浙江省杭州市文澜中学2020年高三数学理测试题含解析

浙江省杭州市文澜中学2020年高三数学理测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
A．21+B．18+C．21 D．18
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．
【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，
几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底
==21+．
故选：A．
2. 已知函数在处有极值为，则等于（）
A、11或18
B、18
C、11
D、17或18
参考答案：
B
3. 已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）
=4，则g（1）等于（）
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
B
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由f（x）、g（x）的奇偶性可得关于f（1）、g（1）的方程组，消掉f（1）即可求得g（1）．
【解答】解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数得，﹣f（1）+g（1）=2①，f（1）+g （1）=4②，
由①②消掉f（1）得g（1）=3，
故选B．
4. 已知复数是正实数，则实数a的值为( )
A. 0
B. 1
C. －1
D. ±1
参考答案：
C
【分析】
将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.
【详解】因为为正实数，
所以且，解得.
故选：C
【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.
5. 函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题．
【解答】解由已知得
=cos2x﹣log2|x|，令f（x）=0，即cos2x=log2|x|，
在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象，
如图所示，两函数图象有两个不同的交点，
故函数f（x）的零点个数为2，
故选B．
6. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的
距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（）
A． B． C． D ．
参考答案：
B
本题考查了双曲线与抛物线的几何性质，考查了灵活运用知识的能力，难度较小。

因为渐近线与抛物线的准线交点（-2，-1），所以抛物线的准线方程为，
渐近方程为，由此得、，双曲线左顶点与抛物线焦点的距离也为4，所以，.则，所以选B.
7. 若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的
焦点，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
8. 一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（）
A. 36π
B. 64π
C. 81π
D. 100π
参考答案：
C
【分析】
首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的表面积．
【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，
如图所示：
该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，
四棱锥的高即为
所以，
解得．
设四棱锥的外接球的半径为r，
所以，
解得，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.
9. 定义在R上的函数f(x)满足：，，则不等式
的解集为（）
A. (－∞,ln2)
B. (－∞,2)
C. (ln2,+∞)
D.(2,+∞)
参考答案：
A
【分析】
由题得，构造函数，求出函数的单调性得解.
【详解】由题得
构造函数，
所以
所以函数在R上单调递减.
,
由函数的单调性得，
当时，，
即当时，恒有，
即.
所以不等式的解集为.
故选：A
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10. 设是上的奇函数，，当时，，则等于 ( ）
A．0.5 B． C．1.5
D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．
参考答案：
【考点】数列的应用．
【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．
【解答】解：由题设知，
解得，
∴=．
故答案为：．
12. 设函数______.
参考答案：
令得，即。

令得。

令得。

13. 统计某校1000名学生的数学学业水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如右
图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是_______，优秀率为________。

参考答案：
800，20%
14. 已知函数f(x)=| x?1|+1和g(x)= (a>0)，若对任意x1∈，存在x2∈
使得g(x2)≥f(x1)，则实数a的取值范围为____________
参考答案：
考点：1.函数与不等式；2.导数与函数的单调性.
15. 已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．
参考答案：
（﹣1，﹣1）
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f （1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．
解答：解：由题意，可得
故答案为：
点评：本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．
16. 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,则=_______
参考答案：
略
17. 等差数列中，若，，则=______.参考答案：
9
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知为正整数，在数列中，在数列中，当时，
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）当时，证明：
参考答案：
解：（1∵
∴
∴是以2为首项，2为公比的等比数列。

∴，即
（2∵∴
∴当时，
当时，∵
∴
∴……
综上可知：当时，；当时，。

（3）由（2）知：，即。

当时，，即
∴当时，
∴当时，
19. 我们把定义在上，且满足（其中常数满足
）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数
在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．
参考答案：
因为关于原点对称，……………………………………………………1分
又函数的图像关于直线对称，所以
①………………………………………………………2分又，
用代替得③……………………………………………3分由①②③可知，
．即函数是偶函数； (4)
分
（2）当时，
；……10分（3）当时，
…………………12分
显然时，函数在区间上不是单调函数…………………13分又时，是增函数，
此时……………………………………14分若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有，………………………………………………………16分
解得．………………………………………………………18分
20. 如图，在平面直角坐标系xoy中，以O为顶点，x轴正
半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交
于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。

(1)求的值；
(2)求的值。

参考答案：
略
21. 已知.
（I）当时，判断在定义域上的单调性；
（II）若在（e是自然对数的底）上的最小值为，求的值.参考答案：
解：由题意得，所以定义域为，且.…………3分（Ⅰ）显然，当时，恒成立，在定义域上单调递增. …………5分（Ⅱ）当时,由（1）,得在定义域上单调递增，
所以在上的最小值为，
即（与矛盾，舍）. ……………………7分
当时，显然在上单调递增，最小值为0，不合题意； (8)
分
当时，，
若,则,单调递减,
若,则.
若,则,单调递增.
当时,（舍）；
当时,（满足题意）；
当时,（舍）；…………………12分
综上所述
． (13)
分
略
22. △ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足
.
（Ⅰ）已知，，求与b的值；
（Ⅱ）若，且，求.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）先由化简整理得到，求出
，再由求出，根据求出，再由正弦定理，即可求出结果；
（Ⅱ）先由结合题中条件，求出，再由
展开，即可求出结果.
【详解】（Ⅰ）由得
，
故，因为，且，
所以，所以.
因为，，所以
因此
，
由正弦定理知：，即.
（Ⅱ）因为，所以，又，
所以，
所以
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、两角和与差的正弦公式等即可，属于常考题型.。