参数方程导学案1

§2.1参数方程(理科)
主备人：杨素玲 审核人：高三数学备课组 上课时间：2013年12月
1、曲线的参数方程 （1）参数方程:
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函
数_______ _……①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的___ _ ___，联系变数x 、y 的变数t 叫做________，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__ __．
注：参数是联系变数x 、y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． （2）参数方程与普通方程的互化:
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去___ __
从参数方程变成普通方程．（注：将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型）
如果知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，例如：()x f t =，把它代入普通方程，
求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么()
()x f t y g t =⎧⎨=⎩
就是曲线的参数方程．
注：参数方程化为直角坐标方程要注意参数的范围，决定x 、y 的取值范围.
2、参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到的公式：22cos sin 1θθ+=、
3、常见曲线的参数方程：
（1）圆2
2
2
()()x a y b r -+-=的参数方程为cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）；
（2）椭圆22
221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）；
（3）抛物线px y 22
=的参数方程可表示为)(222
为参数t pt y pt x ⎩
⎨
⎧==. （4）过点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）；
例1 已知曲线1C
：cos sin x y θθ
⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C
：x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）．
指出1C 、2C 分别是什么曲线，并说明1C 与2C 公共点的个数及曲线1C 被2C 所截得的弦长。

例2
1．参数方程是⎩⎨
⎧+==1s i n
,c o s
θθy x （θ是参数），表示的曲线的普通方程是 2. 参数方程)(.sin 2,
cos 为参数ϕϕϕ⎩
⎨
⎧==y x ，
表示的曲线的普通方程是____________ ____ 3．参数方程)(2sin 1cos sin 为参数θθ
θ
θ⎩⎨
⎧+=+=y x ，
表示的曲线的普通方程为______________ ___ 4．参数方程⎩⎨
⎧-==α
α
2cos 2cos y x (α是参数) ，表示的曲线的普通方程是____________ ____
5.
参数方程11252
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩ (t 是参数) ，表示的曲线的普通方程是____________ __
基础练习：
1．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ． 2. 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程是⎩⎨
⎧=+=θ
θ
sin 2cos 22y x (θπθ],2,0[∈为参数),若
3．过点0(3,4)M ，斜率为43
-的直线l 的参数方程为
4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t
y t =⎧⎨=+⎩
（参数t ∈R ），圆C 的参数方程
为1cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（参数[0,2π)θ∈），则圆心到直线l 的距离为 ． 5．已知曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线l
的参数方程是1x y ⎧=-⎪
⎨=⎪⎩
（t 为参数）
，则直线l 与曲线C 相交所得的弦的长度为 ．
6．直线)(sin cos 为参数t t y t x ⎩⎨⎧==θ
θ
与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨
⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为
7．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t ⎧=⎨=⎩
为参数上，则PF 等于
8．直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线⎩⎨⎧+=+=θ
θsin 4cos 3:1y x C （θ
为参数）和曲线1:2=ρC 上，则AB 的最小值为________
能力提升：
9.曲线2
sin sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与直线y x a =+有两个公共点，则a 的取值范围是 ． 10. 已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ
=-+⎧⎨=⎩（θ为参数且[π,2π)θ∈）上，则y
x 的取值范围
是 ．
11．已知)(sin cos 2为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是 12．若点P(x,y)为椭圆19252
2=+y x 上的动点，则2x+y 的最大值为 ，最小值为 . 13．在椭圆
22
11612
x y +=上一点到直线2120x y --=的距离的最小值 课堂小测：
1．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t
y t x 882
（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C 的
焦点，且与圆)0()4(2
2
2
>=+-r r y x 相切，则r =________.
2．（2009广东高考）若直线⎩⎨
⎧+=-=t
y t
x 3221（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数
k =________．
3．（2011广东高考）已知两曲线参数方程分别为)0(sin cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x 和⎪⎩⎪⎨⎧==t
y t x 2
4
5（t R ∈），它们的交点坐标为
．
4．（2012广东高考）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 和2c
的参数方程分别为x y θ
θ
⎧⎪⎨
⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）
和=12=x y ⎧
-⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
（t
为参数）
．则曲线1c 和2c 交点坐标为 ． 5.（2013广东）已知曲线C
的参数方程为x t
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线
为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为
_____________.
6.（2013肇庆二模）已知曲线1l
的极坐标系方程为sin 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭(0,ρ>02)θπ≤≤直线2l 的参数方程为
{1222
x t y t =-=+(为参数),若以直角坐标系的x 轴的非负半轴为极轴,
则1l 与2l 的交点A 的直角坐标是____________
7．（2013广州）在极坐标系中，已知定点A(1，2
π
),动点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意
一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为___。