人教版九年级上册 第22章 二次函数综合试题和答案

1．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q.
(1)求点B和点C的坐标；
(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，
并指出自变量x取值范围.
(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求
出点Q的坐标，若不存在，说明理由.
2.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.
3．如图所示，已知直线
1
2
y x
=-与抛物线2
1
6
4
y x
=-+交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔
尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
4．已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存
在，请说明理由.
5. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求。

若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y2＝170-2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出y2与x之间的函数关系式；
(2)求月产量x的范围；
(3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元)最大？最大利润是多少？
6．某镇地理位置偏僻，严重制约着经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，乡政府对
花木产品每投资x 万元，所获利润为21
(30)1050
P x =-
-+(万元)．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，乡政府在制定经济发展的10年规划时，拟定开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元．若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通．公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润249194(50)(50)308505
Q x x =-
-+-+(万元)． (1)若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (2)若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．
7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m
的函数关系式，并求出S 的最大值；
(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
8. 如图①所示，在平面直角坐标系中，抛物线2
y ax c =+与x 轴正半轴交于点F(16，0)、与y 轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A 与点E 重合，顶点C 与点，重合． (1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图②所示，若正方形ABCD 在平面内运动，并且边BC 所在的直线始终与x 轴垂直，
抛物线始终与边AB 交于点P 且同时与边CD 交于点Q(运动时，点P 不与A 、B 两点重合，点Q 不与C 、D 两点重合)．设点A 的坐标为(m ，n)(m ＞0)．
①当PO ＝PF 时，分别求出点P 与点Q 的坐标；
②在①的基础上，当正方形ABCD 左右平移时，请直接写出m 的取值范围； ③当n ＝7时，是否存在m 的值使点P 为AB 边的中点?若存在，请求出m 的值；
若不存在，请说明理由．
1.【答案与解析】
(1)把x=0代入得点C的坐标为C(0，2)
把y=0代入得点B的坐标为B(3，0)；
(2)连结OP，设点P的坐标为P(x，y)
=
=
∵点M运动到B点上停止，∴，∴()；
(3)存在. BC==
①若BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2
∴ BM=1 ∴OM=3-1=2
∴∴QM=
所以Q的坐标为Q(2，)；
②若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，∴==
∴=∴ QM=
∵=∴=
∴BM=∴ OM=
所以Q的坐标为Q(，).
2.【答案与解析】
(1)直线与坐标轴的交点，.
则解得
此抛物线的解析式.
(2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.
设，则.
化简得.
当，得或. 或
当时，即，此方程无解.
综上所述，满足条件的点的坐标为或.
3.【答案与解析】
（1）依题意得解之所以，．
（2）存在．因为AB所在直线的方程，若存在点P使△APB的面积最
大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线
上．设该直线分别与x轴、y轴交于G、H两点，
如图，联立得，因为抛物线与
直线只有一个交点，
所以，，所以
解得所以．
4.【答案与解析】
(1)∵由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3，由抛物线的对称性可知，
当抛物线在x轴上截得的线段长为4时，则点A、点B到直线x=3的距离均为2
∴A(1，0)，B(5，0)，∴a(1-3)2-2=0，解得
.
(2)假定存在点Q(m，n)，使S△QAB=12，
，
又
∴当n=6时，，解得m1=-1，m2=7
当n=-6时，，无实根
∴Q(-1，6)或(7，6)为所求.
5.【答案与解析】
(1)y2＝500+30x．
(2)依题意得：
解之：25≤x≤40，且x为整数．
(3)∵
，
∴，而25＜35＜40．
∴当x＝35时， 1 950．
即月产量为35套时，利润最大，最大利润是l 950万元．
6.【答案与解析】
(1)若不开发此产品，按照原来的投资方式，由知，只需从50
万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利
润为M1＝10×10＝100(万元)．
(2)若对该产品进行开发，在前5年中，当x＝25时，
每年最大利润是(万元)，
则前5年的最大利润为M2＝9.5×5＝47.5(万元)．
设后5年中x万元是用于本地销售的投资．则由
知，
将余下的(50-x)万元全部用于外地销售的投资，才有可能获得最大利润．则后5年的利润
是
．故当x＝20时，M3取得最大值为3500万元．
所以，10年的最大利润为M＝M2+M3＝3500+47.5＝3547.5(万元)．
(3)因为3547.5＞100，故该项目有极大的开发价值．
7.【答案与解析】
(1)设抛物线的解析式为(a≠0)．
∵抛物线经过点A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)，
∴解得
∴抛物线的解析式为．
(2)过点M作MD⊥x轴于点D．设M点的坐标为(m，n)，则AD＝m+4，
，．
∴
．
∴当时，．
(3)满足题意的Q点的坐标有四个，
分别是：(-4，4)、(4，-4)、、．
8.【答案与解析】
[解析] (1)由抛物线经过点E(0，16)，F(16，0)得：
解得∴．
(2)①过点P作PG⊥x轴于点G，连接PF.
∵ PO＝PF．∴ OG＝FG．
∵ F(16，0)，∴ OF＝16，
∴，即P点的横坐标为8，∵ P点在抛物线上，
∴，
即P点的纵坐标为12，∴ P(8，12)，
∵ P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，
∴ Q点的纵坐标为-4，
∵ Q点在抛物线上，∴，
∴，，
∵ m＞0，∴舍去，
∴，∴．
②．
③不存在，理由：当n＝7时，则P点的纵坐标为7，
∵ P点在抛物线上，∴，
∴，，
∵，∴舍去，∴ x＝12，
∴ P点坐标为(12，7)．
∵ P为AB中点，∴，
∴点A的坐标是(4，7)，∴ m＝4．
又∵正方形ABCD边长是16，
∴点B的坐标是(20，7)，点C的坐标是(20，-9)，
∵ Q点在抛物线上，∴，
∴，，
∵ m＞0，∴舍去，∴ x＝20，
∴ Q点坐标(20，-9)，∴点Q与点C重合，
这与已知点Q不与点C重合矛盾，∴当n＝7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点．。