高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》易错题汇编及答案

新《函数与导数》专题解析
一、选择题
1．函数()3ln x
f x x
=
的部分图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x
f x x
=>，排除CD ，得到答案. 【详解】
()()()33ln ln ,x x
f x f x f x x x
=
-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3
ln 0x
f x x =>恒成立，排除CD 故答案选A 【点睛】
本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.
2．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e + D ．222e e --
【答案】A
【解析】 【分析】
由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】
由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称
又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数
()()()()()()()()()1281241240
f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=Q 且()()()()2
123422f f f f e e +++=+
()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+
故选：A 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.
3．函数2
2()41
x x x f x ⋅=-的图像大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
∵函数()2
2?41x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U
∴22
2()2()()4114
x x x x
x x f x f x --⋅-⋅-===---
∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，C. ∵2
(1)03
f =>，故排除D. 故选A.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若2
1log 5a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()2log 4.1b f =，()
0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】C 【解析】
由题意：()221log log 55a f f ⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭， 且：0.8
22log 5log 4.12,122>><<，
据此：0.8
22log 5log 4.12
>>，
结合函数的单调性有：()()()0.8
22log 5log 4.12f f f >>，
即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
5．已知()ln x
f x x
=
，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 在()0,e 上单调递增 B ．()()24f f = C ．当01a b <<<时，b a a b < D ．20192020
log 20202019
>
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2
1ln (),(0,)x
f x x x
-'=
∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】
2
1ln (),(0,)x
f x x x -'=
∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；
对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 2
4(2)442
f f ====，故B 正确；
对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<<Q ，
ln ln a b
a b
∴
<，可得b a a b <，故选项C 正确； 对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，
(2019)(2020)f f ∴>，即
ln 2019ln 202022019020>⇒20192020ln 2020
log 2020ln 02019
219>=， 故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
6．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋2
4x x
－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两
点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为
A ．（8
5，＋∞） B ．（
16
5
，＋∞） C ．[
8
5
，＋∞） D ．[
16
5
，＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】
利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2
的取值范围． 【详解】 由题得f′（x ）=4k k x +
﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()2
4x k x k x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，（x ＞0，k ＞0）
由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），
即2
1144k k x x +
-﹣1=2
4
k k x +
﹣224x ﹣1，
化简得4（x 1+x 2）=（k+4
k
）x 1x 2， 而x 1x 2＜2
12(
)2
x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+
4
k ）21
2()2
x x +， 即x 1+x 2＞
16
4k k
+
对k ∈[4，+∞）恒成立， 令g （k ）=k+
4k
， 则g′（k ）=1﹣
24k =()()2
22k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴
16
4k k
+≤16
5
， ∴x 1+x 2＞
165
， 故x 1+x 2的取值范围为（16
5
，+∞）. 故答案为B 【点睛】
本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
7．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
56
【答案】A 【解析】
曲线2
y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2
y x
=与直线y x =所围成的封闭图形的面积为
()1
2
2
3100
1
11
|2
36
x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.
8
．3
ax ⎛ ⎝⎭
的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入1
1
a
dx x
⎰
即可求出结果. 【详解】
解题分析
根据二项式3
6ax ⎛- ⎝⎭
的展开式的通项公式得2
21
213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44
a
a ∴=∴=，
则4
4
111
11d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.
故选：A 【点睛】
本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k
k n T a b -+=.属于中等
题.
9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式
(2)5f x +<的解集为（ ）
A ．(3,7)-
B ．()4,5-
C ．(7,3)-
D ．()2,6-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解. 【详解】
当0x ≥时,2
()45f x x x =-<的解为05x <≤；
当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}
55x x -<<，
所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}
52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C 【点睛】
本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.
10．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（ ） A ．(22,)+∞ B ．(,22)-∞
C ．(,3)-∞
D ．27(,
)5
-∞ 【答案】D 【解析】 【分析】
把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]
1,5x ∈使得
22
x 2ax x a x
+>⇒+
>，解出()f x 的最大值． 【详解】
220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得
22x 2ax x a x +>⇒+>，设()2
f x x x
=+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值27
5=
，当5x =时取得，故选D 【点睛】
11．函数(
)
3
2x
y x x =-⋅的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
排除法：根据函数(
)
3
2x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可.
【详解】
函数(
)
3
2x
y x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】
本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.
12．已知函数()ln x
f x x
=，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（ ） A ．(0,1) B ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】 【分析】 令()ln x
t f x x
==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =
-有2个零点，转化为ln t
a t
=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】 令()ln x t f x x ==
，当01x <<时，()0ln x
t f x x
==
<， 当1x >时，()
2
ln 1
()ln x t f x x -''==
，
当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>，
所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥， 如图所示：
所以ln ()()()f x g x a f x =
-有2个零点，转化为ln t
a t
=在[),e +∞上只有一解，
令ln t m t =
，2
1ln 0t m t -'=≤，所以ln t
m t
=在[),e +∞上递减， 所以1
0m e
<≤， 所以10a e <≤，当1
a e
=时，x e =，只有一个零点，不合题意， 所以10a e
<< 故选：B 【点睛】
本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
13．已知函数()
()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对
称，当[]0,1x ∈时，()2020x
f x =，则()2020f =（ ） A ．2020 B ．12020
C ．11010
D ．0
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得
()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有
()()4f x f x -=-+，
函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+， 变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-， 则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
14．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
12e
- B ．2e - C ．1-
D ．e
【答案】B 【解析】 【分析】
对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1
x e
=求得结果. 【详解】
由题意得：()()121f x f x
''=+
令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-
()12f x x '∴=-+
12f e e ⎛⎫
'∴=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.
15．已知函数()2
cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3
15c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
=⎪，
则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】
()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数
故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.
()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x >
故()f x 在()0,π上单调递增，()155
log 3log 3a f f ⎛⎫== ⎪⎝
⎭
，
()331log log 55b f f ⎛
⎫== ⎪⎝
⎭，
由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫
⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即c a b << 故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.
16．函数()3ln 2x
f x x x
=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =-
【答案】B 【解析】 【分析】
首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可. 【详解】
由函数的解析式可得：()22
1ln '6x
f x x x
-=+， 则所求切线的斜率()22
1ln1
'16171
k f -==+⨯=， 且：()0
12121
f =
+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
17．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，
()21f x x =-，则（ ）
A ．()123
5log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭
B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫
⎛⎫
=-<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()22
4log 3log 03f f ⎛
⎫
=-< ⎪⎝⎭
，()133log 2log 20f f ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】
因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即
()()20f x f x +-=，
即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-， 所以，函数()y f x =的周期为4，
因为当[]0,1x ∈时，()2
1f x x =-单调递减，
因为5110222f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=--=-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫
=-=> ⎪⎝⎭
， 因为2
41
0log 132<<<，所以241log 32f f ⎛⎫
⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
， 所以，1
2314log 2log 23f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
⎝⎭
，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中等题.
18．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为
()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案. 【详解】
①当011a ≤+<时，即10a -≤<，21
()(1)2
S a a =
+；
②当11a +=时，即0a =，1()2
S a =
. 由此可知，当10a -≤<时，21()(1)2S a a =+且1
(0)2
S =，所以,,A B C 选项不正确. 故选：D 【点睛】
本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键.
19．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴以及直线3π
2
x =所围图形的面积为（ ） A ．4 B ．2
C ．
5
2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：()332
22
2
(0cos )sin 2S x dx x π
π
ππ
=
-=-=⎰，选B.
考点：定积分的几何意义
20．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．51,3
⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数
()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1
530
a a >⎧⎨-≥⎩，解不等式即可.
【详解】
0a >Q
5y ax ∴=-在定义域内单调递减
若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数
则需1530
a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤
故选：D 【点睛】
本题考查对数函数的单调性，属于中档题.。