安徽省淮北市 高一数学下学期第二次月考试题

安徽省淮北市2016-2017学年高一数学下学期第二次月考试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合2{|4}A x Z x =∈≤，{|1}B x x =>-，则A
B =（ ）
A ． {0,1}
B ．(1,2]-
C ．{0,1,2}
D ．{1,0,1}- 2.设{A =小于90的角}，{B =第一象限角}，则A B =（ ）
A ．{锐角}
B ．{小于90的角}
C ．{第一象限角}
D ．{|36036090,0}k k k Z k αα<<+∈≤且
3.始边与x 轴正半轴重合，终边所在直线与y 轴夹角为6
π
的角的集合是（ ） A ．{|,}6k k Z πααπ=±∈ B ．{|,}3k k Z π
ααπ=±∈
C ．{|2,}6k k Z πααπ=±∈
D ．{|2,}3
k k Z π
ααπ=±∈
4.要使1
()3
x g x t +=+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ）
A ．1t ≤-
B ．1t <- C. 3t ≤- D ．3t ≥- 5.若08
π
θ-
<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系（ ）
A ．sin cos tan θθθ<<
B ．sin tan cos θθθ<< C. tan sin cos θθθ<< D ．以上都不是
6.一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π，则该几何体的体积为（ ）
A ．4π
B ．2π C.
11
3
π D ．3π 7.设函数()sin()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的最小正周期为π，且图象关于直线23
x π
=
对称，则它的一个对称中心的坐标是（ ）
A ．(,0)12
π
-
B ．(
,0)12
π
C. (,0)6π
-
D ．(,0)6
π
8.函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C. D ．
9.已知sin α是方程2
5760x x --=的根，且α是第三象限角，则
233sin()cos()tan ()22cos()sin()
22
ππ
ααπαππ
αα--
--=-+（ ） A ．916 B ．916- C. 34 D ．34-
10. AOB ∠如图，O 与x 轴的正半轴交点为A ，点,B C 在O 上，且3
4(,)55
B -，点
C 在第一象限，
AOC α∠=，1BC =，则5cos(
)6
π
α-=（ ）
A ．45-
B ．35- C. 35 D ．45
11.已知函数()y f x =是(1,1)-上的偶函数，且在区间(1,0)-单调递增，
,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．(sin )(cos )f A f A >
B ．(sin )(cos )f A f B > C. (cos )(sin )f
C f B >
D ．(sin )(cos )f C f B >
12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin(),0142
()1()1,14
x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方
程2[()]()0(,)f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59(,)24-
- B ．9(,1)4-- C. 59
(,)24-
-9(,1)4-- D ．5
(,1)2
-- 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.
已知cos(
)6
3
π
α+=
5cos()6πα-的值为 ． 14.
函数()f x =的定义域为 ． 15.一圆内切于一圆心角为3
π
，半径为R 的扇形，则该圆的面积该与扇形的面积之比为 ． 16.已知函数sin
(0)2
a y a π
=>在区间(0,1)内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （1）已知角α终边上一点(4,3)P -，求cos()sin()
2119cos()sin()
22
π
απαππαα+---+的值． （2）设k 为整数，化简
sin()cos[(1)]sin[(1)]cos()
k k k k παπαπαπα-+--++．
18. 如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE BC =，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE BE ⊥； （2）求证：//AE 平面BFD ．
19. 若函数2
cos sin y x a x b =-+的最大值为0，最小值为-4，试求a 与b 的值，并求使y 取得最大值和最小值时的x 值．
20. 设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知
(2)1f =，且1x >时，()0f x >．
（1）求1()2
f 的值；
（2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式2()(86)1f x f x >--． 21. 已知圆22:2430C x y x y ++-+=．
（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有||||PM PO =，求使得
||PM 取得最小值的点P 的坐标．
22.定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中D 称为()f x 的上界，已知函数1
1()1()()2
4
x
x
f x a =++．
（1）当1a =时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否有上界，请说明理由；
（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
淮北一中2016-2017学年高一下学期
答案和解析
【答案】
1.C
2.D
3.B
4.C
5.C
6.D
7.A
8.D
9.B 10.A 11.C 12.C
13. -
[2,)[,)242πππ-- 15.2：3 16. (7,13]
17.解：（1）∵角α终边上一点(4,3)P -， ∴4x =-，3y =，||5r OP ==，3sin 5y r α=
=，4
cos 5
x r α==-， ∴
cos()sin()
sin sin sin sin sin 32119sin cos cos 4cos()sin()cos()sin()2222
π
απααααααππππααααααα+----====---+++. （2）因为()[(1)]2k k k παπαππ-+-+=-，k Z ∈
()[(1)]2k k k παπαππ+++-=+，k Z ∈
原式=
sin()cos[(1)]sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα-+--++sin cos 1sin (cos )
αα
αα==-- 18.解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，AD AB ⊥，
∴AD ⊥平面ABE ，AD AE ⊥． ∵//AD BC ，则BC AE ⊥． 又BF ⊥平面ACE ，则BF AE ⊥． ∵BC
BF B
=，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE BE ⊥.
(2)设AC BD G =，连接FG ，易知G 是AC 的中点，
∵BF ⊥平面ACE ，则BF CE ⊥． 而BC BE =，∴F 是EC 中点． 在ACE ∆中，//FG AE ，
∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，
∴//AE 平面BFD ．
19.解：2
()cos sin f x y x a x b ==-+ 2
sin sin 1x a x b =--++2
2(sin )124
a a x
b =-++++，
令sin t x =,11t -≤≤ ,则2
2()124
a a y t
b =-++++，
（i ）当12a
≤-，即2a ≤-时，min max (1)4(1)0y f a b y f b a =-=+=-⎧⎨==-=⎩,解得22a b =-⎧⎨=-⎩
，
（ii ）当102
a
-<-
≤，即02a ≤<时 2
max min
()10
24(1)4a a y f b y f b a ⎧==++=⎪⎨
⎪==-=-⎩
解得22a b =⎧⎨=-⎩（舍去）或610a b =-⎧⎨=-⎩
（舍去）
（iii ）当012
a
<-
<，即20a -<<时， 2
max min
()10
24(1)4a a y f b y f b a ⎧==++=⎪⎨
⎪=-=+=-⎩
解得22a b =-⎧⎨=-⎩（舍）或610a b =⎧⎨=-⎩
（舍）
（iv ）当12
a
-
≤-，即2a ≥时, max (1)0y f a b =-=+=，max (1)4y f b a ==-=- 解得22a b =⎧⎨=-⎩
,
综上，22a b =⎧⎨
=-⎩,2
2
a b =-⎧⎨=-⎩
∴当2,2a b ==-时，22()cos 2sin 2(sin 1)f x x x x =--=-+ 若2()2
x k k Z π
π=
+∈时， y 取得最小值；若2()2
x k k Z π
π=-
+∈时，y 取得最大值.
当2,2a b =-=-时， 2
2
()cos 2sin 2(sin 1)f x x x x =+-=-- 若2()2
x k k Z π
π=-
+∈， y 取得最小值；若2()2
x k k Z π
π=
+∈时， y 取得最大值.
20.解：(1)令1x y ==，则可得(1)0f =， 再令12,2x y ==
，得1(1)(2)()2f f f =+，故1
()12
f =- (2)设120x x <<，则2
121
()(
)()x f x f f x x += 即2
211
()()(
)x f x f x f x -=， ∵
21
1x x >，故21()0x
f x >，即21()()f x f x >，
故()f x 在(0,)+∞上为增函数
(3)由2()(86)1f x f x >--得2
1
1()(86)()[(86)]22
f x f x f f x >-+=-， 故得2
43x x >-且860x ->，解得解集为3
{|
13}4
x x x <<>或． 21.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等， ∴当截距不为零时，设切线方程为x y a +=， 又∵圆2
2
:(1)(2)2C x y ++-=，
∴圆心(1,2)C -
= 解得：1a =-或3a =， 当截距为零时，设y kx =，
同理可得2k =2k =
则所求切线的方程为10x y ++=或30x y +-=或(2y x =或(2y x =． （2）∵切线PM 与半径CM 垂直， ∴2
2
2
||||||PM PC CM =-．
∴222
21111(1)(2)x y x y ++-=+．
∴112430x y -+=．
∴动点P 的轨迹是直线2430x y -+=．
∴||PM 的最小值就是||PO 的最小值．
而||PO 的最小值为原点O 到直线2430x y -+=
的距离d =
∴由221111920
2430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，可得11
310
35x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故所求点P 的坐标为33
(,)105
P -
． 22.解：（1）当1a =时，11()1()()2
4
x x
f x =++，
令1
(),12
x
t t =>，
则2
2
13
()()1()2
4
f x
g t t t t ==++=++
， ∵()g t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)g t g >， 即()f x 在(,0)-∞上的值域为(3,)+∞， 故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立， 所以函数()f x 在(,1)-∞上不是有界函数． （2）由题意知，|()|3f x ≤在[0,)+∞上恒成立． ∴3()3f x -≤≤，1114()()2()4
2
4
x
x
x
a --≤≤-，
∴1142()22()22x
x x x a --≤≤-在[0,)+∞上恒成立，
即max min 11[42()][22()]22
x x x
x a --≤≤-，
设2x
t =，则1142t a t t t --≤≤-，
设1()4h t t t =--，1
()2p t t t
=-，
由[0,)x ∈+∞ 得 1t ≥．设121t t ≤<， 则21121212
()(41)
()()0t t t t h t h t t t ---=
>，
12121212
()(21)
()()0t t t t p t p t t t -+-=
<，
所以，()h t 在[1,)+∞上递减，()p t 在[1,)+∞上递增，
故()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)5h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)1p =， 所以实数a 的取值范围为[5,1]-.
2016-2017学年高一下学期答案和解析【答案】
1.C
2.D
3.B
4.C
5.C
6.D
7.A
8.D
9.B
10.A 11.C 12.C
13.-
14.
15.2：3
16.（7，13]
17.解：（1）∵角α终边上一点P（-4，3），∴x=-4，y=3，r=|OP|=5，sinα==，cosα==-，
∴====-．（2）因为
原式==-1
18.解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE．
∵AD∥BC，则BC⊥AE．(3分)
又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE．
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．(7分)
(2)设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE．
而BC=BE，∴F是EC中点．(10分)
在△ACE中，FG∥AE，
∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，
∴AE∥平面BFD．(14分)
19.解：f（x）=y=cos2x-asinx+b=-sin2x-asinx+b+1=-+
令t=sinx,,则y=-（t+)+，（i）当，即时，
,解得
（ii）当，即0a<2时
解得（舍去）或（舍去）
（iii）当，即-2<a<0时，
解得
（iv）当，即时,y max=f（-1）=a+b=0，y min=f（1）=b-a=-4
解得,
综上，,
∴当a=2,b=-2时，f（x）=cos2x-2sinx-2=-（s inx+1）2，若时，y取得最小值；若时，y取得最大值.
当a=-2,b=-2时，f（x）=cos2x+2sinx-2=-（sinx-1）2，若，y取得最小值；若
时，y取得最大值.
20.解：(1)令x=y=1，则可得f(1)=0，
再令x=2，y=，得f(1)=f(2)+f()，故f()=-1
(2)设0＜x1＜x2，则f(x1)+f()=f(x2)
即f(x2)-f(x1)=f()，
∵＞1，故f()＞0，即f(x2)＞f(x1)
故f(x)在(0，+∞)上为增函数
(3)由f(x2)＞f(8x-6)-1得f(x2)＞f(8x-6)+f()=f[(8x-6)]，
故得x2＞4x-3且8x-6＞0，解得解集为{x|＜x＜1或x＞3}．
21.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆的半径，
即，
解得：a=-1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，
同理可得或，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或或．
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|2=|PC|2-|CM|2．
∴（x1+1）2+（y1-2）2-2=x12+y12．
∴2x1-4y1+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x-4y+3=0的距离，
∴由，可得
故所求点P的坐标为．
22.解：（1）当a=1时，f（x）=1++，
令t=t＞1，
则f（x）=g（t）=t2+t+1=+，
∵g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1），
即f（x）在（-∞，0）上的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，-4-≤a•≤2-，
∴-4•2x-≤a≤2•2x-在[0，+∞）上恒成立，
即[-4•2x-]m ax≤a≤[2•2x-]min，
设2x=t，则-4t-≤a≤2t-，
设h（t）=-4t-，p（t）=2t-，
由x∈[0，+∞）得t≥1．设1≤t1＜t2，
则h（t1）-h（t2）=＞0，
p（t1）-p（t2）=＜0，
所以，h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
故h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，所以，实数a的取值范围为[-5，1]。