC1. ∴∠DC1A1 是二面角 D-C1F-A1 的平面角． 由已知 A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°. 故所求二面角的大小为 45°.
[类题通法] 证明面面垂直的方法 (1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面 垂直，即把问题转化为“线面垂直”； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一 个也垂直于此平面．
[活学活用] (江苏高考)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上， 且 B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 证明：(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1C1∥AC. 在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DE∥AC，于是 DE∥A1C1. 又因为 DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， 所以直线 DE∥平面 A1C1F.
∴AC⊥平面 PBD. 又∵AC⊂平面 PAC，∴平面 PAC⊥平面 PBD. (3)由(1)知 PD⊥BC， 又∵BC⊥DC，且 PD，DC 为平面 PDC 内两条相交直线， ∴BC⊥平面 PDC. ∵PC⊂平面 PDC，∴BC⊥PC. 则∠PCD 为二面角 P-BC-D 的平面角． 在 Rt△PDC 中，∵PD＝DC＝a， ∴∠PCD＝45°， 即二面角 P-BC-D 是 45°的二面角．
提示：可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可．
[导入新知] 1．面面垂直的定义 (1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直． (2)画法：
记作： α⊥β .
2．两平面垂直的判定 (1)文字语言：一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两个平 面垂直． (2)图形语言：如图．
[类题通法] 解决二面角问题的策略 清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根 据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作， 即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角； 三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其 中关键是“作”．
二面角
[例 2] 已知 D，E 分别是正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1 和 BB1 上的点，且 A1D＝2B1E＝B1C1.求过 D，E，C1 的平 面与棱柱的下底面 A1B1C1 所成的二面角的大小．
[解] 如图所示，在平面 AA1B1B 内延长 DE 和 A1B1 交于 点 F，则 F 是平面 DEC1 与平面 A1B1C1 的公共点．于是 C1F 为这两个平面的交线．
面面垂直的判定
[例 1] 如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°， 又 SA＝SB＝SC.
求证：平面 ABC⊥平面 SBC.
[解] 证明：法一：(利用定义证明) ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形， 则有 SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为 a，则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形． 取 BC 的中点 D，如图所示， 连接 AD，SD，则 AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角． 在 Rt△BSC 中，∵SB＝SC＝a，
[活学活用] 如图所示，在△ABC 中，AB⊥BC，SA⊥平面 ABC，DE 垂直 平分 SC，且分别交 AC，SC 于点 D，E，又 SA＝AB，SB＝ BC，求二面角 E-BD-C 的大小．
解：∵E 为 SC 中点，且 SB＝BC， ∴BE⊥SC.又 DE⊥SC， BE∩DE＝E，∴SC⊥平面 BDE， ∴BD⊥SC.又 SA⊥平面 ABC， 可得 SA⊥BD，SC∩SA＝S， ∴BD⊥平面 SAC，从而 BD⊥AC，BD⊥DE， ∴∠EDC 为二面角 E-BD-C 的平面角． 设 SA＝AB＝1，在△ABC 中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝ 2， AC＝ 3，∴SC＝2.在 Rt△SAC 中，∠DCS＝30°， ∴∠EDC＝60°，即二面角 E-BD-C 为 60°.
线面、面面垂直的综合问题 [例 3] 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为 a 的正方 形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，求证：
(1)PD⊥平面 ABCD； (2)平面 PAC⊥平面 PBD； (3)二面角 P-BC-D 是 45°的二面角．
[解] 证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝ 2a， ∴PC2＝PD2＋DC2. 则 PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D， 且 AD，DC⊂平面 ABCD， ∴PD⊥平面 ABCD. (2)由(1)知 PD⊥平面 ABCD，又∵AC⊂平面 ABCD， ∴PD⊥AC. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD. 又∵BD∩PD＝D，且 PD，BD⊂平面 PBD，
平面与平面垂直 [提出问题] 建筑工地上，砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常 在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这 样就能保证墙面与地面垂直．
问题 1：由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数 个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？
提示：垂直．
问题 2：若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出 一个方法？
∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
在 Rt△ABD 中，AD＝ 22a，
在△ADS 中，∵SD2＋AD2＝SA2， ∴∠ADS＝90°，即二面角 A-BC-S 为直二面角， 故平面 ABC⊥平面 SBC. 法二：(利用判定定理) ∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， ∴SA＝AB＝AC， ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心． ∵△SBC 为直角三角形， ∴点 A 在△SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点， ∴AD⊥平面 SBC. 又∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC.
[导入新知] 二面角 (1)定义：从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫 做二面角(如图)． 直线 AB 叫做二面角的棱，半平面 α 和 β 叫 做二面角的面．
记法： α-AB-β ，在 α，β 内，分别取点 P，Q 时，可记作 P-AB-Q ；当棱记为 l 时，可记作 α-l-β 或 P-l-Q .
(3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.
[化解疑难] 对面面垂直的判定定理的理解 (1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”． (2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是 在平面内寻找另一个面的垂线． (3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线 面垂直⇒面面垂直．这体现了立体几何问题求解的转化思想，应 用时要灵活把握．
(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， A1A⊥平面 A1B1C1. 因为 A1C1⊂平面 A1B1C1，所以 A1A⊥A1C1. 又 因 为 A1C1 ⊥ A1B1 ， A1A ⊂ 平 面 ABB1A1 ， A1B1 ⊂ 平 面 ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以 A1C1⊥平面 ABB1A1. 因为 B1D⊂平面 ABB1A1，所以 A1C1⊥B1D. 又因为 B1D⊥A1F，A1C1⊂平面 A1C1F， A1F⊂平面 A1C1F，A1C1∩A1F＝A1， 所以 B1D⊥平面 A1C1F. 因为直线 B1D⊂平面 B1DE，所以平面 B1DE⊥平面 A1C1F.